Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 17

2 „зВ,<ш+ы з <а+з)+т+ь ~ Е, хз <а+»+и+ь+< ] При Ь ~ а — 1, ]3 = 2а + 1 получим Уй" = ]2>дз(<к+2)Ае<»»<а>~2рВ»<а+за+<>!х~ <а+'>+~а ~ Еехз <а+<>+ш+< Если 6 = а — 1, р = 2а + 1, то 1]т' = ]2)дз (а+ 2) А < +а> — 2рзВд< +а-') ~ 2рВ,< +з +< >] хз 'а+"+ в <а+<>+в~-< ] наконец в случае Ь = а — 1, ]3 ) 2а + 1 получим %7' =(2рз(се+2) Ае<щ+о) 2рзв <и+а+»] хз <а+>)+т + Е хз <а+<)+а+<+..„ Если (а + 2) А,<м+а> чь В,"'+а — ', то соответствующим выбором числа р во всех возможных случаях значение ]1т' на границе области Р можно д Знаки ~ соответствуют двум ветвям кривой %' = О, з именно; рд = +из" ....а+ 2 нд —— — ><я +з. а+2 та сделать величиной какого-нибудь одного знака. Следовательно, невозмущенное движение неустойчиво.

Если при 6 = а — 1 будем иметь (а+2) Ао< +~>=-В<<"+' '> то за ))г можно взять функцию 1г, )„<хаа+з и з область Р ограничить кривой у,' = ><'х~ч+з, а переменной х приписывать положительные значения, Значение %" на границе области В при условии 6=а — 1, ~) 2а+1 определится равенством Ф" =1><з(2а+3) А <~+~> — 2><зВ <я+а — <>) хзач-а-ьз ~ ~ у хза+п$+2+</2 ( и при достаточно малом х 1<У' будет сохранять определенный знак. Вышеизложенное приводит нас к теореме.

Теорема 9. Если правые части уравнений рХ<и — <> 1 рХ<т) 1 1 рХ<т+а — <> ) Х<т+а> 1 и и У ду"<т — <> ( р <~и> 1 1 ф'<т+з — 2> ( у'<лз-~-а> л< (1.55У (1.56) Не уменьшая общности задачи, мы можем предположить, что У,< +з> (х„О) ) 0 при х, ) О. В самом деле, если мы имели Ь~г<"'+З>(х,„О) (0 пРн х, ) О, то заменой у, на — р система уравнений могла бы быть преобразована к новому виду, в котором У,< +З>(х„ О) сменило бы знак. Итак, мы можем считать Х,< +а>(х,, О)- О, ),< -н»(х„О)~О при х,) О.

Предположим теперь, что при х, ) 0 Х,< '>(х„О)~0, Ут<"' '>(хм 0)(0 удовлетворяют условиям: 1) или )3)2а, или У(х, 0) =0„2) Х<"'+"> (х, 0) можно для достаточно малого х сделать величиной положительной, то невозмущенное движение неустойчиво. Если при условии 2) и при р ) а будем иметь, что У< '>(х, 0) ~ яЬ О, то невозмущенное движение также неустойчиво.

й 13. Рассмотрим теперь случай: р ( а. Если в уравнениях (1.55) положить хг = х + НД> 1>г = Д, то получим новую систему, в которой а=р Число Н можно выбрать так, чтобы значение Х< +З>(х, 0) было положительно для достаточно малых положительных значений х.

Система уравнений (1.55) примет вид ' — '"'=д,Х,< — >+д,Х,< +...+у,Х,< -ь >+Х,< +з>+... и< ру< >(ру< >(., (уу<+з — >(у<+в>)... ч< Возьмем функцию г' в виде [г=х,'+д,' тогда [/' = 2х, [1>, Х,>" — ' > + у, Х,<т> -[- ... -[ у Х > +з — г > ! +Х~> +з>+ )+2у~ [у У~> — >>+ +У > +>>>+ ! В области Р, где Ю = д, (ех,— у>) ) О, х, ) О, у> ~ 0 аз — достаточномалая величина, значенце производной У' будетположительно. Производная ЫЖЫГ в силу уравнений (1.56) запишется так: 1Р'=ау [у Х>< — »+ +Х ! ~+в>+ [+ +(ех — 2у ) [у 'г'>> — >>+ . +у' <я+в>+ ! На границе области В, т.

е. при у, = 0 и при у, = ех„она, таким образом, сохраняет постоянный знак. Следовательно, функции [/ и яг удовлетворяют теореме Четаева, по которой заключаем, что невозмущенное движение неустойчиво. На основании вышеизложенного можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 10. Если уравнения (1.55) преобразованы к виду (1.56), где Х,> чй> (х„О) ) О, Уд<"'+З> (хт, 0) ) 0 пРи хд > О, и если значениа Х,< — '> (х>, 0))0, а У,< — » (х„О)~0 при хг)0, то невозмущенное движение неустойчиво. Примечание. Мы исследовали поведение интегральных кривых системы уравнений (1.37) вблизи прямой ах + Ьу = О, предполагая, что в точках этой прямой первое приближение правых частей обращается в нуль Если кроме общего множителя ах + Ьу члены первого приближения имеют другой множитель п,х + Ь,у, то, полагая у, = а,х + Ь,у, мы получили бы новую систему, для которой теоремы 9 и 10 будут также справедливы.

$14. Рассмотрим теперь задачу об устойчивости в случае двух нулевых корней с двумя группами решений и с присоединенной системой. Предположим, что система уравнений возмущенного движения преобразована к виду, указанному в 3 7. Относительно этой системы можно доказать теоремы, аналогичные тем, которые были доказаны для системы второго порядка. Теорема ба. Если: 1) уравнение г" = хУ~"'> — уХ'"'> = 0 имеет вещесгвенное решение, отличное от очевидного х = у = О, 2) Х~"'>/х или У>"'>/у можно сделать величиной положительной при условии г" = О, то невозмущенное движение неустойчиво. Для доказательства этой теоремы положим в первых двух уравнениях системы (1.36) хг = ...

= х„= О, в результате чего получим систему уравнений, аналогичную системе (1.37). Выполняя преобразования, указанные в 3 9, мы получим систему уравнений (1.40). В результате этих же преобразований система уравнений (1.36) преобразуется к виду А»хт ! А>уха > ! А т !Хэ(. р) 1~ .а,рь,()м,,э,> ш гъ а в ~ = — 'ух"-'+... + — у'"+у)" (х, у)+ л> г> /> (1.57) +2, х' у'* Рм '*> (а>.-э, > а>) В случае, когда — 1 + Вв/Ао не есть целое положительное число, все функции, входящие в зту систему, будут голоморфными, причем разложение функции Х*, у)«о будет начинаться с членов не ниже (л> + 1)-го порядка.

Что касается функций Я(»'«>, Р>« '>, то в данном случае их можно считать голоморфными функциями переменных х>, ..., х„, уничтожающимися при х, = ... = х„= О. Если — 1+ В,/Ао — целое положительное число, то функции Х*, 1" в области, близкой к началу координат, и при х)0 будут удовлетво. рять неравенствам (Х*(х, р)! -М(хо+уз)"'!«х1пх (У*(х, р)((М(хо+уз)ок — »l'х!пх а функции Хх«у«оЯ(««о> и Хх«у«*Р(««> — неравенствам (2'х«у«оЯ(««>( М(х'+Я~ +л>)в (~х«у«Р~««>(~М(хв-(-ув)(~+«»l' где М вЂ” некоторое положительное число.

Функция Четаева, отвечающая системе уравнений (1.57), будет иметь вид х«« „в где число й удовлетворяет неравенству йА« — Вв(Л ~ О. Производная о('к')с(( в силу уравнений (!.57) запишется так: р ° 2йхс« — > ) о хи+ о ьхщ->+ + корщ+ ",Ь Л Ь + Хо (х, у) + ~ х«р«о Я ~ « * «о >~ — 2у ~ — ' ух — ' -1- . „+ гВ, ~а + —" и" +уУ'(х д)+Ух' у«*Р(« ° «>~ Преобразования, указанные в 8 7, позволяют считать, что числа л( ) 2й, а при атом условии знак к" в области х'« — ув ) 0 определяется знаком одного члена: о хв«+ — > '(о Ь который при х ) 0 является величнной положительной. Отсюда заключаем, что функции Г и Г' удовлетворяют теореме Четаева и, следовательно, невозмущенное движение неустойчиво. Теорема 7а.

Пусть правые части уравнений (1.36) таковы, что уравнение Р = хК<~ > — уХ<~> = О не имеет вещественных решений, кроме очевидного х = у = О. Тогда вопрос об устойчивости решается знаком выражения вп ' Хсз> (со«В, в>п 8) со«8+У~~~ (з>па, со«8) з>п 8 7 = Р (соз 6, з( и 6) Уок> (со«8, в(пВ) со«8 — Хок> (сов В, в>пв) з(п 8 о Именно, при / ( 0 движение асимптотически устойчиво, а при 7 '- 0— неустойчиво. Выполняя преобразования, указанные в 5 10, над системой уравнений (1.36), получим 6 зов. «>вз 81 «»» =8р+р'Н,(0)+...+р"'+"Н(р, О, х„..., х„) се — р„х»+...

+р»„х„+р"'+"К»+Х»(р, 8, х„..., х„) (»=1,..., «) (Е58) где Н и Р» — голоморфные функции переменных р, х„..., »'„, с периодическими относительно 0 коэффициентами, Н„Н„... — периодические функции переменной О, К, — голоморфные функции переменных р, х„ ..., х„, обращающиеся в нуль прн х, ... = х„= О. Функция Ляпунова, отвечающая системе уравнений (1.58), будет иметь вид *г'=р+)'»(х„..., х„) Здесь У» — квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению ~~)' — '(ри х, + ...

+ р»„х„) = а(х,'+ ... +х„') х» где а — постоянное число, знак которого совпадает со знаком выражения др. Производная»(И»1» в силу уравнений (1.58) будет иметь вид г -р -'Ыр»р«,.»-,.» р[» — ц1»«,— д» не~ к» е, .1 о» [~ ». о е ».р ~' р1»«,— д»ав»...,)»-,»,, »....-~,.»». о +'~' — »[р"'+и)(»,.+Х»(р, О, х„..., х„)) х» В области, достаточно близкой к началу координат, и прн условии р ) О функция )»' является знакоопределенной, одинакового знака с др.

Функция )» при с»Р э. О может принимать значения любого знака, а при с»Р С О она будет знакоопределенной н противоположной по знаку с др. Таким образом, прн др ) О невозмущеннае движение неустойчиво, а при др ( О асимптотически устойчиво. Если д = О, то систему уравнений (1.36) можно привести к виду =р Н, (О)+...

+р +»»Н(р, О, х„..., х„) — „"' =рих,+... +р»„х„+р +»»»)»»,+Х,(р, О, х», ..., х„) (»=1,..., «) Построим ряд р= с+с'и +с'и,+... +с"»+и-» и +ч где функции и„иа,...будем определить так же, как было указано в 8 10. Если окажется, что в ряду этих функций имеются непериодические, то первая такая функция будет иметь вид и,„=д»0+о(0) где о (О) — периодическая функция. Повторяя рассуждения 8 1О, мы приходим к заключению, что если 8»г >О, то невозмущенное движение неустойчиво, а при 8»Р < Π— асимптотически устойчиво.

Если окажется, что все' функции и„и„..., и„.».»»» являются периодическими, то к системе уравнений (1.36) необходимо при- 82 менить преобразования 8 7, в результате чего получим новые числа Ф и р*. В случае р* ~ Л( задача об устойчивости будет решаться так же, как и в предыдущем случае. Если задача об устойчивости решается конечным числом членов, то в результате повторных преобразований по формулам $ 7 мы в конце концов придем к неравенству р ( Ф. Теорема Оа.

Если при всех вешественных решениях уравнения Р=х) (е) дХ(л3)=0 отличных от очевидного х = у = О, Х(",)/х = У( )(д(0, то невазмущенное движение асимптотически устойчиво. Применяя к системе уравнений (1.36) преобразования 5 11 и беря функцию Ляпунова в виде е ч-, .,р< — (ч(е),б~~.у,(~,.„,,„) о где 1(, — квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению Х," — '(р(,х„+ .+р;„х„)= — (х,'+...+х„') де< а ф(О) — функция, найденная в О 11, получим Ъ" = г"'+' ехр ( — ~ ф (9) (19) (2)(',— ф<~) — (х,'+ ...

+х„е) + +г '+)ф,(г, 9, х„..., х„)+~;)р()х,х) где фч(г, О, хм ..., х„) и фы — голоморфные функции переменных г, х„„,, х„с йериодическими относительно О коэффициентами. Построенные функции У н Г удовлетворяют теореме Ляпунова, иа основании которой можно утверждать, что невозмущенное движение асимптотически устойчиво, Примечание, Прн решении конкретных задач нет необходимости проде- лывать все преобразования, указанные в 8 7, Для определения форм Х< ), У(м), фигурируюших в условиях теорем Оа, 7а, Оа, нужно проделать одно преобразование системы уравнений (1.32) по формулам х, = у, + и( (х, у) где и,.(х, у) — корни уравнений р(,и,+...+р,„и„+Х,(х, у, и„..., и„) =-0 Дальнейшие преобразования, связанные с увеличением числа ))(', на функции Х("') и )'( ) не влияют.