Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 20

+ Х<'"+" > (х, х„д,) + ... и — ' = — )»у, -1- Х, <"'> (х, х„у,) + ... + Хт<'"+ь' > (х, х„у,) -1- ... ш ли< — "' = )»х> + 1', <"'> (х, х, д ) + ... + )',<"'+и > (х, х„у ) -1-. „ ш (2.14) Эту систему преобразуем так, чтобы формы Х,<'> и У>«> обращались в нуль при х, = у, = О. Преобразование это можно провести двумя спосо.

бами. Один из этих способов изложен в настоящей главе (стр. 88). Другой способ заключается в следующем. Строим ряды для функциИ и(х) н о(х) согласно уравнениям — Х(х, и, о) = — )»о+Х<<"'>(х, и, о)+Х,<м+'>(х, и, о)+... ох — "Х(х, и, о)=)и+)',<"'>(х, и, о)+Г,<'"+»(х, и, о)+ ... ох где Х(х, и, о) означает всю правую часть первого уравнения системы (2.14).

Полученные таким образом ряды обрываем на членах (л> + Фт)-го порядка и производим замену переменных х„.= $< + и (х), у„=- т>, + о,'(х) В результате этой замены мы получим новую систему, в которой соответствующие формы Х,е<п(х, З„т») и 1;*<'>(х, $,, т») будут обращаться в нуль при $> = тц = 0 для всех ! ~( л> + 1><',. Предполагая, что над системой уравнений (2.1) это преобразование выполнено, производим замену х = гсоз О, у = гз1п О. В результате этой замены получим систему уравнений с периодическими относительно О коэффициентами следующего вида — =Х<м>(х, г, О)+...+Х<'"+м*>(х, г, О)+... дх « — = й< > (х, г, О) + ... + й<™+и*> (х, г, О)+ ... г — 88 =Лг+О< >(х, г, О)+...+О<м+и >(х.

г. О)+... (2.15) Полагаем х=$+„'» у<э ь*>х' г' ' Теоремы 6, 7, 8. 91 г = р+2':. )г<е ь~> хь ге* (и<+ ье = и) Определяем числа А<э» *1>, В<э " > согласно равенствам (2.10). Преобразовывая систему уравений (2.15) к переменным $ и р, получим новую систему, в которой соответствующие формы Хе<">(з, р) и 1<о<"'> (6, р) не будут зависеть от переменной О, Если задача об устойчивости решается членами и-го порядка независимо от членов высшего порядка, то эти формы будут удовлетворять одной из теорем главы 1'. Если задача об устойчивости членами и>-го порядка не решается, то эту систему необходимо преобразовать к уравнениям с постоянными коэффициентами вида (2.!2). Если при этом окажется, что наинизшая форма Х'", неравная нулю прн г = О, будет четного порядка или при нечетном 1 коэффициент при х' будет положительным, то на основании теоремы У главы 1 можно заключить о неустойчивости невозмущенного движения.

В последнем случае степень 1 и коэффициент при х' можно определить так, как это делает Ляпунов в случае одного нулевого корня, а именно: решаем систему уравнений — Ху!+ Х, (х, х, у!) + 2', Я(' ' м ! х" х,"* у," 9 = О Лх!+Г!(х, х„у!)+2', )с!"* э'"1хь х,"*у," =О (2.16) р„г,+ ... +Р,„г„+2,(х, х„у!)+2,*(х, х„у„г„..., г„) = — О относительно х„у„г„которые выражаем в функции х, и производим замену переменных в системе уравнений (2.1) по формулам х! = $! + х! (х) У! = т(! -(- У! (х) гэ = 1з + гв (х) (5 = 1,..., Н) где х,(х), у,(х), г,(х) — корни уравнений (2.16). В результате этого преобразования получаем новую систему, в которой наинизшая степень разложения функции Х(х, О, О) и определит число 1 и коэффициент при х'.

ГЛАВА !и ДВЕ ПАРЫ ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕВ и 19. Пусть рассматриваемая система дифференциальных уравнений воз- мущенного движения есть система (л + 4)-го порядка и пусть среди корней характеристического уравнения, соответствующего этой системе, имеются две пары чисто мнимых и л остальных с отрицательными вещественными частями, Система дифференциальных уравнений с помощью линейной подстанов- ки с постоянными действительными коэффициентами приводится к сле- дующему виду: дх! Х! Уь+ Хм =)!ах!+~ ! "У! !(! !(! ах~ — = — Х,у,+ Մ— =Х,х,+)', ауз (3.1) л! Ш с(г, — = р„г, +...

+Р,„г„+2, где Х„)'„Х„У'„Е„..., ń— суть голоморфные функции переменных х„у„х„у„г„..., г„, разложение которых начинается членами не ниже второго порядка. При этом все корни уравнения р„— и р„... р„ Рз! Ргз — и" Рак =О Ри! Ркз " Рлв — н имеют отрицательные вещественные части, Такое преобразование можно произвести всякий раз, когда мнимые корни простые. 92 — '( — Х,у, +Х )+ — (Х,х>+У>) + — ( — )>чу +Х )+ д, 4~~з дх, дх, ду> дх2 дг, + — ("2 хи+ 1 ь) = Рв1 з> + " + Рьп зп + х з дую (в = ),..., и) (3.2) Если функции г, искать в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням х„у„х„у„то уравнения, которые получатся между коэффициентами при определении форм некоторого Й-го порядка, позволят единственным образом определить эти коэффициенты: через коэффициенты разложения функций Х„)'„Х„Г„У, и через коэффициенты форм ниже Ьго порядка.

Таким образом, будут построены ряды, формально удовлетворяющие системе уравнений (3.2): г, = ~; С,) ь "* '* " > х,' у,ь* х,' у,' (з = >,.... и; а~ -)- из -)- из.(- >>в ь 2) Пусть ~„~„..., ~„представляют собой функции, полученные из формальных рядов через отбрасывание членов выше некоторого Ж-го порядка. Если систему уравнений (3.1) преобразовать по формулам г,=и,+~,(х„уи х„у,) (з=), ..., и) (3 3) то в полученной таким образом системе уравнений относительно переменных и„..., и„функции У>га>, ..., У„ш>, в которые обращаются У„...,У„при и, = ... = и„= О, в своих разложениях не будут содержать членов ниже (0+1)-го порядка.

Обозначая новые переменные им ..., и прежними буквами г„..., х, а также сохраняя прежние обозначения для правых частей, мы получим новую систему уравнений, аналогичную системе (3.1), в которой разложения функций х.>ш>, ...„ Я„Ш> будут начинаться с членов выше М-го порядка, а разложения функций Х1Ш>, )'><'>, Х ш>, )',ш>, в которые обращаются функции Х„ У„ Х„ )', прн г> = ... = г„ = О, будут начинаться с членов некоторого и>-го порядка (и> ~ 2). Предполагая число М достаточно большим, мы можем считать что У ) т.

Это неравенство будет иметь место всякий раз, когда задача об устойчивости является несущественно особенной. 93 В случае кратных мнимых корней систему уравнений можно привести к виду (3.1) лишь тогда, когда кратный корень обращает в нуль все миноры первого порядка основного определителя, соответствующего данной системе. Система уравнений (3.!) обладает тем свойством, что в первом приближении критические переменные х„у„х„у, не влияют на переменные присоединенной системы г„..., г„, и обратно: переменные присоединенной системы в первом приближении не влияют на критические переменные. Это свойство системы дифференциальных уравнений позволяет строить функции Ляпунова и Четаева, соответствующие первому приближению, изолированно для каждой группы уравнений.

Дальнейшие преобразования, которые мы будем производить нэд системой уравнений (3.1), преследуют ту цель, чтобы это свойство распространить на члены более высокого порядка. 9 20. Прежде всего покажем, что, не меняя задачи об устойчивости, систему уравнений (3.1) можно преобразовать к такому виду, в котором разложения функций 3,>а>, 2,<з>, ..., Е„(з>, в которые обращаются функции Ям 3„..., 2„, при условии з> = ... = г„= О по степеням переменных х„ у„ х„ у, будут начинаться с членов сколь угодно высокого порядка.

С этой целью рассмотрим систему уравнений в частных производных Х/= Х/»(х„у„х„у»)+~;Р/(' »* » °" >х,» у,» х,» у»» У/=-У'м(х, Р, х, Рг)+~(/!" ' '" »'х» Р'х.»*Р' (/=1, 2; »>+»г+»з+»а ь 0) (3,4) где Х)» и г'/» — значения функций Х/ и Уг при г, = ... = г„= О, Р/(»»" »» >, ()>(»»* »" » > — голоморфные функции переменных г,,..., г„. Покажем, что преобразованием, не изменяющим задачи об ус!ойчивости систему уравнений (3.1) можно преобразовать к такому виду, в котором целые положительные числа /2„ /г„ /г„ /г» будут удовлетворять неравенству ! + й, + /2» + й, ) /!/, где )1/ — наперед заданное сколь угодно большое число. Для этого предположим, что все функции Р>(»»'" »~>, Ят(»»»»4>, у которых й, + /г, +/г, + й, < /( — 1 (К вЂ” 1 ( а/) — тождественные нули, и произведем замену Х> = $> + )' /./)1» »» »' " > Х,й у,»* Х»» уг»~ у>=ч/+~'У>1»'й й'й >х,» у,» х,» у,»* (/=1 2' »~+»г+»з+»»=К) (3.5) где (//(» ° »' »' » > и у>(» " " » > — голоморфные функции переменных г„..., г„, удовлетворяющие уравнениям дУ 1»' »" "' »'> ]р„г,+ ...

-]-Р,„г„+Л,(*>(г„..., г„)] = / дгв г=! — (>'.1»~->->, »у — 1, »~, »~> ) (/г ] 1) (/ (»~ — >, »~+>, »~, й„> / (ьг ]„1) + +иг(»*'* 'е' —" )е(й,+1) — /У/1» ' '* ' »+>> Д (/г,+1)— — ),у, ""' '+р," ' ' ' (3.6) '*' дУ (М' »3' »э К> [Рм г> +Р, г гг+" + Рви г„+2,1*> (гм ..., гд)] =— дг, У1»~+1,»»>,»,й~>)(/>]1)У(»~>,»р+>,»,»~>1(й]1)] У !»~, »„»з+>, й,— 1> 1 (ь ] 1) У !>ь. ~в, »в —, »,-1- > )„(/г ] 1)+ (/.(»~ ° »в»»~> + (/>(» ° »а ° »з»а> > (/=1 2: »г+»г+»в-]-»»=К) где г,,(*> — значения функций 2, при х, = у, = х, = уг = О. Число уравнений, представляемое системой (3.6), равно />=-4( )( ) + ) ! 23 Таким же будет и число неизвестных функций с//1» ° »* »* » >„ У>!»»' »» >, фигурирующих в формулах (3.5).