Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 21

94 Если каким-нибудь образом удастся установить, что при сколь угодно большом М имеет место неравенство Л ( л>, то задача об устойчивости будет решаться всей правой частью системы уравнений (3.1). В дальнейшем мы будем предполагать, что над системой (3.1) вышеуказанное преобразование выполнено и неравенство Л/) лг имеет место. $21. Представим функции Х„ум Х„У'г в следующем виде: Покажем, что из системы уравнений (3.6) можно определить все неизвестные у,лл ' "' л > и р,дл л л" лл под видом рядов, расположенных по целым положительным степеням переменных г„..., г„, и что эти ряды будут сходящимися в области, достаточно близкой к точке г, = ... = =г„= О. Для этого достаточно показать, что между корнями уравнений Л(х) = =0 и 0(т) =Ое, соответствующих системе (3.6), не существует зависимостей л ~~р ~т,х,=т 3=1 (3.7) — 0 ... 0 0() 0 — )ч," 0 о о...— )., )„ о ... о 0(т)= О ), О Рл (т) — 0 ...

0 Рл(т) 0 — Ле ... 0 ).,О ...О 0 л,...О о о ... ), где а„— т а„... а„л а„ аее — м ... авл РА (т)~ алл але " алл — т е Сн. нреднсловне на стр. За. где т,, ..., т„— целые неотрицательные числа, и что вещественные части корней х, отличны от нуля и все имеют один и тот же знак.

Последнее условие выполняется по той же причине, что уравнения Л(х) = 0 является характеристическим для присоединенной системы уравнений, а все корни последнего, по предположению, имеют отрицательные вещественные части. Покажем теперь, что между корнями уравнений Ь(х) = 0 и 0(т) = 0 не существует зависимости (3.7). Определитель Р(т), соответствующий системе уравнений (3.6), можись представить в следующей форме: является (е-м производным определителем от основного определителя ΠΠΠΠ— т — )в «.в — ч л, О 0 (т)= О О Следовательно, значение определителя 0(т) можно представить так: 0 (т) = 0«(т+ ()(в) 0«(т 1) () 0~ (т+ (Ла) 01 (т — () в) Из последнего выражения следует, что корни уравнения 0(т) = О будут или чисто мнимые, или равные нулю '.

Из вышеизложенного следует, что между корнями к, и т, не существует зависимости (3.7). Основываясь на теореме Ляпунова (30), можно утверждать, что система уравнений (3.6) представляет единственное определение функций Ц. «о «,. «з, «~1 И ~/ («~ «з»а»П В Вндс УКаЗаННЫХ РЯДОВ. Если теперь систему уравнений (3.1) преобразовать к новым переменным $„Ч„9„Ч„то получим новую систему, в которой роль функций Х„ )'„ Х,, )мв будут играть функции м.=(г ('](йв Чм $в, Чв)+2,Р (" ' " »4)й,й$Ч(~1$»к*Чае н,=нр д„ч„~., ч.)+ +Х(..),Ф («л «а, «1, «.) Р,«~ Ч,«1 $,«а Ч,»4 — =Хвхв+» ве(хм Ум хм Ув)+ХО« о ° ' " ' хв 'У( 'хв 'Ув ' (3.8) )(в Ув + Хво (хв ~ Ув > хв Ув) + Х Рв( ' ' " ' '1 хв ' Ув ' ха ' Уа ' Ш вЂ” "=)(ах»+)'вв(хв, у„х„ув)+~Я» "* " '1)х,' у,»*х,"*у,' луа ш оае ((1 — = р„г,+ ...+ р,„г„+Я«в(хм у„х„у,)+ +~~~ )С (ло лз «1 лп Х «АУ л1Х лвУ ле (В 1 л «+ в + -[-»в+лв ) У; л,+лв+ла.[-л, > О) где Р, 9, Я вЂ” голоморфные функции переменных г„..., г„, обращающиеся в нуль при гв = "° =" гл = О.

См. теорему Ляпуиова [19) ([в[, стр. 77). 96 где суммы будут распространяться на все целые положительные числа гв А„)е„)е„удовлетворяющие условию й, + й, + ля + л, ) К. Лавая К значения О, 1, 2, ..., Ж и производя каждый раз преобразования по формулам (3.5), мы в результате получим систему уравнений, аналогичную системе (3.1), в которой числа л„(а„й„)вв будут удовлетворять неравенству й, + +Ав'+ й, + йв ) й[. Если над системой уравнений (3.1) преобразования, указанные в 9 2О, выполнены, то последнее преобразование может изменить значение функций Хмм )'вв, Х„, Уве лишь в членах выше (([-го порядка, члены же М-го я низшего порядка останутся теми же, что и в системе уравнений (3.1). 9 22.

Преобразованнуюсистему можно представить в следующей форме — = — )(( У1 + Хво(х(, Ув, хв, Ув) +~Р((«" «" «' *1 хаму(~'х»~~У»»' Ж Функции Хин У,з Х р У„можно представить так: Х„=Х,<з>+Х,<з> < ... -) Х,<х> ) ..., У<з= У,<з> 1 +у <з>+ + у <>з>+ где Х<«> и У<«> — формы 1-й степени относительно переменных х„у„ хм уг. Функции Е„будут иметь вид айвз 2в +~в + -' где 2,«> — формы 1-й степени относительно тех же переменных х„у„х, уз. Втехслучаях, когда задача об устойчивости решается конечным числом членов и когда знак функций У, йт, Г, ((7', фигурирующих в условияк теоремы Ляпунова и Четаева, определяется членами некоторого пз-го порядка (и ( Ж) независимо от членов высшего порядка, задача построе ния функций Ляпунова и Четаева, отвечающих системе уравнений (3.8), сводится к задаче построения тех же функций, отвечающих системе уравнений ах< — ' = — )<з уз + Хз< з > -<- Х <з> -)- ...

= — )<, у, + Х, (х„у„хз, у) з< = 1<< х, + У,<з>+ Уз<з>+ ... = 1<з х, +У, (х„у„х„у,) «у< (3.9) — '= — ) У,+Х,<з>+Кз<з>+ ...= — )<зУз+Х (х„У,, хзз Уз) — "' =)<зх,+у<'>+ уз Ю+ ... =)<зхз+у,(х„у„хз, у ) ЙДз зп где длЯ сокРащениЯ письма Хзо 1'зз Хм Узз заменены на Х„У„Х„1',. Может случиться, что в результате преобразований З 20 формы Хз«>, У <и, Х <и, 1',<П будут удовлетворять условиям Х,<п (О, О, х„ у,) = 1;<'>(О, О, х„ УД = Х,<'> (х„ У„ О, 0) = = 1'з<'> (х„ у„ О, 0) = О (3.10 (3.11) для всех 1( )<>.

Тогда вопрос об устойчивости будет решаться непосредственно рассмотрением системы уравнений (3.9). В противном случае систему уравнений нужно преобразовать так, чтобы условие (3.10) выполнялось. й 23. Условие (3.10), фигурирующее в предыдущем параграфе, выполняется для 1 = 1. Если мы предположим, что оно выполняется для всея 1( >з — 1, и докажем, что, не изменяя задачи об устойчивости, систему уравнений (3.9) можно преобразовать к виду, в котором условие (3.10) будет выполняться для всех 1 ( К то отсюда будет следовать, что в резуль тате последовательных преобразований система уравнений (3.9) примет нужный нам вид.

ПРедставим фУнкции Х,, Уз, Х„У, в виде Хз = Хдз (хз~ Уз) +Х< (хз~ У» хз Уз) 1 з = Узз(хз~ Уз) + + 1',' (х„у„х„у,) Х,=Х.,(х„У,)+Хз~(х„У„, х,, У,), У,= Узз(х„У<)+ +уз" (х>, у,, х,, уз) где Х,* н У,* обращаются в нуль при х, = у, = О, а Хзз и У,* при х,=* у,=О. Произведем замену переменных х„у„х„у, по формулам х, = $з+ уз<'> (х„у,), х, = $з+ уз<з> (х„у,) у, = тц+ уз<з> (х„уз), у, = з>з+ уз<а> (х„у„) 7 ззз з<зз 97 где Ц <в>, У <в>, (>'в<в>, У <"> — формы й-й степени от соответствующих пе- ременйых, удовлетворяющие уравнениям д<> <М д<><<в> — Лв Ув+ Лв хв = Л> " в<~> +Хвв<в> дхв ду, Л,— 'д,+Л, — ',=Л,и,<в>+У<в< ду<< > др<< > (ЗА 2у — Л,— у,+Л, — х,= — Л,Ув< >+Х„< > див<в> д<>в<"> в в дх< ду, дув<в> ду,<в> Л, ° д,+Л,— 'х,=Л,и<в>+У <ю дх< дуд На числа Л, и Л, наложим условия Лв (и>, — тв) чь Л„Л, (т, — тв) ~ Л> (3.13~ для всех целых положителььых чисел т„гп„сумма которых (и>, + п>в) ~( (й>.

При условии (3.13) система уравнений (3.12) представит единственнбе определение форм 0,<в>, У,<">, Ув<в>, У,<ю. Если теперь систему уравнений (3.9) преобразовать по формулам (3.11), то получим новую систему уравнений, аналогичную системе (3.9), в которой соответствующие формы х-й степени обратятся э нуль, при этом члены ниже й-го порядка останутся без изменения. Давая числу й различные значе- ния от 2 до й! и производя каждый раз преобразования по формулам (3.11), мы получим систему уравнений, для которой условие (3.10) будет выпол- няться.

Примечание. Условие (3.13), достаточное для определения форм Ув<в>, У,<в>, [/в<в>, У,<в>, не является необходимым. Определение втих форм вне- которых случаях возможно и тогда, когда условие (3,13) не удовлетво- ряется.

В этих случаях на коэффициенты форм Хм» У„, Х„, Увв иеобхо. димо наложить некоторые (известные) числовые зависимости. $24. Предположим, что над системой уравнений (3.9) преобразования, указанные в предыдущем параграфе, выполнены, введем замену х, = г,соз О„у, = г,з!и О,. Переменные г„й„х„у, будут удовлетворять уравнениям — ' = Х, соз О, + У, з!и О> = ~ч.", А<в, в, ве> г,в хв" у вв <И гд — > =Лдг<+У< сов О< — Х з!пО = Л г + ,'~ В<в в ° в~> г вх в у в «в, (3.14г — '= — Лвув+Х,*(х>ь ув)+~С<в в ° в*> г,'х,в у," — "' =Л,хв+Ув»(х„рв)+~~Р~Р<'в в >г,вхвв1рвв> где пад А, В, С, Р разумеются периодические функции от О с общим периодом 2п.

Суммы, стоящие в правых частях этих уравнений, распространяются на все целые положительные числа й, й>,/г„удовлетворяющие условию й+ й, + йв--т ) 2. Причем для тех чисел й, й„й„сумма которых меньше или равна й>, число й отлично от нуля. Функции Хв», У,» представляют совокупность членов, не зависящих от переменной гв. Может случиться, что коэффициенты А<" в ° вв>, С<в в ве>, Р<в " в >, фигурирую>цие в уравнениях (3,14), будут постоянными величинами„ по крайней мере для всех й, йм й„удовлетворяю>цих условию >в+ Й, + 98 +(»»(М. В этом частном случае задача об устойчивости будет решаться тем же способом, который был указан в главе 11 (один нулевой и пара чисто мнимых корней).