Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 16

Пусть, кроме этого, рр(е) = р(р(2п — е) = О, При таком выборе функции ар выражение 2)ео — а(р(ео в интервале (е, 222 — е) будет отрицательным. Функции рр в интервале (е, 2п — е) можно придать вид ф=№(0) ао ргде ра'2(8) ) 2арсореее/Ь в области )го ) О. Мы можем, кроме того, предпо- ложить, что рар' (е) = рар' (2я — е) = 0 В интервалах (О, е) и (2я — е, 2я) функцию ф определим следующим об- разом: оо) 1 РР! (2! Яо' И Юо ! 2е — е в 2К ~ ж%,(В=~ф (О+ ~ р (В е о 2о — е у) ар (0) = ар (2п), ар (е) = ар (2я — е) = 0 где (Нов! — наименьшее значение модуля )го в вышеуказанных интерва- лах.

Если )Я,о(0 =0 о то роль функции а)р может играть функция №Я„где ррр' — постоянная ве- .ЛИЧИНа, УДОВЛЕтВОРЯЮЩаЯ НЕРаВЕНСтВУ й12 ) 2)хеп,еЛ,. При этом условии функция Р примет вид о ра "г «р( — е 12,аа) о и вместе со своей производной о р - .+ р( — е'1оаа)рае,— и ооа-:реа-., о будет удовлетворять первой теореме Ляпунова. Если 1 а,р(ВФО (1.50) о но функция 1'„~о знакопеременная, то функцию рР в интервале (0,2п) можно определить равенством ер ~ (0) (во предполагая при этом, что лр'е(О) удовлетворяет условию 2 ар 1М2(0) а, (0=0 о "а4 Если при условии (1.50) функция Яо знакопостоянная, то, очевидно, в интервалах (О, е) и (2п — е, 2зз) при достаточно малом е она должна удовлетворять неравенству ~ Яо~.= йе где рз — отличная от нуля постоянная.

В силу этого условия неравенство (а) можно переписать так: а') 1Чр )(21йое1/Йез Очевидно, что неравенства (а), (р), (у) или (а'), (р), (у) будут удовлетворяться, если положить зрз'=, — ' ' в интервале (О, е) о+з1п З о+з1п з Фз = Ссозз Ссазз в интервале (2я — е, 2я) з+з1пе о+з1по предполагая, что числа С и е удовлетворяют условиям: Йз ~ 1+з Р з1пз~ 2 ~ ~ о ! 1+з 'з1пз) В последнем равенстве под числом М можно понимать значение интеграла зл — е ) М(0)д,(0) (О е Условия, которым должна удовлетворять функция Ж(0), позволяют считать число М ограниченным.

В силу этого неравенство (6) и равенство (6') при достаточно малом е будут совместны. Таким образом, мы определили непрерывную функцию ф в интервале (О, 2я) как состоящую из трех частей: ф=ф,(0) в интервале (О, е) ф=рр1з(0)Яо в интервале (е, 2п — е) р(р=зРз(0) в интервале (2п — е, 2п) Эта функция в указанных интервалах удовлетворяет условиям 2йо — Ф~о(0 (1.51) зл ~ф(0)(0=0 (1.52) о Значение функции ф в интервале ( — по, +оо) определим равенством (1.53) ф (О) = р(р (2я -(- О) В силу условий (1.52) и (1.53), функция о р- * р~ — 1ррврер) о будет определенно-положительной функцией переменного г.

Из неравенства (1.51) следует, что ее производная будет определенно. отрицательной. Следовательно, на основании первой теоремы Ляпунова можно заключить, что невозмущенное движение асимптотически устойчиво. ЧЪ й 12, Все случаи, которые нам осталось рассмотреть, характеризуются условиями: 1) уравнение Р = хУ< > — уХ<~> имеет вещественные решения, отличные от очевидного х = у = О. 2) отношения Х>"'>/х, У>">/у для некоторых вещественных решений уравнения Р = О обращаются в нуль, а при всех остальных — являются величинами отрицательными.

Условия Ц и 2) могут иметь место лишь в том случае, когда функции Х<"о и У>"» имеют общий множитель вида Р (х, у) = ау + Ьх где а и Ь вЂ” реальные числа. Уравнения (1.37) при этом условии можно преобразовать к виду — х =у,Х,<"' — »+Х,>"'+»+... =Х,(х, у>) а> у, У,< >+У, >+... У,(х, у,) ау1 а> (1.54) Мы, следовательно, должны предполагать, что выражение А,»"+" > х +" соответствующим выбором сколь угодно малого значения х можно сделать величиной положительной.

Этому условию можно удовлетворить всякий раз, когда (т + а) — четное или когда при нечетном (т + а) коэффициент Ао> "+" > больше нуля. Возьмем функцию У=х'+у,' Производная этой функции в силу уравнений (1.54) будет иметь вид У' = 2х (у, Х > '>+у, Х,* > >+ ... +Х ~'"+'» -(- ...) -(- +2у 2(У >~-»+У э >~» + где положено Х,»>=у„Х,*» — >, 1) >и+1 У>~ > = у> У> >> В области Р, где х"~ — у,') О, х) О, соответствующим выбором целого положительного числа М значение производной можно сделать величиной положительной. Для этого достаточно положить Ф ) а + 2. 7б где положено у,=ау+Ьх В уравнениях (1.54) под функциями Х,"> и У,"> нужно понимать формы 1-й степени, которые получаются в результате преобразования уравнений (1.37).

Исследование уравнений (1.54) начнем с простейшего случая, когда правая часть второго уравнения обращается в нуль при у, = О, а правую часть первого уравнения при этом условии можно сделать величиной положительной. Пусть наинизшая форма Х>>"'+'», отличная от нуля прн у, = О, имеет вид Хг>~+~> = Ао>и+а>ха+а +А>>а+а>у ха+а — > + ° +А~>~++ач> у "'+~ Знак производной У' в области Р при этом условии будет определяться знаком выражения А о"+"~ х +а+', которое, по условию, при достаточно малом х можно сделать величиной положительной. Мы можем считать, что область Р находится внутри области $':.» О, следовательно, в области Р значение Л" больше нуля.

Возьмем функцию 11У зю, у э Производная этой функции будет иметь вид М7' = 2)У, хзл -' (ут Х, ~ -' ~ + у, Х,* < "> + ... + у, Х "' <"'+~-з~ + +Хх +а~+ ) 2у. ( ~ -О+), + ) Пусть наннизшая из форм У;"~'>, отличная от нуля при у, = О, есть У',*<"'+а~(х, 0)=В,< +Мх'"+з Целое положительное число У1 определим неравенствами (1) й(,>М, (2) Фт)6+1 Если 6 » а — 1, то знак производной )Р' на границе области Ж' ) 0 (где у,' = х'"*) прн х достаточно малом определяется знаком выражения 2)ч,А,(~+ю х'х+ +' — ', которому можно приписать определенный знак (мы можем рассматривать одну часть области Ж' ~ 0).

Если 6 < а — 1, то знак производной в указанной области определится знаком выражения 2В (т+6) хзл~+и+6 которое этот знак будет сохранять для всех значений х, лежащих на границе области 1Г = О. В случае 6 = а — 1, знак %" определится знаком члена 2(х( А (т+ю В,(Я+ь]) хзх,+Я+а — ~ Мы можем предположить, что Ж,чьВ,<'"+з>/А ("+з1. Тогда знак этого члена будет определенным для всех значений х, лежащих на одной из границ области В' = О.

На основании изложенного можно утверждать, что построенные функции У и Ю' удовлетворяют всем условиям теоремы Четаева, по которой можно заключить, что невозмущенное движение неустойчиво. Рассмотрим теперь случай У,(х, 0) чь О. Пусть 1,(х, О) =В,-+з х-+в+В,<-+в+ >,-+а+ +... Х, (х, 0) = А,<'"+" 1 х'"+' + А,<'"+'+0 х +'+ ~ -)- ... Будем, как и в предыдущем случае, предполагать, что при достаточно малом х значение Х, (х, 0) можно сделать величиной положительной (этому условию нельзя удовлетворить лишь в том случае, когда (т+ а) — число нечетное и А,("+ю~О.

Во всех других случаях число А,< +'> можно ,считать положительным). Исследуем случай р ) а, у",< — '~ (х, 0) ь О. Положим у = х'+у,з .тогда У' = 2х(у1Х1( О+у Х~» <т~-(- . +Х1~т+ю 1 ] т +2у (у ~'1~.-0+у,);*~-~+...+у,~-+з+„,) В области Р, где Яу=рэ2хз<"+ю — уэ> О, х)0 значение У' при достаточно малом ]х] можно сделать величиной положительной. Следовательно, в области Р УУ' ) О. Производная <>Ф/«/ в силу уравнений (1.54) будет иметь вид %" = рз2 (а + 2) хз <а+я> ' (уд Хд<ед ' > + уз Х» <"'> + ... +Х <"'+а> -<- ... ]— — 2у„(у,У,< -'>+ ...+1',< +Р>+ ...1 ПРи УсловиЯх 1'д< — '> (х, 0) чь О, Р ) а + 1 на гРанице области Р, ГдЕ у,' = )дзХз<а+З>, Х ) О, производную <>%'/</Г можно записать так: ]<<" = — 2)дзВ>< — »хз <а+з>+ — ' <- Еохе <а+')+'" д.

Е, хз <а+')+ +< -,'- „. где Е„Е,... — известные постоянныед. При х достаточно малом знак этою выражения определяется одним первым членом, который на границе области Р знака не меняет. Следовательно, построенные функции 1' и Ж' удовлетворяют условиям теоремы Четаева, по которой можно заключить, что невозмущенное движение неустойчиво. Если при У,< ') (х,О) ~0 будем иметь, что р = а+ 1, то ]Р" примет вид Ж ( 2),зВ,< -»~2рВ,<.+а+~>)хз<а+з>+ -< < Е,хе<а+я>+ +, где Е„Е„...

имеют прежний смысл. Число >д определим неранеиством И ~ ~ Во<~+а+>) И Вд' <)! При этом условии ]й' на границе области Р сохраняет знак, следовательно, движение опять неустойчиво. Рассмотрим отдельно случай р > 2а. Пусть У,<м — ' > (х, 0) = У,* <"'> (х,О) = ... = =1',»<"'+ь ')(х, 0) О, Уд*<'"+ь>(х, 0)ФО Если Ь а — 1 и р ) 2а + 1, то производную <>%'/Ж на границе области Р можно представить в виде ]]7' = 2рз (с< -1-2) А <я+а) хз <а+<)+м ~ Е хз <а+< >+я+> В случае 6 ( а — 1 будем иметь цт.