Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 14

+р«„х„+Х,(х, у)+2"„х" у"*Р««"' "'>=О О= «, „., и> (133) Левые части этих уравнений обращаются в нуль при х = у = х, = ... = х„= О. Но их функциональный определитель в отношении х„...,х„ при этих значениях переменных отличен от нуля. Поэтому уравнения зтн разрешимы относительно величин х,, ..., х„единственным образом: хд —— ид (х, у), . х, = и, (х, у), ..., х„=- и„(х, у) где и,, и„— голоморфные функции переменных х, д, разложения которых по степеням х, у не содержат членов ниже второго порядка.

Наинизшая степень функций ид, ..., и„будет равна наименьшему числу л««. Преобразуем систему уравнений (1.32) посредством подстановки х,=д,+и,(х, у) (1.34) где у, — новые переменные. Если в преобразованной системе через Х*(х, у), У" (х, у), У«*(х, у) обозначим совокупность членов, независящих от переменных уд, ..., у„ а через т* — наинизшую степень разложения функций Х* н У*, то наинизшая степень разложении функций «'«и будет больше иди.

Значения функций У«*(х, у) при таком преобразовании определяются равенствами У«(х, д)= — — Х вЂ” — 1' («= >, ...', и> ди« и ди« дх дд Если в результате преобразования мы будем иметь, что Х* — У* = — О, то точно так же получим )'«и ии О. Предполагая, что над системой уравнений (1.32) преобразования по формулам (1.34) выполнены, и сохраняя в преобразованной системе прежние обозначения, определяем новые функции и„..., и„нз решения уравнений (1.33), где под Х,(х, у) и «>г,«" "а> разумеются новые функции, полученные в результате первого преобразования. Разложения функций и„, и будут начинаться с членов не ниже (и + 1)-го порядка В результате новой аналогичной замены х, = у, + и,(х, у) мы получим новую систему, в которой формы Х«"» и У<"'>, фигурировавшие в уравнениях (1.32), подвергнутых первому преобразованию, не изменят своего значения, а разложения функций г'«, в которые обратятся функции Х„не будут содержать членов ниже 2т-го порядка.

бз Если предположить, что система уравнений (1.32) обладает указанным свойством, и если ее подвергнуть аналогичному преобразованию в третий раз, то наинизшая степень разложения функций Х(, полученных в результате третьего преобразования, будет больше, чем Зи — 1, где и — наинизшая степень функций Х и У, полученных в результате первого преобразования.

В результате третьего преобразования функции Х и У могут изменить свое значение, но формы Х('), Х( +!), , Х(ь ) 1«(и) 1 (е+!) у(х"'> останутся теми же. Применяя указанное преобразование достаточно большое число раз, мы получим необходимое неравенство и; и+У В дальнейшем мы будем предполагать, что система уравнений (1.32) есть система, над которой указанные преобразования уже выполнены. Может случиться, что в результате этих преобразований все функции (~(х«, х«) и Ры' х«), для которых й, + й, ( и + (у, обратятся в нуль. Тогда вопрос об устойчивости, как увидим, будет решаться непосредственно рассмотрением уравнений (1.32).

В противном случае будет необходимо некоторое дополнительное преобразование, и мы сейчас покажем, что систему уравнений (1.32) можно преобразовать в систему такого же вида, но в которой функции Я(~ ~«) и Р(~ "*) для всех целых положительных чисел й„йм удовлетворяющих условию А! + й, ( и + Ф, тождественно равны нулю. В самом деле, предположим, что в системе уравнений (1,32) все функции ()(х **) н РЫ" а ), дЛЯ котоРых й, + хх ( К, тождественно нУли, а те же функции при й, + й, К вообще отличны от нуля. Введем замену х $+ ~~ха«ух«(((й«, )««) у (1 1 ~<хх«ух«у()««, х«) (а 1 «К) где $, т) — новые переменные, а у(" х*) и у(х ° х) — голоморфные функции х„..., х„, удовлетворяющие уравнениям ««ы, «) (рц х, + ...

+ р,„х„+ Х,*) = Я(х ° "«) )=! х! дУ(«' ~«) (р«ах + ... +Р(„х„+Х(х)=Р ° ) (а(+а, К) дх! в которых Х(х представляют совокупность членов, не зависящих от перемен- ных х, у. В случае К = О зти функции будут иметь вид Х * — Х (и о) 1 ~. Юп,о««,Я («««, л«) (и ()((),О) 0 — х7((),())) В силу теоремы Ляпунова (ЗО) уравнения эти дадут для функций (/(х х«) и И"»х«) единственные решения в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням переменных х„, х„. В результате преобразования мы получим систему уравнений, которой удовлетворяют переменные 5, т), х„..., х„: — "« =Х*($, т))+2'.~х т)'Я'" х ) «(! Ч У э($ ())+~~~ $Й«т)(«РФ (Й«Й ) Й р х + +р х +Х Ф (з (1) +~)~ а«««))«««)(«э [«««, «««) О=), ... л, )(1+)(«) К) 5« 67 Нетрудно заметить, что в этой системе уравнений все функции Я* >»» »«> и Р»>»'» > тождественные нули не только при й» + й, ( К, но и при й» + й» = К, а формы Х»>«»> Х»<«««+и Х»>««+»> У»>т> У»<т+О У*>»«+»> (1.35) своего значения не изменят.

Если указанное преобразование проделать достаточно большое число раз, то получим систему уравнений, в которой все функции а"'">. р' ' (»«+»«м»«+ У) (М сколь угодно большое целое число) будут тождественно нули, а указанные формы (1.35) своего значения не изменят. Полученные уравнения и послужат точкой отправления для дальнейших исследований. 9 В. Итак, предложенная система дифференциальных уравнений возмущенного движения имеет вид — =Х<"'>(х, у)+Х> .ь '>(х, у)+ ...

+Х>"'+ ">(х, у)+ «)1 +...+~х у Я~ — ~ = У<> (х, у) + У> + ' > (х, у) + ... + У> -ь ~> (х, у) + -)-... +,'> х» у» Р<»«»«> ( 1.36 >>> — '= р>,к,+ ... +Р>„х„+Х>>'"+ "+'>(х, у)+ «>« +Х>>'"+"+'>(х, у)+ ...+Х>(х, у, х,, ..., к„) (« = 1, ..., л, »«+»» > ж+ >>() где Хп>, УО>, Хл'> — формы 1-й степени, Х; — голоморфные функции переменных х, у, х„..., х„, уничтожающиеся при х, = х, = ... = х„= О, разложения которых по степеням этих переменных начинаются с членов не ниже второго порядка; я'»»«> и Ры» »*' — голоморфные функции тех же переменных, обращающиеся в нуль при тех же условиях; (у— сколь угодно большое целое число. Кроме того, все корни уравнения р>» — и р„... р,„ Рм Р»» к" Р» =О Рп> Р»» " Ра» по предположению, имеют отрицательные вещественные части. 9 9.

Рассмотрим сначала плоскую задачу, которая приводится к исследованию системы дифференциальных уравнений вида — =Х>"'>(х, у)-)-Х>"'+» (х, у)+ ... й~ «в (1.37) — ~= У> >(х, у)+У< +'> (х, у)+ ... ««« Относительно этой системы можно установить следующее. Теорема б. Если: 1) уравнение Р = хУ>"«> — уХ>"'> имеет вещественное решение, отличное ат нулевого, и 2) Х>«">(х или Уею(у можно сделать величиной положительной при условии Р = О, то невозмущенное движение неустойчиво. действительно, линейной подстановкой с постоянными вещественными коэффициентами х=)>,х,+)»»у„у=)»,х,+р,у, 68 уравнения (1.37) можно преобразовать к виду — = — (А,х„"'+А,у,х,~ — '+ ... +А,„у,")+Х,<~+»+...

й а щ = — (В,х, +В,у,х, — '+ ... +В„у,")+У>"+»+... а> а (1.38) Коэффициенты А„В„В, имеют значения А,= р,Х>"'> — Х,У~"'>, Вэ=х)'>"о — уХ< > где вместо х и у следует подставить Х, и рм В силу условия 1) теоремы 6 Х, и р, всегда можно выбрать так, чтобы В, обращалось в нуль. В силу второго условия коэффициент АрФ можно сделать величиной положительной. Предполагая, что ),, и р, выбраны указанным способом, рассмотрим уравнение Ну пух +...+В~у +У> + >-> ...

Нх1 Адх1"" -)-А1у,х,"' >+ ... +А,„у,~+Х1>~+>>+... Заменой у, = гх, оно преобразуется к виду х, — =аг+Ьх,+>р(х„г) (1.39) ах> где <р(х>, г) — голоморфная функция переменных х„г, разложение которой начинается с членов не ниже второго порядка. Если коэффициент а = — 1+ В,/А, неравен целому положительному числу„то уравнение (1.39) имеет голоморфный интеграл, обращающийся в нуль при х> = О, вида г = с,х, + с,х,' + ... а следовательно, У> (х>) = с, х,2 +сэ х з 1 Если а — целое положительное число, то голоморфного интеграла в отношении х, может и не существовать, но интеграл, голоморфный по отношению к х, и х,1п х, и обращающийся в нуль при х, = О, при этом условии существует.

Обозначая его через г = ф(хм х,1п х,), получим у, (х,) = х, >р (х„х, 1и х,) Преобразуем систему уравнений (1.38) к новым переменным, положив у, =у+у,(х,), х,=х В преобразованной системе правая часть второго уравнения будет обращаться в нуль прн у = О. Коэффициенты А„, Ам ..., А, В„..., В,„ своего значения не изменят.