Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 10

+ Р1л хл + Х! !з! 1 х, т1 + '~~', х, У! + 1 ! с=! + ~ч; х, Р,!'!+ Х,' в =1 Совокупность членов, не зависящих от переменной т) и содержащих линейно переменные х, ..., хл в полученном уравнении, будет иметь вид л л Г л ~ч~ х,Р, — ~ч', У1 ~рх1хх+ ... +р,„х„+ ~~' х,Р,"!(х) в ! 1 1 в ! Если определим функции У!(х) из уравнений Рм Ух+Р„Уз+ ... +Рл! 1'„=Р,— У,Р,!'! — У,Р,!'! — .. — Улр,'"' то получим новую систему уравнений: л — = т>+ ~ х! Р>(х) »! и — '1 =т>'Рт(х)+ ...

+ э хь!">м '>+т! ~ хьЯ!4 >>+ ... ь=м ь=ы — '= р„х,+ ... + р,„х„+Х>!!»(х,т))+Х !>>(х, т>,х„...,х„) (>=1, ..., л) где Р,(х), ..., Я1~ '>, Х,!'>(х, Ч, хм ..., х„) — функции той же структуры, что и в системе уравнений (1.10), причем разложение функций 1,>1~ о> начинается с членов не ниже второго порядка. Хйа> (х, т>) — значение функций Хт!з> (х, д) с заменой у на т!.

Функция Четаева, отвечающая системе уравнений (!.13), представится в виде т'=хт) + 1'„(х„..., х„) (1.13) где т'! — квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению (1.12). Производная иИН в силу уравнений (1.!3) будет иметь прежний внд: и Г = т)'+ х>т + ... + х„з+ т> ~ч" х, 1! (х) + !т (х, т>, х„..., х„) ! ! где, как и в предыдущем случае, функцию Я можно представить в виде л п Я=>)>т>'+ ~' ~' фых,х> >=! 1=1 В силу того, что 1', — определенно-отрицательная квадратичная форма, а >!' — знакопостоянная функция, обращающаяся в нуль лишь прн условии т)=х = ...

=х„=О заключаем, что область т'Г ) 0 ограничена 1! = О. Следовательно, построенная функция Р удовлетворяет всем условиям теоремы Четаева. В силу доказанного мы можем формулировать следующее предложение. Теорема 1. Пусть определяющее уравнение имеет два нулевых корня с одной группой решений, при и остальных с отрицательными вещественными частями.

Система дифференциальных уравнений возмущенного движения приведется тогда к виду (0.1), Если в результате преобразования х! = у, + и, (х, у) где и; (х, у) — корни уравнений р„и,+ „, +р>„и„+Х;(х, у, и„..., и„)=0 функции У,(х, у) и дГ,/дд обращаются в нуль при у = О, и если при этом разложение функций Я!" '> начинается с членов второго порядка, то не- возмущенное движение неустойчиво. Если в результате преобразования мы получим, что разложения функций Я!4 '> содержат линейные члены, но при этом дХ>!з>!ду = 0 при у = = О, то невозмущенное движение также неустойчиво. Если дХ>!з>/ду чь 0 при у = 0 и 9!4 з> содержит линейные члены, то к преобразованной системе уравнений необходимо применить указанное 4Б преобразование вторично, при этом после преобразования мы должны рассмотреть два возможных случая: 1) 1',(х, у)=0, д1;(дд=О при у=О 2) Уо(х,у)=0, дУо(ду+О при у=О В первом случае мы будем иметь Х;>о>(х, у) = О, дХ><о>!ду= 0 при.

д=О. Во втором случае выражение дХ>>о>(ду может и не обращаться в нуль. прн у = О. В этом последнем случае числа а,а> и а, обязаны удовлетворять. неравенству ап>) а +1 0=>, ...,и) Случай первой категории отвечает теореме 1), из которой следует неустойчивость невозмущенного движения. Случай второй категории, в котором дУо(ду) о=о =(,(х)+ 0 рассматривается в следующем параграфе.

й 3. Рассмотрим второй случай, который может представить система уравнений (1.10). Этот случай характеризуется тождествами (о(х)= — О, (о">(х)=0 у=>, ...,и'> В отличие от случая, рассмотренного в з 2, здесь („(х) = а, х'*+ ..., а, + 0 Допустим, что а„~ О. В случае нечетного а, число а, всегда можно считать положительным, так как заменой х на — х и у на — у знак можно изменить. Будем предполагать, что разложение функций я<о о> по степеням пе- ременных х,, ..., хл начинается с членов не ниже второго порядка.

Функция Четаева, отвечающая системе уравнений (1,10), в нашем пред- положении будет иметь вид У = ху+ У, (х„..., х ) где по.прежнему функция У, удовлетворяет уравнению (1.12) и является функцией определенно-отрицательной. Полная производная функции У в силу уравнений (1.10) будет иметь вид У'=до+Ух(,(х)+ Уох(о(х) + ... + ~ хо+ > Я>о о>+ ое + У Д хо+> Я>о '>+ ... +х,о+ ... +х„о+~ — Х, »»> о=о, зх> Но при наших предположениях относительно функций фо о> и Х>>о> это выражение можно представить так: У'=до+ух(,(х)+х,о+ ... +х„о+Я(х, у, х,, ..., х„) Функция Я имеет вид л л Л (с= уо>1>+у ~ч~~ х>>1>>+,~„~, >Р»х,хт где >1>, >)>>„>»» — голоморфные функции переменных х, у, хм, х„, обра- щающиеся в нуль при х = у = х, = ...

= х„= О. В области х ) О, у ) О, где возможно неравенство У ~ О„выражение дух) при а, ) 0 является величиной положительной. Следовательно, в области У) 0 производная У' положительна и об- ласть У ) 0 находится внутри области У' ) О. 4Т +у ~~р~ х»я!» '!+ ... »=», !!»! — = рмх, +1... + р;„хи+у)«!!! (х) -1- ...

+ ~~' х, РО!!!+ и=! (1.14) О2 СО +Х х'а !+у Х х а '!+... (,=),...,.) «о «-а где ЄР!!! — голоморфные функции переменной х, разложение которых начинается с членов не ниже а,-го порядка. я!«и>, я!!» и!, являясь функциями переменных х,, ..., х„, не содержат в своих разложениях членов первого порядка. Введем замену л и х = $+ ~~'.~ х!У, (х), у = т) + ~ х!У, (х) (1.15) 1=! 1=! Уравнения, которым удовлетворяют функции $ н ть будут иметь вид и л — = Ч+ ~ х, У, — ~~' У, р,«х, + ... + р, х„+ О(М. Х* »)Ип'!И О- ОХ*.Ю'О Х*И" "О ! =1 а=! «=о + т) + ~ч~~ х, У! ) Ъ' хЩ» '>+ ...~ — ~ х! — !(Ч + '«', х,.

У! ! ! ! и= ! »=». и ОО л .~.(ОО ~* !' ) и*'ИО "О- — В1 !И *.~....ОИ,*,О «= ! »=», «=! О(ООХ* ! )!ОО- О 3 *,имО $*'ил "О ...]— / и ! »-о л ии / л — т.* ~(ОО в *!',) (1.16) И» Если теперь функции У«(х) и У«(х) определить согласно равенствам и,Р„+и,Р„+...+У„РО,— У!(1 — ), и, 1,!«!У,—...— 1, и.)+ +Р!(!! У~+ ... +Р,(л!Уи =О Значение У' = О в области х: О, у ) О возможно лишь прн условии У = Х, = ... = Хл ОО О. НО ПРИ Этнк ЗНаЧЕНИЯХ ПЕРЕМЕННЫХ бУДЕМ ИМЕТЬ У = О.

Таким образом, построенная функция У удовлетворяет всем условиям теоремы Четаева, следовательно, мы имеем дело с неустойчивым невозмущенным движением. Если разложение функции Я!» и! начинается с членов первого порядка, то прежде чем строить функцию Четаева, эти члены необходимо уничтожить. Представим с этой целью уравнения (1.10) в следующей форме: Ы» !)! — =у~«(х)+у«~«(х)+ ... + ~~~ х,Р, + ~~ х»Я!»»>+ Иу а и-!»=». Упри+ У»р>п+" + У. Р.> — Р> — У> (Л-7»О> У» — Ю>У» — "— — ~," У„)+", ' У,+Р,< >У,+...+Р, У„=О которые допускают единственное определение функций (7> (х) и У, (х) в виде сходящихся рядов, младшие члены которых будут не ниже э;го порядка, то правые части уравнений (1.16) не будут содержать членов вида х>х .

Исключая х из уравнения (1.16) с помощью первого уравнения (1.16), получим систему уравнений вида »7, ~Ю л~ — Ч+Чф (5)+Ч ф 6)+ "+ ~ч", $ Р>» "+Ч ~ч" ;РР>» '>+. »=»а »»~ О ОР "Ч вЂ” Чч> (») 1 Ч»>р (») 1 .( чг э» >э>», о> 1 Ч ~~ э» >э>», >> 1 л> »=». »=», (1.17) ~ ' =рпх +...+р,„х„+Ч~,п>Д+...+~РР,,ы >+ +Ч ~ч~~ $» Й>оь >> + (> = 1, ..., и) где Р>»»> и )с<»»> — голоморфные функции переменных х„..., х„, разложение которых начинается с членов не ниже второго порядка. Наннизший член разложения функции >р,($) будет иметь тот же вид, что и соответствующий член в разложении функции 7»(х), а наинизший член функции >1>Я) будет иметь степень, большую, чем а, + 1. Функция Четаева, отвечающая системе уравнений (1.17), будет иметь вид У = $Ч+ У» (х,, ..., х„) где У» — квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению (1.12).

Производная сЛЧ(> в силу уравнений (1.17) будет У' =т1'+х,'+ ...+х„»+$Ч>р,Д)+Ч» Р(»„Ч, х„..., х„)+ П л л +»1 ~ч", х, Р,($, Ч, х,, ..., х„)+ ~ч; ~ч~ х>х>Р>т($, Ч, х„..., х„) >=> !-> где Р, Р„ Р,. — голоморфные функции переменных $, т1, х„ ..., х„, обращающиеся в нуль при равенстве нулю этих переменных. Если а, ) О, то в области $ ) О, »1 ) О, где У ) О, производная У' имеет положительные значения и обращается в нуль лишь прн условии Ч = х, = ... = х„= О. Но при этих значениях переменных функция У также обращается в нуль. Отсюда следует, что построенная функция удовлетворяет всем условиям теоремы Четаева, и мы снова получаем неустойчивость.

Лримечание. Преобразования, связанные с уничтожением членов вида х»х'" в правых частях уравнений (1.10), как мы убедились, не влияют на числа а» и ам следовательно, при решении конкретных задач эти преобразования выполнять не следует. Рассмотрим теперь случай: а, ~ О, а, — число четное. Определим функцию Р»($, Ч) из уравнения " (Ч+Чф»($)+Ч,($)+...]+л 1Ч%1($)+Ч,. ($)+...1=0 д$ дч На основании теоремы Коши мы можем утверждать, что функция, удовлетворяющая этому уравнению, будет голоморфной функцией, обращающейся при $ =- 0 в произвольно заданную голоморфную функцию одного переменного т>. Определим функцию Р»($, Ч) так, чтобы при $ = 0 было Р (О, т1) =Ч.

4 Зак. 3>26 49 При этом условии функция г,Я, Ч) представится в виде р,К, ч)=ч+р,($, ч) Функция ЧттЯ, Ч) не будет содержать членов ниже второго порядка относительно переменных $ и Ч. Притом она будет такова, что младший члета функции Ч"т($, 0) будет ат $а~+! и,+1 Определим функцию г тД, Ч) из уравнения — '1ч+чМЗ)+чттр ($)+ -)+ — т (чу ($)+чттр 6)+".) = — ч' д$ дч и потребуем, чтобы функция г,Д, Ч) обращалась в т)' при $ = О. Представим функцию г,($, т)) в виде р 6, ч)= а($)+чв.(а)+ч'в.6)+-. Из уравнения, которому должна удовлетворять функция Г„следует„ что в,Я) = О.

В силу того, что )а,(0, Ч) = Ч', имеем вД)=0, вД)=1+АД+... Здесь А, = — 2ув а у, является первым членом разложения функции тр, по степеням $. В силу того же условия (г т(0, т1) = Ч') будем иметь в, = в, = ... = 9 при 5=0. На основании изложенного функцию гт можно представить в виде Рт($ Ч)=Ч'+Ч'Ч'т6, Ч) где Ч'т(а, Ч) — голоморфная функция, обращающаяся в нуль при $ = О.