Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 12

Примечание. Преобразования, связанные с увеличением чисел а,<'> и Ь„как мы убедились в 5 1, не влияют на числа ао и а,, а при условия а, ( а, указанные преобразования не могут изменить и чисел а, и а,; следовательно, при решении конкретных задач преобразования 5 1 производить не следует.

При решении конкретных задач необходимо произвести лишь преобразования, указанные в теореме. $5. Из всех возможных случаев нам осталось теперь рассмотреть лишь те, когда при нечетном ао и отрицательном а„или случай, когда а„будучи менее а„есть число нечетное, или случай а,~ а,. В этом предположении и будем вести дальнейшие исследования. Рассмотрим уравнение и — "=уо(х, р) Ыу (!.20) о» выводимое из системы уравнений (1.10) через исключение йг' при условны х, = ... = х„= О. Постараемся удовлетворить этому уравнению решением у = йх" + й, хо+' + ...

Постоянные й, й,, ...определим нз тождества (йхо+й,хо+'+...) (Ьйхо — '+(Ь+1) Ь,хо+...) =)о(х)+ + (йхо + й х" + '+...) (ао хоа+. „) +(Ьхо + й,хо+ '+...)о (ах" а+ ...)+ ... Младший член левой части имеет вид Ьйо хоо — ~ младшим членом правой части будет являться одно иэ выражений йи хо+о, и хаю Разберем три случая, в которых построение указанного решения возможно. Случаи эти характеризуются условиями: 1) ао а,+Ь, 2) ао(а,+Ь, 3) ао — — а,+Ь Неравенства 1) и 2) предполагают, что младшим членом правой части являются выражения йа,хо+о или аохо~ соответственно.

Из равенства 3) следует, что оба эти выражения имеют одинаковый порядок. В последнем случае мы будем предполагать, что 2Ь вЂ” 1 = а,. Предположения 2Ь вЂ” 1 ) ао и Ь + ао = а, приводят к известным числовым зависимостям между коэффициентами разложения функций Ях), Цх) и в дальнейшем нас интересовать не будут. В случае 2Ь вЂ” 1 = ао коэффициент Ь определяется из уравнения (а, + 1) Ьо — а, й — ао = 0 которое имеет вещественное решение лишь при условии а,'+4(а,+1) ао > 0 В случае а, ) а, + Ь будем иметь й=а,+1, й=а,/(а,+1) Случай этот характеризуется неравенством а, ( (ао — 1)12 Предположение а, ( а, + Ь ведет к равенствам Ь = (ао+ 1)/2, й = ~ ~Г2ао/(ао + 1) 56 из которых следует, что вещественное значение для числа л можно полу- чить лишь при условии а, ) О. Но при этом условии, как мы уже убедились, невозмущенное движение неустойчиво.

Мы сейчас рассмотрим два случая: ~>в )<= 2 а,+1 2) а,= — ', (а,+1)Ьй — а,й — а,=О, а,'+4(с<,+1)а,>0' 2 В обоих сучаях уравнение (1.20) имеет голоморфный интеграл вида у = )<хй+ Ь<хй+ ' + ... где число Й = ай + 1 — четное (случай четного ай рассмотрен в предыдущем параграфе). Если теперь систему уравнений (1.10) преобразовать к новым перемен- ным, положив у=у,+Ьх' + < +Ьйх" + '+ ...

(1.21) то получим новую систему: — =у<+Ьхй+ <+й,х'+'+ ... «< (< — '=у<Ях)+у>й(й(х)+ ... + '~; хйя<й ю+у, ~чР, хй<~<й '>+... (1,22) й=й, й й, — "' = да х, + ... + р< „х„+ У ' > (х)+ уЛ <' > (х) + ... + ОО В + 2„" хйО«й о>+уй Х хй<;>,<й !>+... «=1, ..., Д) й о й о где )'„7„..., )й«>, )<«>, ..., Я<й ">, Я«й "'> — новые функции, полученные.

в результате замены (1,21). При нечетном а> число й можно считать положительным. Функция Цх) в результате преобразования может изменить свой вид, но нетрудно заметить, что разложение этой функции не будет содержать. членов ниже а,-го порядка, Пусть ~>(х)=Ь ха+ Ьй~хз+ '+..., ~) а Функции Д'>(х) тоже могут изменить свое значение, но числа а,«> можно предполагать, как и в системе уравнений (1.10), сколь угодно боль- шими положительными числами. Возьмем функцию Четаева в виде Р= — (у,' — х'л)+ й'<(х„..., х„) где 1~> — квадратичная форма, удовлетворяющая уравнению (1.12).

По свойству корней определяющего уравнения эта форма будет определенно. отрицательной. Производная функции >< в силу уравнений (1.22) примет вид Г =2й<хэй<-'(у,+)>х~ + '+ ...) — 2у ~у<1< (х)+у<э~<(х)+ ...-1- СЮ + ~ х%<» '>+ ...1+х,й+...+х„'+ й=й~ .>~ — 'Гйя'<*>.~о <Р<*>~.-~-~ 'РР" '- ~ дх, ййа В области у,' (х™, х) О, где возможно удовлетворить неравенству 'У ) О, будем иметь г" ) О, если только число й/, будучи больше а, + 1, удовлетворяет неравенству У ) Ь~/Ь. Действительно, в области )у(()хм| знак производной определяется совокупностью членов хт"+ л (2й/Ь вЂ” 260)+х„э+... +х„л из рассмотрения которых следует, что в области (/) О, У' будет тоже больше нуля и будет обращаться в нуль только в начале координат.

Следовательно, построенная функция удовлетворяет всем условиям теоремы Четаева, из которой следует, что невозмущенноедвижение неустойчиво. При подсчете совокупности членов, определяющих знак )/', предполагалось, что р = а,. Если бы мы имели дело с р) а„то совокупность этих членов приняла бы внд 2й/йхзл+л -)-х,а-)- ... -(-х„а В силу доказанного мы можем сформулировать следующую теорему.

Теорема 4. Пусть определяющее уравнение системы уравнений (0.1) имеет два нулевых корня с одной группой решений при и остальных с отрицательными вещественными частями. Если в результате замены х, = у, + и,(х, у) где и;(х, у) — корни уравнений раи,+...+р,„и„+Х,(х, у, и„..., и„)=0 0=1, ..., л) будем иметь: 1) а, — нечетное, а, О, а, — нечетное и а, ( (а, — 1)/2 или 2) ар — нечетное, ае ( О, ат — нечетное, ат = (а0 — 1)/2 и ат' + 4(а, + 1)а0 ) О, то невозмущенное движение неустойчиво. и 6.

Все случаи, которые осталось нам рассмотреть, относятся к предположению аэ ( О, а0 — нечетное, причем а, и а, удовлетворяют одному из условий: 1) аг — ' или 1 (х)млО 2 ал — ! 2) а,= —, а,'+4(а,+1) аа(0 2 Полагая а, = 2т — 1, условия 1) и 2) можно представить в виде: 1) а,)т — 1 или /т(х)= 0 2) ат =. т — 1, а,э+ 4та,(0 Не уменьшая общности задачи, мы можем считать число ае равным — 1, так как к этому случаю приводится всякий другой. Решение нашей задачи в случае 1) и 2) представим в следующей форме. Систему уравнений (О.!) преобразуем к новым переменным по формулам, указанным в 2 1, в результате чего получим систему уравнений (1.10), в которой числа а,10 и л, удовлетворяют неравенствам а,(о)а0+К, й,)ае+К (!=1, ...,л, е о,1, ...,К) Число К мы определим в дальнейшем. Введем в рассмотрение ляпуновские функции Зп и Сз, удовлетворяющие условиям Сз' О+ т Вп' О = 1, — = — Бп О ЫС О лΠ— "'"8 =С вЂ” В, С О=1, 3пО=О [«в Преобразуем систему уравнений (1.!О) с помощью подстановки х=гСзв, у= — г Япв', Уравнения, которым удовлетворяют функции г и О, запишутся так: г' -' — =у[х' -' +г,(х, у)+ ~я~~~ х'!!!' з>+ а ь ьа +у ~', хьюг!" !>+ ...

э ь, "0 СО г +' — =ге — х[х' — !+)' (х, у)+ ~ хая!э ю+ 1№ ь-йе -[-у ~"„х" Я!' !>+... ь-а, Если в правых частях этих уравнений заменить х и у на г и О, то при условии а, ) (а, — 1)/2 или /1(х) ам О получим уравнения — — = г'" ь ! Я (г, 9) + гь+ "1+ ' Я1 (г, О, х„..., х„)] — =1 -!+г [8(г, 9)+гь+" 0,(г, О, х„..., х„)[ Йв ! (1.23) ~х,э+ге<за н для всех реальных значений переменной О. В случае а1 = (аа — 1)/2 аналогичным путем приходим к уравнениям — '=а!г'"Яп'ОСз"'-' О+г +' [)т(г, 8)+г~+"'+ !Й1(г, О, х, ..., х„)) (1.24) — =(1+а1$пОСз"'О) г"-'+1 [0(г, 8)+гь+'" 81(г, О, х,, ..., х„)[ ЫО где Я, О, Я„О1 — функции той же структуры, что и в уравнениях (1.23).

В силу условия а,' — 4т ( О выражение 1 + а13пвсз'"9 не обращается в нуль ни прн каком вещественном значении 8 и является величиной положительной. Исключая из уравнений (1.23) время /, мы получим уравнение — =Райз+гааз+ ... + гь+2 ЯО!!)+гй1(!)+ ...) (1.25) где Я, представляются периодическими функциями О, а )т,!!1 — голоморфными функциями переменных х„..., х„с периодическими относительно 0 коэффициентами общего периода ([3[, стр. ЗОО); 59 где )т и О означают ряды, расположенные по целым положительным степе.

ням г, причем коэффициентами разложения служат рациональные функции от ЬпО и Сзв, Эти ряды будут сходящимися при достаточно малом г для всех реальных значений переменной О. Функции Я! и О, представляются рядами, расположенными по целым положительным степеням переменных г, х„..., х„, и эти ряды будут сходящимися для всех значений переменных, удовлетворяющих при достаточно малом е условию Уравнения (1.24) нам дают — = Ж+ ')т. + .- + '+'()т "'+ г)с <" + ...) где )г, и )т,«< — функции той же структуры, что и в уравнениях (1.25). Рассмотрим вначале случай а, „э (а, — 1)!2, который приводится к исследованию уравнений г~ Йэ+тзяз+ +гэ+ (Йо<~ +гй1 + ) «О ах< 1 1, .

1 1 гаечь(р<ю <гр,«< 1 )+ -1-Х,*(г, 6, х,, ..., х„) «О — =г — '+г" 10(г, 8)+г'+ 0,(г,8,х„...„х„)) (<' <, ..., «1 где Р«<< — периодические функции 0 с общим периодом 2а<, а Х<* — голоморфные функции переменных г, х„..., х„, обращающиеся акуль при х, = ... = х„= О. При этом члены, не зависящие от г, содержат х, в степенях не ниже второй. Мы здесь должны различать два случая.

В первом — задача об устойчивости будет решаться конечным числом членов (общий случай), во втором — задача об устойчивости решается всей правой частью системы (1.26). Положим в первом уравнении системы (1.26) х, = х,=... = х„=О, в результате чего получим уравнение = г~ я + гэ я + «О Определим функцию г в виде ряда, расположенного по степеням произвольной постоянной с: г=с+с'и,+с'и,+ ..

где и„и,„... — не зависящие от с функции 8. Функции эти определяются из уравнений «и< «ив — =Им — =Рэ+2иэйм " лО «О Допустим, что в последовательности функций и„ им ...первая непериодическая функция есть ии. Функция эта будет иметь вид ии=аО+о где д означает отличную от нуля постоянную, а о — некоторую периодическую функцию О. Возможны два случая, характеризующиеся неравенствами: А) А<(К+2 В) М)К+2 В случае (А) задача об устойчивости будет решаться знаком числа д, в случае (В) необходимо систему уравнений (1.10) преобразовать по формулам 5 1, в результате чего число К увеличится, число 1«' может измениться ао лишь при некоторых числовых зависимостях между коэффициентами разложения функций 'г(х, у, х„..., х,) и Х>'(х, у, х,, ..., х,) Если такая числовая зависимость существует и если при неограниченном увеличении числа К число Ж будет тоже увеличиваться, оставаясь все время больше числа К, то какое бы сколь угодно высокое приближение мы ни брали, членами высшего приближения интегралы системы уравнений всегда можно сделать устойчивыми илн неустойчивыми — по желанию, Аналогичный случай имеет место в исследованиях Ляпунова при решении задачи пары чисто мнимых корней.

В дальнейшем мы будем предполагать, что прн некотором значении числа К существует неравенство (А). Произведем замену переменной г на г по формуле гййх+гэиэ+хйий+ ... +гй — ' ин > +огй> где и, и, ..., и „о — известные периодические функции О.