Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика (Каменков Г.В., 1971 - Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика), страница 6

+Р,„х„)=Р! х! ! дг!»' »*! (Р! х + ...+ Р!„х„) = Ф'»' > ! =1 ("! +»а = К) Применяя указанное преобразование достаточно большое число раз, мы получим систему уравнений, в которой числа Й» и й, удовлетворяют нужному нам неравенству й»+ й, > и+ !т' где Р!»» » ! и Я!»» ! — линейные формы от переменных х„..., х„, знак з; распространяется на все целые положительные числа Й, и й„удовлетворяющие условию й, + й, = 1 Можно утверждать, что с помощью преобразования к новым переменным систему уравнений (0.1) можно привести к виду, в котором числа й и й удовлетворяют неравенству Й1+Й» "и+л Предположим, что в системе уравнений (0.1) суммирование распространяется на все целые положительные числа йм Й», удовлетворяющие условию й,+Й,~К Введем замену х=и+~х» у»аУ!»,»! у=о+~х» у».У!».»в! (»!+» гг) разумея под сГ!»» ! и У!»* » ! линейные формы от переменных хм ..., х„, подлежащие нашему определению.

Эти формы мы подберем так, чтобы в преобразованной системе числа Й„й, удовлетворяли неравенству Й,+й») К+1 Для этого достаточно определить формы сг!»» ьп и У!» ° " ! из уравнений В дальнейшем будем рассматривать систему уравнений (0.1) в предположении й,)т+Ж, Й,+й,>т+Л' где й( — произвольно заданное целое положительное число. Предположим, что для уравнений — «=Х,('о(х, у)+Х,("'е 0(х, у)+ ... ...+Х,("+м (х у)+Х,( +"+ы(х у)+ ... (1.1) —" = У,< > (х, у)+ У,<" + ' > (х„у) + ... Ж ... + У,("'+ Ю (х, у) + У,~"'+ э+ 0 (х, у) + ... выводимых из первых двух уравнений системы (0.1), удалось построить функцию Ляпунова У,(х, у) со знакоопределенной производной У,', причем знакоопределенность следует из рассмотрения членов (т + й)-го приближения и так, что члены выше (и + й)-го порядка знакоопределенности функции не нарушают.

Тогда задача об устойчивости по отношению к переменным х, у полностью решается уравнениями — =Х ("и+ Х <"'+О+ +Х о«+м ш у («ч ( у о«-им 1„+у (т+ю ш (1.2) где У,(х„..., х„) — квадратичная форма переменных х„..., х„, удовлетворяющая уравнению л — (рцх«+ ... +р;„х„)= ~ (х,'+ ... +х«„) д«~ Можно предположить (и это будет общий случай), что в выражении производной члены выше некоторого 1«';го порядка можно отбросить как не влияющие на знакоопределенность функции У«'. Число 1«', можно считать меньше т + М.

Если случится, что Фг ) гп + 1«', то с помощью указанного преобразования число й( можно заменить на число Ж, так, что )У, будет меньше и + )у„а система уравнений (1.2) при условии й ( й( остается без изменения. Функция Ляпунова, отвечающая системе уравнений (0.1), очевидно, будет иметь вид У= У,(х, д)+У,(х„..., х ) Знак плюс или минус берется в зависимости от знака У,'. Указанный метод построения функций Ляпунова можно распространить на функции Четаева. Пусть нам удалось построить функцию Четаева для системы уравнений (1.1), причем поведение функции определяется членами (т + Й)-го порядка при произвольно заданных значениях членов высшего порядка. Пусть У, и У,' — функция и ее производная, удовлетворяющие теореме Четаева 141, т. е.

существует область, где У,У,'=> О, и эта область находится внутри области У,' ) О. Если это свойство будет следовать из рассмотрения членов некоторого Ф;го порядка ()У, ( и + Ж) независимо от произвольно заданных членов высшего порядка, то функция Четаева, отвечающая системе уравнений (0.1), будет иметь вид У = У, (х, у) + 1', (х„..., х«) зо где Уо определяется из уравнения л "1'„— '(рах,+ ... +р;„х„)=х,'+ ... -[-х„о к! >=! Аналогичные рассуждения можно провести относительно функций и [р'. 5 2.

Докажем этим методом несколько теорем. Теорема )'. Если в уравнениях — = Х ! > (х, у)+ Х < + ' >(х, у) + ... >и « ... + '~; х'*у»*Рм»«>+Х<>>(х, у, х,„..., х„) »«+»«ь т+»!+1 Ж вЂ”" = 1'о!т> (х, у)+ 1'о'"+" (х у) +- (2.1) « ... + ~ч' х» у»*>'„>!»»«>+у!>> (х, у, х„..., х„) »,+», ь т+>о+! — ' = р>, х, + ... + р,„х„+ Х (» > (х, у) + ... + Х,* (х, у, х„..., х„) (т > 2, »! > т+>>>+1, 1=1, ..., ») 1) Р, = хУ»! > — уХ,! > — знакопеременная или знакопостоянная функция; 2) Хо!т>/х или Уо!т>/у может быть сделано больше нуля при условии Р, = О, то невозмущенное движение неустойчиво.

Полагая в первых двух уравнениях системы (2.1) х, = х, = ... = =х„= О, получим —" = Х !т> (х, у)+Хо!т+'> (х, у)+ ... — "" =у,!">(,у)+у.!.+ >(.у)+ -. Ж При условиях 1) и 2) теоремы эти уравнения с помощью линейной подстановки с постоянными коэффициентами могут быть преобразованы к виду [Ч вЂ” ~=А»$ +А>| >т>+ .. +А„т>"+Е(й.ч) (2.2) — '~=В>5--! >+ ...+В„Ч +Н($,Ч) Ж При условии 2) теоремы коэффициент А, можно сделать положительным. Из уравнений (2.2) выводим голоморфный интеграл ['] по отношению к $ или 3 и $[п $ вида» = $>р($) или» = $>[>Я, $1п $). Производя замену» = у -1- +т>(з), где т>($) — найденный интеграл, получим систему, в которой правая часть второго уравнения будет обращаться в нуль при у = О.

Предполагая это преобразование выполненным и сохраняя прежние обозначения переменных, рассмотрим функцию 1', = $'" — о>о Рассмотрим область $ ) О н >»! < $». В этой области [к, > О. Докажем, что область г; ) О находится внутри области 1«!' ) О. Действительно, представляя в (2.2) Н = т>Н*(З, т>), вычислим $'»'=2Й$'»-! [А»от+ А»т>Р->+ ...

+А т>т+" Я >)))в — ь| [В,й-- + ... + В„>-- +И а, [)1 3! Число /г выберем так, чтобы /<Аи — В, было больше нуля. В области 1Ч~ ( з" знак У,' определяется членом 2(/<А, — Вт)$ти+ -'. В силу того, что $ ) О имеем: 1',') О всюду, где У, ) О. Следовательно, построенная функция удовлетворяет теореме Четаева. Уравнения (2.1) при наших предположениях могут быть преобразованы к виду — э =А,Р+А>$ -' Ч+ ... +А Ч +ЕЮ, Ч)+ Ж а" Ч" Р <и ° ы>+В<»(а, т), х„..., х„) и,+т.>и+>т+> =в =В,~ — 'Ч+ ... +В„Ч +На, 1)+ д< (2.3) + '5„"Р Чэ* я,<и ы'+Н<'> ($, т>, хт, ..., х„) и,+и,;: т+»+< — ' = р<„х, + ... + р,„х„+ Х<<<) Я, Ч)+ Х«» ($, т), х, ..., х ) (тм2, /<< > т+/<>+1, <=>, ..., и) В«> Н<», где Е<'>=Н<'>= Х«'>=О при х,=х,=...=х„= О, кроме того, не содержат линейно хт, ..., х„.

Функция Четаева, отвечающая этой системе, имеет вид У = $т" — т>'+ У, (х,, ..., х„) Функция У, определяется из уравнения и — '(рмх,+ ... + р;„х„)=х,'+ ... +х'„ дх< <=1 Теорема 1 будет справедлива и в том случае, если Хи<"' и Ут<"'> имеют общие ветви, проходящие через начало координат, т. е. Х < >=РХ<э>, Ут< > =РУОО Ут< > =У,<»*+ >= ... = У,< + -. =— О а отношение Х,'"'/х может быть сделано больше нуля при условии у = О.

Уравнения (2.1) в этих предположениях приводятся к виду зв но одно из решений хУ<ы — уХ<ь> = О не обращает в нуль Р(х, у), и отношение Хт<"'>/х может быть сделано больше нуля прн условии хУ<э> — уХ<"> = О.

При этих условиях уравнения (2.1), как и в предыдущем случае, приводятся к виду (2.3) и функция Четаева имеет тот же вид. Из теоремы 1 следует: 1) если в уравнениях (2.1) и — четное и Хт<"'> и Ут<"'> не имеют общих ветвей, проходящих через начало координат, то невозмущенное движение неустойчиво; 2) если пРи четном т, Х,< ' и У,< > имеют Указанные ветви, т. е.

Хи<ив = = РХ<а>, 1' <"' = РУ<э>, но хотя бы одно из решений хУ<~> — уХ<»> = О не обращает в нуль Р, то невозмущенное движение неустойчиво. К разобранным случаям приводятся уравнения, в которых У,< > = аХи<"'> в предположении, что при « = ах отношение Х,<"'/х может быть сделано больше нуля.

Этот случай включает в себя уравнения, в которых — =Аох" +А,х"-'у+ ... +А у" +Хо(~+»+ " -(- дЕ СО + '>„х» у» Р!» ° «*>+Х!'> (х, у, х„..., х„) «1+»аът+зе+1 ~~у — ='Г'О!'"+з>(Х, у)+...+ ~ Х' у«9!» ">+Г'Е»(Х,у,Х„..., Х„) дЕ »,+», о з+>о+> "'=р;,х,+ ... +р,„х„+Х («)(х, у)+ ... +Х о (х, у, хм ..., х) (т > 2, «> > и>+Е>Е+>, Е=>, ..., и) Функция Четаева для этой системы имеет тот же вид. Теорема 11. Если 1) Ро = хрое"'> — уХ,!"'> — знакоопределенная функция; 8) (' Х»Е > (со»0, в>п 8)со»О+> о! > (со»8, в>п 8) з>п 0 ,) Уз! >(со»9,в>п9) со»9 — Х»Е~>(со»9, в>пО) в>п 9 о то невозмушенное движение неустойчиво. Если при условии 1) 1 ~= О, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

В обоих случаях задача об устойчивости решается членами т-го порядка (й = О) и уравнения — ~ =Х,!"'>(х,у)+Хо>'"+'>(х, у)+ ... з>Š— ~ = 1',Ем> (х, у) + г'»Е" + ' > (х, у) + ... >ЕЕ (2.4) преобразованные с помощью замены х = гсоз О, у = гейп О, допускают построение функции Ляпунова со знакоопределенной производной, причем знакоопределенность следует из рассмотрения членов т-го порядка независимо от членов высшего порядка. Если эту функцию обозначить через 1',(г, 9), то функция Ляпунова, отвечающая преобразованным уравнениям (2.1) при наших условиях, будет иметь вид )/=)гз(г, 9)+$'в(хо ...„х„) где 1',(х„..., х„) определяется нз уравнения з — в (ре> хз+ ...

+ р> „х„) = -' (х,'+ ... + х„') дх> » ЗЗ знак плюс или минус берется в зависимости от знака (г,'. Рассмотрим случай 1 = О. Уррвнения (2.4) в этом предположении можно разбить на два класса. К первому отнесем уравнения, в которых задача об устойчивости решается членами (т + гз)-го порядка независимо от членов высшего порядка, причем й( Л>. Ко второму классу отнесем те уравнения, в которых й-> Ле или система уравнений (2.4) допускает периодическое решение.

В случае й ( Ж задача решается рассмотрением уравнений (2.4), которые после замены х = г соз О, у = г >Оп 0 преобразуются к виду — =Х ! >созО+У ( > з1п8+ ... (2.5) г = г~ое~> со50 — Хо!~> Б>п 8 + >ЕЕ 3 Ззз. ЗЕМ Исключая 1 из уравнений (2.5), получим гг1 + гз йз + еО (2.0) где Я„Я„... являются рациональными функциями от з1п 0 и соз 9,' знаме- натели которых представляются различными степенями выражения У,1"'>(сов О, з)п 9) соз 0 — Х>~">(сов О, з!п9) з(п 0 не обращающегося в нуль ни при одном вещественном значении О.

Определим формальное решение уравнения (2.6) под видом ряда г= сад+с'и,+ ... где и„и„...— функции 9, удовлетворяющие уравнениям амид — ' =)г,и,+)г,и, д еО да, — = )гд ам аΠ— "' = )ад ад+ 2ид ид 11д+ Рд ад~ НО Если задача об устойчивости по отношению к х и у решается членами (и + й)-го порядка при условии й ( Ж, то в ряду функций и„и„... функции и„..., ид ~ выйдут периодическими, а функция ид будет иметь вид ад — — дО+ од где од — периодическая функция О. Задача об устойчивости в этом случае будет решаться знаком выражения яРд.