Алгебра и нач анализа_Реш экз зад 11кл из Сборн заданий для экз_Дорофеев_Решения (991497), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Тогда плоскости (ACBD), пересекает параллельные плоскости α и β по параллельным прямым AB и CD. Но как видно из рисунка АВ ╫ CD, значит прямые АС и BD не лежатв одной плоскости, т.е. являются секущими.7.Найдем l из рис. 16.7. б):120o18l=⋅ 2π R = ⋅ 2π ⋅ 4 = π (см). l из рис. 16.7.
а):360o33416l = 2πrосн. => rосн. =(см) =>Sосн. = πr2ocн. = π39RHrоснlVкон. =120oR116π ⋅HSосн. ⋅ H =327H = R 2 − r 2осн = 16 −lОтвет: V =Vкон. =16 8128 2π⋅ 2=π (см3).27 381128 2π (см3).81Вариант 17.6.7816 82 (см).=9 37.RORO1rαR = OA = OO12 + O1 A2 = 64 + 225 = 17 (см);Sпов. = 4πR2 = 4π ⋅ 172 = 1156π (см2). Ответ: 1156π (см2).Вариант 18.6.7.d = 2a = 2 2 R ⇒SMdNA=>R = 4 см =>H=8 см.Socн.=πR2 = 16π cм2;V=16π⋅8 = 128π см3.aОтвет: V = 128π см3.RBOВариант 19.6.7.R= 6 (см).cos30oSбок. = πRa.Sбок.=π ⋅ 3 ⋅ 6 = 18π см2.Ответ: Sбок.
= 18π см2.a=a30oHR79Вариант 20.6.Точка Е не принадлежит прямой AD,значит отрезки не пересекаются, так какпрямые ВС и AD скрещивающиеся.7. В основании лежит равнобедренный треуголь12Vник с ∠ = 90°; V = Sосн. ⋅ H = a 2 ⋅ H ⇒ H = 2 ;2a2 ⋅ 108H== 6 см. Sпол. = 2Sосн. + Sбок. =3645o= a 2 + 2aH + a 2 + a 2 ⋅ H = a 2 + 2aH + 2aH == 36 + 2 ⋅ 6 ⋅ 6 + 2 ⋅ 6 ⋅ 6 = 36(3 + 2) см2.Ответ: Sпол. = 36(3 + 2) см2.Вариант 21.6.Точки А, В, С, D, не лежат в одной плоскости,следовательно прямые АD и ВС – скрещивающиеся.SA1O1C1AOCS A1B1C18027=см2.2B17. ∆АВС ∼ А1В1С1.AC SOK=== 2 – коэффициент.A1C1 So1Значит их площади относятся как 4:11B SS ABC .A1B1C1 =4Второй катет S∆ABC = 12 см;SABC = ½ 9 ⋅ 12 = 5427Ответ: S A1B1C1 =см2.2Вариант 22.6. Плоскость ADB’ разбивает параллелепипед на равные призмы с основаниями – треугольниками, получаеA1мые из параллелограмма (боковыхDграней) и его диагонали, которая разбивает его на два равных треугольAника.
У многогранников, боковыеребра равны и параллельны.7. см. рис. варианта 2. задачи 7.1AC = 2 AB = 4 2 см; OC = AC = 2 2 см;2D1C1B1CBOM = CM 2 − OC 2 = 36 − 8 = 2 7 см. Ответ: OM = 2 7 см.Вариант 23.6.Если бы прямые AD и ВС пересекались, топрямые АВ и СD лежали бы в одной плоскости, а занчит были бы параллельны, ноэто не так. Так что АD и ВС скрещивающиеся.7. AC = AB 2 + BC 2 = 36 + 64 = 10 см;AO =S1AC = 5 см;2SO = SA2 − AO 2 = 169 − 25 = 12 см;11Sосн.⋅SO = ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 12 = 192 см3;33Ответ: V = 192 см3.DAV=OBCВариант 24.6.81c7. Sосн. =D11AC ⋅ BD = ⋅ 6 ⋅ 8 = 24 (см2);22SO = SB 2 − OB 2 =2AOC⎛ BD ⎞= SB 2 − ⎜⎟ = 25 − 9 = 4 (см);⎝ 2 ⎠11V = SO ⋅ Sосн. = ⋅ 24 ⋅ 4 = 32 (см3);33BОтвет: V = 32 см3.Вариант 25.6.
Та же задача, что вариант 14 (6), только рис. повернуть «кверхуногами».7.43VV = π r3 ⇒ r = 3; r = 3 см.34πOS = 4π r 2 = 36π см2.Ответ: S = 36π см2.Вариант 26.C1A1O1B16. Сечение проходит через одно из ребер, т.к. прямая ОO’, соединяющая центры оснований, параллельна каждому из боковых ребер. Углы у сеченияпрямые, значит, CMM’C’ – прямоугольник, т.е. MC= M’C’ и CC’ = MM’.COABM7. Пусть SB = SA = 6 см; SC = 8 см;SAB = SB 2 + SA2 = 6 2 см;C AC =BBC = SC 2 + SB 2 = 10 см;A82SA2 + SC 2 = 10 см;(Росн. = 6 2 + 10 + 10 = 20 + 6 2)см;(P = 10 + 3 2Sосн.
==)см;(10 + 3 2 )(10 − 3 2 ) 3(100 − 18) ⋅ 9 ⋅ 2 = 32 ⋅3 2 =2 82 = 6 41 см2;Sбок. = SSAB + SSBC + SSAC; SACS = SBCS =1⋅ 6 ⋅ 8 = 24 см2;21SSAB = ⋅ 6 ⋅ 6 = 18 см2; Sпов.= 6 41 + 18 + 24 + 24 = (66 + 6 41) (см2)2Ответ: Sпов. = (66 + 6 41) см2.Вариант 27.6.Как видно из достроенного рисунка, точки К, М,N, и L не лежат в одной плоскости, значит прямые KN и LM – скрещивающиеся.O1NMLKO7.RrrSпов1 = 4πr2 = 4π ⋅ 16 = 64π cм2; 2Sпов1 = Sпов2 = 128π см2;Sпов2 = 4πR2 => R =Sпов 2128π== 4 2 см;4π4π44512 2512 2π см3; Ответ: V =π см3.V2 = π R3 = π ⋅ 64 ⋅ 2 2 =333383Вариант 28.6.
Как видно из достроенного рисунка, точки К,М, N, и L не лежат в одной плоскости, значитпрямые KM и LN – скрещивающиеся.O1MNKL7. Sпол. = 2Sосн. + Sбок.AB2⎛ AB ⎞2Sосн. = πR2 = π ⎜⎟ = 9π см ;⎝ 2 ⎠⎛ AB ⎞2Sбок. = 2πR ⋅ AD = 2π ⎜⎟ ⋅ AD = 60π см ;⎝ 2 ⎠Sпол. = 18π + 60π = 78π см2; Ответ: Sпол. = 78π см2.DCВариант 29.6.7.AB = AC ⋅ sin 30o = 6 см;ASCB = ACcos30o = 6 3 см;NV=B30oMAC=B1π BC 2 ⋅ AB =31π ⋅ 36 ⋅ 3 ⋅ 6 = 216π см3;3Ответ: V = 216π см3.OВариант 30.6.SNMAO841Sосн. ⋅ АВ =3BBa 2= 4 2 cм;2Sпол. = πR(a + R) =7.
H = R =aH45o= π ⋅ 4 2(8 + 4 2) = 16 2(2 + 2) см ;2RCOОтвет: Sпол. = 32(1 + 2) см2.Вариант 31.6. Из свойств квадрата имеем:OL = LM = MN = NO. Значит искомыймногогранник – правильная четырехугольная пирамида.SS1DNCOMA7.Sбок. = πRl = 20π;Sосн. = πR2 = 16π => R = 4 (см) => l = 5 (см);1V = π R 2 H ; H = l 2 − R 2 => H = 3 см =>31V = π ⋅ 42 ⋅ 3 = 42 π = 16π (см2).3Ответ: V = 16π см2.BLlHRВариант 32.7.см. рис.
варианта 31.задачи 7.13V 3 ⋅ 96π= 8 смV = π R2 H ⇒ H = 2 =π R π ⋅ 3636.SMl = H 2 + R 2 = 64 + 36 = 10 см =>Sбок. = πRl = π ⋅ 6 ⋅ 10 = 60π см2Ответ: Sбок. = 60π см2.BNAO85Вариант 33.6.SM1N1M7.т. С ∈ α, т. С ∈ АА1ВВ1 => С ∈ А1В1АА1С ∼ СВВ1AC A1C 3AC A1C 3== или== =>CB CB1 1AB A1 B1 4BA1CNB1α44A1C = ⋅ 15 = 20 см33Ответ: А1В1 = 20 см.A1 B1 =AВариант 34.6.SMBCKNALD7.BlAl=120oHROC12H== 24 (см).cos60o 12R = Н ⋅ tg60o = 12 3 (см).Sпол. = πR(R + l) == π ⋅ 12 3(12 3 + 24) = 144 3π (2 + 3) (см2)()Ответ: Sпол. = 144 3π 2 + 3 см2.86Вариант 35.6.PMNQ7.BBlAHlAR CHRCSбок.1 = πRl = π ⋅ AC ⋅ AB; Sбок.2 = πRl = π ⋅ BC ⋅ ABSбок.1 π ⋅ AC ⋅ AB AC 3S3=== .
Ответ: бок.1 = .Sбок.2 π ⋅ BC ⋅ AB BC 4Sбок.2 4Вариант 36.6.7.DNMQAC = AD 2 + DC 2 = 10 2 см;OC =1AC = 5 2 см;2SO = SC 2 − OC 2 = 169 − 50 = 119 (см)Ответ: SO = 119 см.87Вариант 37.6.Из соображений симметрии видно, что точки L и N являются серединами сторон АВ иВС. Откуда ∆LMB=∆NMB⇒LM=MN.Значит в сечении равносторонний треугольник.7. см.
рис. варианта 40.задачи 7.1Sосн. = 2Sбок. Sосн. = πR2; Sбок. = 2πRH => H = R = 2 (см);4V=H ⋅ Sосн.=H ⋅ πR2 = 2 ⋅ π ⋅ 64 = 128π (см3). Ответ: V = 128π (см3).Вариант 38.6.Как видно из рисунка точка К не лежит вN Oплоскости (MNL), т.е. KL и MN – скрещи1O вающиесяMLKQa7. см. рис. варианта 40. задачи 7.S1 = SCBEF = 108; 3l = 3H = 2R;3S1 = 3l ⋅ l = 108 => l2 = 36 => l = 6 см; R = l = 9 см.2Sпол. = 2πR(H + R) = 2π ⋅ 9 ⋅ 15 = 270π см2. Ответ: Sпол. = 270π см2.Вариант 39.6.QMND7.
см. рис. варианта 35.задачи 7. а)Sпол. = πR(l + R) = π R( R 2 + H 2 + R) = π ⋅ 3( 9 + 16 + 3) = 24π см2Ответ: Sпол. = 24π см2.88Вариант 40.6.7.Bl1CRAFHEDl22H = l2 = 2πR => H = 6π см.Sпол. = 2πR(H + R) = 2π ⋅ 6 ⋅ (6 + 6π) == 72π(π + 1) см2.Ответ: 72π(π + 1) см2.Вариант 41.6.7.KAABDCOMBLNCMN – средняя линия.2AB ⎞3По свойствам куба име- V = Sосн.⋅BC = π ⎛⎜⎟ ⋅ BC = 36π cм⎝ 2 ⎠ем: MN || KL, т.е. ML иОтвет: V = 36π см3.KN – пересекаются.Вариант 42.6.KLNOO1MaОтвет: нет.897. MO = MB 2 − BO 21122 AB =BO = BD =AB = 2 см222AB= 2 AB = 4 см =>MB =cos60oMO = 16 − 2 = 14 см. Ответ: MO = 14 см.Вариант 43.6.7.BCAC1B1αВ силу симметрии имеем:QN = MN = ML = LQOQ=ON=OM=OL = O’L == O’M = O’N = O’Qт.
С1 ∈ АВ1 (см. задачу 4.7.)т. Фалеса:AB AB1 53== ⇒ AC1 = AB1 = 9 смAC AC1 35Ответ: АС1 = 9 см.Вариант 44.6.Проведем прямую АВ до пересечения свершиной двухгранного угла прямой а, получим точку О, потом через В параллельноАС проведем прямую и получим на отрезкеОС точку D.907. MB = MA2 + AB2 = AC2tg2 60o + AB2 ==1AB 2 ⋅ 3 + AB 2 =2= ABMBA60o55=6= 3 10 см22CОтвет: MB = 3 10 см.Вариант 45.6.
См. вар. 44. Рисунок.7.СС1 – средняя линия трапеции АВВ1А1AA + BB1 13==> CC1 = 1см2213Ответ: CC1 = см.2BCAC1A1B1αВарианты 46 и 47.6.Аналогично, как в вар. 44, получаем, что А, В,С и D принадлежат одной плоскости.№ 46.7.АМ2 = МВ2 + АВ2 – 2МВ ⋅ АВ ⋅ cos∠ABMMB 2 + AB 2 − AM 2АВ=cos ∠ABM =2 MB ⋅ AB2 МВПусть АВ = а, тогда122OB = BD =AB =a => MB = 2a =>222=> cos ∠ABM =2a 2 + a 2 − 2a 21=.2 ⋅ 2a ⋅ a2 2Ответ: cos ∠ABM =12 2MAB60oaODC.91№ 47.7. см.
рис. варианта 2.задачи 7.АС = 6 см => AB =63 2= 3 2 (см); OK =(см).22MK = MO 2 + OK 2 ; MK =Ответ: MK =9⋅259+ 25 =(см).4259(см).2Вариант 48.6.7.см. рис. варианта 40.задачи 7.Sосн. = πR2 = 36π (см2);V = Sосн. ⋅ H = 36π ⋅ 10 = 360π (см3).Ответ: V = 360π (см3).Вариант 49.6.Проведем через точку А прямую а, параллельную CD, а потом прямую DM, и на пересечении а и DM получим точку В. Все пятьточек лежат в одной плоскости.7.т.к. середина гипотенузы прямоугольного треугольника – это центр описанной окружности,то АО=ОВ=ОС и SA = SB = SC.SBA0AB = AC 2 + BC 2 = 36 + 64 = 10 (см).2C⎛ AB ⎞2SA = AO 2 + SO 2 = ⎜⎟ + SO =⎝ 2 ⎠36 + 64+ 144 = 13 (см). Ответ: SA = SB = SC = 13 (см).492Вариант 50.6.BαAЧерез точку С проведем параллельную АВпрямую а.
И на ней отложим от точки С расстояние, равное длине АВ. Получим, чтоDABCD – параллелограмм, т.к. АВ = CD, b CaAB || CD. Значит, AC || BD.7.BO1L – средняя линия ∆ А1В1А, т.к.Oпо т. Фалеса: АО1:О1В1=AL:LB1 = 1 : 1 =>C O15A1=> O1 L = (см).B1L2αOL – средняя линия ∆АВВ1 => ВВ1 = 2OL =A= 2(OO1 + O1L) = 16 + 5 =21 (см).Вариант 51.6.1. Через точку С проведем параллельнуюАВ прямую а.2. Прямая АМ пересечет а в точке D, т.к.AB || a, С и D принадлежат а, и поэтомуА, В, М, С, D принадлежат плоскости, определенной АВ и а.αABCβ aD7.BA30oC1= 5 (см).21111V = Sосн.⋅BC= π R2 ⋅ BC = π AC 2 ⋅ BC = π ( AB2 − BC 2 ) ⋅ BC =333313= π ⋅ (100 − 25 ) ⋅ 5 = 125π (см ). Ответ: V = 125π (см3).3ВС = АВsin30o = 10 ⋅93Вариант 52.6.Кроме точек А и В больше точек отрезка АВ непринадлежит поверхности цилиндра, т.к. АВ не образующая (АВ не параллельна OO’).7.
Sбок. =SK3⋅ ( AB + BC + CA) = SK ⋅ AB ;22S2⎛ CB ⎞SK = SC 2 + CK 2 = SC2 − ⎜ ⎟ ,⎝ 2⎠(так как пирамида правильная)ABBSK = 100 − 36 = 8 (см).3⋅ 8 ⋅ 12 = 144 (см).2Ответ: Sбок. = 144 (см).Sбок. =KCВариант 53.6. См. вар. 52.7.SBAKOCD1S ABCD = d1 ⋅ d 2 = AD ⋅ h ,2где h – высота ромба, проведенная из т. В.SK = 13 см;2h=h=942d1 ⋅ d2⎛d ⎞ ⎛d ⎞; AD = ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ = 25 (см).2AD⎝2⎠ ⎝ 2⎠30 ⋅ 40= 24 (см).501OK = h = 12 (см).2SO = SK 2 − OK 2 = 169 − 144 = 5 (см).Ответ: 5 (см).Вариант 54.6.Прямая АВ не проходит через вершину S’, и поэтому АВ – не образующая, и поверхности конуса принадлежат только точки А и В.7.11V = AM ⋅ BA ⋅ AD =32M13= BA ⋅ AD ⋅ BA ⋅ tg 30o =AB 2 ⋅ AD =618B310⋅4⋅5=3 (см3).18910Ответ: V =3 (см3).9=C30oADВариант 55.6.Поскольку прямые пересекаются,значит, они задают плоскость, в которой лежат точки А, В, С и D.
Из рисунка видно, что АВ не параллельнаCD, значит, α и β пересекаются, т.к.если α и β параллельны, то AB || CD.95D1DC17.Sпол. = 6SABCD = 6a2;24 = 6а2; а = 2 (см).BD1 = A1 D12 + A1 B 2 =CA1B1a= A1 D12 + AB 2 + AA12 = a 3a = 2 ⇒ BD1 = 2 3 (см).Ответ: BD1 = 2 3 (см).ABВариант 56.6.См. вариант 55, задача 67.D1C1DCA1AB1abBb = 6; c = 4;Sпол.=2ab+2ac+2bc = 20a + 48 = 136;22(см);20a = 88; a =522528V = abc =⋅4⋅6 =(см3).55Вариант 57.6.АС || BD, значит точки А, В, С, D лежат водной плоскости.Но АВ ╫ CD, значит α и β пересекаются.967.c = btg60o = b 3 = 5 3 смSпол.=2Sосн.+2(a + b) ⋅ c = 2ab + 2(a + b) ⋅ c =(= 2 ⋅ 15 + 2 ⋅ 8 ⋅ 5 3 = 10 3 + 8 3(Ответ: Sпол. = 10 3 + 8 3))αсм2Cсм2.60oabВариант 58.6.MN и KL принадлежат плоскостям основания, значит, этипрямые не пересекаются, т.к.нижнее основание параллельно верхнему. Но из рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
