Алгебра и нач анализа_Реш экз зад 11кл из Сборн заданий для экз_Дорофеев_Решения (991497), страница 3
Текст из файла (страница 3)
S=3t+t2 (м); v=S′(t); S′(t)=3+2t, v=S′(3)=3+2⋅3=9(м/с).Ответ: 9 м/с.cos x=Вариант 31.1. 70,5log7 9 = 7log7 3 =3. Ответ: 3.2. 1≤7x–3<49; 70≤7x−3<72; 0≤x−3<2; 3≤x<5.Множеству целых чисел принадлежат х=3 и х=4. Ответ: 3; 4.233. cos (x –π2) =2sin х + 1; sin x= 2sin x + 1; sin x =−1;ππ+2πk, k∈Z. Ответ: – +2πk, k∈Z.224. а) D(f) = [–3,5; 5]; б) f(x) > 3,5 при x∈(–2,5; 0)∪(4; 5);в) f′(x) < 0 на промежутке (–1,5; 2,5);f′(x) > 0 на промежутках (–3,5; –1,5) и (2,5; 5).г) касательная параллельна оси абсцисс в точке x=–1,5;д) max f(x) = f(5) = 6; min f(x) =f(2,5) = –2.5. f(x) = 5 + 4x–3x2; f′(х)= 4 – 6x;k=f′(x)=–5: 4–6x=–5, х= 1,5; f(1,5)=4,25.
Ответ: (1,5; 4,25).x= –Вариант 32.1.1 1(a 2 b 2 ) 41 9a 2b8Ответ:1 11 1при a=7, b=2;(a 2 b 2 ) 41 9a 2 b8=a 2 b81 9a 2b8=11 1. При b=2,= .bb 21.22. 2lg 6 – lg x > 3 lg 2;{⎧ 36lg36 − lg x > 3lg 2, ⎪ > 8,⎨xx > 0;⎩⎪ x > 0;{x < 4,5,x > 0;0<x<4,5.Ответ: (0; 4,5).π; –cos x =1; cos x = –1; x = π + 2πk, k∈Z.2Ответ: π + 2πk, k∈Z.4.3. cos (π + x) = sin5.
F(x) = x4 – 3х2 + 1; f(x)=4x3−x2+x;F′(x)=4x3–6x. Т. к. F′(x)≠f(x), то функция F(x) не являетсяпервообразной функции f(x). Ответ: не является.24Вариант 33.1. у = lg (x2 – 7x); x2 – 7х > 0; х(х – 7) > 0;Ответ: (–∞; 0)∪(7; ∞).1 3−x<6 ≤36; 6−1<63−x≤62, т. к. 6>1;6−1<3−x≤2; −4<−x≤−1; 1≤x<4. Ответ: 1; 2; 3.cosα1 + sin α cos2 α − 1 + sin 2 α1−13.−===0;1 − sin αcosαcosα (1 − sin α )cosα (1 − sin α )2.Следовательно,cosα1 + sin α=.1 − sin αcosα4.5. f(х) = 3 – 3x – 2x2; f′(x) = –3 – 4x;k=f′(x)=5; –3–4x=5; 74x=–8; x =–2; f(–2)=1. Ответ: (–2; 1).Вариант 34.1.x + 5xx( x + 5)>0;<0.2 − 8x2(4 x − 1)2x( x + 5);2(4 x − 1)f(x) определена на (−∞; 0,25)∪(0,25; ∞); f(х) = 0 при x = 0 и x = –5.Ответ: (–∞; –5)∪(0; 0,25).12. log3(2x+1)=1;3Пусть f(x)={log 3 (2 x + 1) = log 3 27,2 x + 1 > 0;{2 x + 1 = 27,x > −0,5;{x = 13,x=13.x > −0,5;25π2; x = (–1)k+1 4 +πk, k∈Z.25π7πИз множества этих корней, только корни x = 4 , и x = 45π 7πпринадлежат отрезку [0;2π].
Ответ: 4 ; 4 .3. 2sinx+ 2 =0; sinx = –4. а) D(f)=[–3; 6];б) f′(x) > 0 при x∈(–3; 0,7)∪(4,5; 6); f′(x) < 0 при x∈(0,7; 4,5);в) касательные параллельны оси абсцисс в точках x=0,7 и x = 4,5;г) f(x)≤–2 при –3≤x<–2; д) max f(x)=f(0,7)=3; min f(x)=f(–3)=–4,5.x3x2x35. f(x)=2х+x2; F(x)=+2+C; F(x)=+x2+C.323Ответ:x3+x2+C.3Вариант 35.24 − 6 x 2<0;2x + 96( x + 2)( x − 2)>0.2( x + 4,5)1.6( x + 2)( x − 2); f(x) определена на (–∞; –4,5)∪(–4,5; ∞);2( x + 4,5)f(x)=0 при x=–2 и x=2. x∈(−4,5; −2)∪(2; ∞).Ответ: (−4,5; −2)∪(2; ∞).2. 2x+4−2x=120; 16⋅2x−2x=120; 2x=8; 2x=23; x=3. Ответ: 3.π3. cos x– sin (– x) + sin (π – x) = 0; cos x– cos x + sin x = 0;2sin x =0; х = πk, k∈Ζ.
Ответ: πk, k∈Z.4. а) D(f)=[–3; 5,5]; б) f(x)≥1,5 на промежутках [–2; 0] и [4,4; 5,5];в) f′(x)>0 на промежутках (–3; –1) и (2,5; 5,5),f′(x) < 0 на промежутке (–1; 2,5);г) касательные параллельны оси абсцисс в точках x=–1 и x= 2,5;д) max f(x)=f(5,5)=5,5; min f(x)=f(2,5)=−3.5. f(x) = 3(x2 – 2), g(x) = 3х(х2 – 2), q(x) = 3x2−6x+1; F(x)=x3−3x2+1;F′(x) = 3x2 – 6х.Пусть f(x)=26Т.к. F′(x)≠f(x), F′(x)≠g(x) и F′(x)≠q(x), то ни для одной из приведенных функций функция F(x) не является первообразной.Ответ: не является для данных функций.Вариант 36.1.x − 14 х − 15>0;10 − 4 x2x 2 − 14 х − 15<0.4( x − 2,5)x 2 − 14 х − 15;4( x − 2,5)f(x) определена на (−∞; 2,5)∪(2,5; ∞).
f(x)=0 при x=15 и x=–1;Ответ: (−∞; −1)∪(2,5; 15).2. lg (x + 3) = 3 +2lg 5;Пусть f(x)={lg( x + 3) = lg1000 + lg 25,x + 3 > 0;{x + 3 = 25000,x=24997. Ответ: 24997.x > −3;sin α1 + cosα sin 2 α − 1 + cos 2 α–==0.1 − cosαsin α(1 − cosα )sin α4. а) D(f) = [–2,5; 6,5]; б) f(х) ≤ 0,5 при x∈[–1,5; 2,3]∪[4,7; 6,5];в) касательные параллельны оси абсцисс в точках x=1; 3,5.г) промежуток возрастания – [1; 3,5];промежутки убывания – [–2,5; 1] и [3,5; 6,5];д) max f(x) = f(–2,5) = 4,5; min f(x)=f(1) = –2.x2x4x2 x45.
f(x)=x−2x3; F(x)=−2+C; F(x)=−+C.24223.3=x2 x40 0− +C; С=3. Ответ:−+3.2 222Вариант 37.x+5x+51. y=ln;>0;7x − 1 7x − 11Ответ: (−∞; −5)∪( ; ∞).72. 8 · 2x−1−2x>48; 4 · 2x–2x>48; 2x >16; 2x >24; x > 4. Ответ: (4; ∞).273. sin2 x – 6sin x = 0; sin x (sin x – 6) = 0;(1)⎡sin x = 0,⎣⎢sin x − 6 = 0 (2)(2) – не имеет решений, т.к. |sin x| ≤1;(1): x=πk, k∈Z.Ответ: πk, k∈Z.4. а) D(f)=[− 3,5; 5]; б) f(x)≤ 0,5 при x∈[0,5; 2,6] и x∈[3,8; 5];в) точки экстремума функции: x=–1,5; 1,5;г) промежутки возрастания: [–3,5; –1,5] и [1,5; 3,5];промежутки убывания: [–1,5; 1,5] и [3,5; 5];д) max f(x)=f(–1,5)=5,5; min f(x)=f(5)=−3.5.
S=5t−0,5t2 (м); v(t)=S′(t); S′(t)=5−t, v(4)=S′(4)=5−4=1(м/с).Ответ: 1 м/с.Вариант 38.1.1631⋅ 18 3⋅146=163⋅163⋅1331⋅ 2 3 =6. Ответ: 6.{⎧log x > log 0,1 10; x < 10 (т.к. a = 0,1 < 1),2. log0,1x>−1; ⎨ 0,10<x<10.x > 0;⎩ x > 0;Ответ: (0; 10).3. (1 + sin x)(l + cos x) = 1 + sin x + cos x, [0; 2π];1 + cos x + sin x + sin x cos x = 1 + sin x + cos x; sin x cos x = 0.⎡ x = π k, k ∈ Z ,⎡sin x = 0, ⎢Уравнение равносильно системе ⎢π⎣cos x = 0; ⎢ x = + π n, n ∈ Z .2⎣Из этих корней, отрезку [0; 2π] принадлежат только корни: 0;π2;3π; 2π24.
а) D(f) = [–3; 6]; б) f(x) ≤ 0 при x∈[–3; 0]∪[2,5; 5,5];в) касательные параллельны оси абсцисс в точках x=–1,5 и x=4;г) функция возрастает на промежутках [–3; 1,5] и [4; 6], функцияубывает на промежутке [1,5; 4];д) max f(x)=f(1,5)=3,5; min f(x) =f(–3) = –5.5. S = 0,5t2 +3t+4 (м);v(t) = S′(t); S′(t) = t + 3, v(2)=S′(2) = 5 (м/с).Ответ: 5 м/с.π;28Вариант 39.( x + 11)(2 x − 5)1.≤0.3x( x + 11)(2 x − 5)Пусть f(x)=;3xf(x) определена на (–∞, 0)∪(0; ∞), f(x)=0 при x=–11 и x=2,5.Ответ: (−∞; −11]∪(0; 2,5].2.
10⋅5x−1+5x+1=7; 2 ⋅ 5x + 5 ⋅ 5х = 7; 7 ⋅5x=7; 5x = 50; x = 0.Ответ: 0.3. 2cos (π2–x)= 2 ; 2sinx= 2 ; sin x =ππ2; x=(−1)k 4 +πk, k∈Z.2Ответ: (−1)k 4 +πk, k∈Z.4. a) D(f) = [–3,5; 5]; б) f(x) ≤ 0 при x∈[–3; –0,4]∪[2,5; 5];в) точки экстремума функции: х = –1,5 и х = 1г) функция возрастает на промежутке [–1,5; 1] и убывает напромежутках [–3,5; –1,5] и [1; 5];д) max f(x)=f(1)=4,5; min f(x) = f(5) = –3.π5. f(x)=tg(x)−2sin x; x=− 4 ;f′(x)=π1−2cos x; f′(− 4 )=cos 2 x1π=2− 2 .
Ответ: 2− 2 .cos (− )42Вариант 40.1.2.110 4⋅140 4⋅1521= 10 21lg 81–lgx>lg2;2⋅1221⋅ 5 2 =10. Ответ: 10.{⎧9lg9 − lg x > lg 2, ⎪ > 2,⎨xx > 0;⎪⎩ x > 0;{x < 4,5,0<x<4,5.x > 0;Ответ: (0; 4,5).3. sin (–x) = cos π; –sin x= –1; sin x = l; x=Ответ:π+ 2πk, k∈Z.2π+ 2πk, k∈Z.2294.5. f(x) = 3 + 7х – 4x2; f′(x) = 7 – 8x;k = f′(x) = –9; 7 – 8x = –9; x = 2; f(2) = 1.Ответ: (2; 1).Вариант 41.1.
у = lg (4x2 + 11x);4x2 + 11x > 0; 4x(x + 2,75) > 0;Ответ: (−∞; −2,75)∪(0; ∞).2. 0,01 < 102+x< 10000; 10−2<102+x<104.Т.к. 10 > 1, то –2 < 2 + x < 4, –4 < x < 2.3. tgx = 3 , [0; 2π]; x=только4.30π4πи.33Ответ:–3; –2; –1; 0; 1.π+πn, n∈Z. Отрезку [0,2π] принадлежат3π 4Ответ:;π.3 35. а) у = 3х – 2; D(y) = R; у′ = 3; 3 > 0 – функция возрастает на R;.б) у = –5х + 9; D(y)= R; у′ = –5; –5 < 0 – функция убывает на R;в) v = х2; D(у) =R; y′= 2x.Функция убывает на (–∞; 0]и возрастает на [0; +∞).г) у = –х3 + х; D(y) = R; у′ = –3х2 + 1;11)(x+)=0.–3(х –33Функция убывает только на11(−∞; –]∪[; +∞).
Ответ: у = –335х + 9.Вариант 42.x 2 + 10 x1.<0;2 − 5xx 2 + 10 x.2 − 5xФункция f(x) определена на промежутке (−∞; 0,4)∪(0,4; ∞);x( x + 10)>0f(x)=0 при x=0 и x=–10. Решим неравенство5( x − 0,4)методом интервалов. Ответ: (−10; 0)∪(0,4; ∞).2. log2(2x+1)=log23+1; log2(2x+1)=log23+log22; log2(2x+1)=log26;2x+1=6; x=2,5; 2⋅2,5+1=6>0.Ответ: 2,5.Пусть f(x) =π3 xxx− 3 =0; sin =,=(−1)k 3 +πk,24444π4πx=(−1)k 3 +4πk, k∈Z.
Ответ: x=(−1)k 3 +4πk, k∈Z.3. 2sin4. а) D(f) = [–4,5; 4,5];б) f′(х) > 0 на промежутке (–1; 3), f′(x) < 0 на каждом изпромежутков (–4,5; −1) и (3; 4,5);в) касательные параллельны оси абсцисс в точках x= –1 и x=3;г) f(x) ≥ 2 при х ∈ [–4,5; –3,5]∪{3};д) max f(x) = f(−4,5) = 3,5; min f(x)=f (–1)=−4,5.5. F(x)=x4–4x2+1; F′(x) = 4x3 – 8x.Т.к. F′(x)=q(x), то функция F(x) является первообразной для31функции q(x). Ответ: q(x).Вариант 43.1.4 − 49 x 2>0.x−54 − 49 x 2.x−5Функция f(x) определена на промежутке (–∞; 5)∪(5; ∞);222. Решим неравенство (х– )(x + )(x – 5) < 0f(x) = 0 при x = ±77722методом интервалов. Ответ: (−∞; − )∪( ; 5).77116 x2.
7x−( )1−x=6; 7x− ⋅7x=6;⋅7 =6; 7x=7; x=1. Ответ: 1.777Пусть f(x)=π–x) = –1; sin x + cos x–sin x =–1,2cos x =–l; x = π + 2πk, k∈Z. Ответ: π + 2πk, k∈Z.4. а) D(f)=[−4; 4,5]; б) f(x)≥1 при x∈[–3; 4,5];в) f′(x) > 0 на промежутках (–4; –1)∪(3; 4,5),f′(x) < 0 на промежутке (–1; 3);г) касательные параллельны оси абсцисс в точках x = –1 и x=3.д) mаx f(x) =f(–1) =5,5; min f(x) =f(−4)= –3.5. у = –3х3 + 6x2 – 5х; у′ = –9х2 + 12х – 5; – 9x2 + 12х – 5 < 0;3. sin x + cos (2π + x) – cos (D= 36 – 45 = –9 < 0.4Значит, 9x2 – 12x + 5 > 0 или у′ < 0 при любых действительныхзначениях x.
Ответ: убывает на (–∞; ∞).9x2 – 12x + 5 > 0; 9x2 – 12x + 5 = 0;Вариант 44.1.4 x 2 − 16 x + 7<0.3( x + 2)Найдем корни квадратного трехчлена 4x2–16x+7,решив уравнение 4х2 – l6x + 7 = 0.16 ± 12, x1=0,5; x2=3,5.D = 256 – 112 =144; x1,2 =832Решим неравенство (х–0,5)(х–3,5)(х + 2) < 0 методом интервалов:х ∈(−∞; −2)∪(0,5; 3,5). Ответ: (−∞; −2)∪(0,5; 3,5).2. lg(4x–2)=5lg2–3; lg (4x – 2) = lg 32 – lg 1000; 4x – 2=0,032;x = 0,508; при x = 0,508: 4x – 2 = 4 ⋅ 0,508 – 2 > 0. Ответ: 0,508.3.
(sin2α – cos2a)(sin2a + cos2a) + 2cos2a = sin2a – cos2a + 2 cos2a == sin2a + cos2a = 1; 1=1, что и требовалось доказать.4. а) D(f) = [–2; 7]; б) f(x) ≤ 0,5 при x ∈ [–2; –0,3]∪[2; 5,5];в) касательные параллельны оси абсцисс в точках x =1 и x =3,5;г) функция возрастает на каждом из промежутков [–2; 1] и [3,5; 7];функция убывает на из промежутке [1; 3,5];д) mах f(x) =f(7) = 4,5; min f(x) = f(3,5) = –2.5. S=t3−3t+4; v(t)=S′(t); S′(t)=3t2−3, v(t)=S′(3)=3⋅32−3=24 (м/с).Ответ: 24 м/с.Вариант 45.32 − 8 x 32 − 8 x1. lg;>0;x +1x +1(32–8х)(x+1)>0; 8(x−4)(x+1)<0;−1<x<4.Ответ: (–1; 4).1x+1 1x2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
