Алгебра и нач анализа_Реш экз зад 11кл из Сборн заданий для экз_Дорофеев_Решения (991497), страница 4
Текст из файла (страница 4)
2 + ⋅2 <5; 2⋅2x+ ⋅2x<5; 2x<2; x<1 (т.к. 2>1). Ответ: (–∞; 1).223. 2cos2 x – 7cosx = 0; 2cos x (cos x – 3,5) = 0;⎡cos x = 0,⎢cos x − 3,5 = 0 - не имеет решений,т.к. cos x ≤ 1;⎣x=ππ+πk, k∈Z. Ответ:+πk, k∈Z.224. а) D(f) = [–2,5; 6]; б) f(x) ≤ –0,5 при x∈[–2,5; –1,5]∪{1};в) точки экстремума функции x = 1 и x = 4; и х = –1г) функция возрастает на каждом из промежутков [–2,5; –1] и [ 1; 4],убывает – [–1; 1] и [4; 6];д) max f(x)=f(4) =5,5; min f(x) =f(–2,5)=–3.5. f(x)=x5−5x4+3; f′(x)=5x4−20x3=5x3(x−4); f′(x)=0 при х=0 и х=4 −точки экстремума функции.
Ответ: x = 0, x = 4.Вариант 46.1.162⋅132⋅1(0, 25) 4;3311111111 1−26 2 ⋅ 3 2 ⋅ (0, 25) 4 = 3 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ (2−2 ) 4 =3⋅ 2 22. lg (2x+ 1)<0; lg (2x+1)< lg 1;{2 x + 1 < 1,;2 x + 1 > 0;22{=3⋅1=3. Ответ: 3.x < 0,−0,5<x<0.x > −0,5;2222Ответ: (–0,5; 0).223. (sin α) + (cos α) + 2sin α cos α =(sin α + cos α)2 = 12 = 1;1=1, что и требовалось доказать.4. а) D(f)=[–3;6]; б) f(x) ≥ 1 при x ∈ [–3; –2,5]∪{4};в) касательные параллельны оси абсцисс в точках x=–1,5 и x=4;г) функция возрастает на промежутке [1,5;4], убывает на каждомиз промежутков [–3; 1,5] и [4; 6];д) max f(x)=f(–3) = 3,5; min f(x)=f(1,5)=–5.5.
f(x)=5x2–12x + 1; f′(x) = 10x – 12; k =f′(x0)=3; 10x0 – 12 = 3;x0=1,5; f (x0)=−5,75. Ответ: (1,5; –5,75).Вариант 47.x( x + 2)x( x + 2)>0;<0.1 − 2x2x − 1x( x + 2).Пусть f(x)=2x − 1Функция f(x) определена на (–∞; 0,5)∪(0,5; ∞);f(x) = 0 при x=0 и x=–2. Ответ: (−∞; −2)∪(0; 0,5).2. 4⋅3x+2+5⋅3x+1−6⋅3x=5; 36 ⋅ 3x + 15 ⋅ 3x – 6 ⋅ 3x = 5; 45 ⋅ 3x = 5;3x = 3−2, х = –2. Ответ: –2.1.2ππ;+x=± +2πk; k∈Z;442π ππx=− ± +2πk, k∈Z. Ответ: 2πk; − +2πk, k∈Z.4 424.
a) D(f) = [–5; 3,5];6) f(x) ≥ 3 при х∈[1,5; 3,5] и х = –4;в) x = –4; и х = –1г) функция возрастает на каждом из промежутков [–5; –4] и [–1;3,5], убывает на промежутке [−4; −1];д) max f(x)=f(3,5) = 4,5; min f(x) = f(–1) = –3.5. f(x)=3x2+ 5х–6;f′(x) = 6x+5, k = f′'(X0) = –7, 6x0+5 = –7, x0=–2;f(–2)=–4.3. 2cos(34π4+x)= 2 ; cos (π4+x)=Ответ: (–2; –4).Вариант 48.1.2a35a3+2a3, a=3;2a35a3+22a3=a32a 3 (a+ 1)=1.a +11111== .Ответ:.4a +1 3 +1 42. lgx+2lg2<0,5lg49–lg5; lgx+ lg4<lg7–lg5;7⎧⎪4 x < (a = 10 > 1), x < 0,35),0<x<0,35.Ответ: (0; 0,35).⎨5x > 0;⎩⎪ x > 0;При а = 3,{3.
cos (–x)=cosОтвет: ±π3π3; cos x =1π, x =± + 2πk, k∈Z.23+ 2πk, k∈Z.4.5. f(x)=3x+ 3 ; f′(x)=3+Ответ: 31111; f′(16)=3+=3+ =3 .882 x2 161.8Вариант 49.( x + 10)(2 x − 3)>01.2x35( x + 10)(2 x − 3).2xФункция f(x) определена на (–∞; 0) и (0; ∞);f(x) = 0 при x=–10 и x = 1,5; Ответ: (−10; 0)∪(1,5; ∞).112. 45x+1=( )6−4x; 22(5x+1)=2−(6−4x); 10x+2=−6+4x, 6x=−8, x=−1 .231Ответ: −1 .3Пусть f(x)=π⎞π⎞2⎛⎛;3. 2sin ⎜ x − ⎟ = 2 , [0; 2π]; sin ⎜ x − ⎟ =24⎠4⎠⎝⎝x−x−π4π4= (–1)k=π4π4+ πk, k∈Z. Если х ∈ [0;2π] , то x −или x −π4=π4⎡ π 7π ⎤∈ ⎢− ; ⎥⎣ 4 4 ⎦3ππ. Ответ:; π .424.5.
f(x)=2x3 – 6x2 + x – 1; F(x) =Ответ:x4x2− 2 x3 +−x+C.22x4x2− 2 x3 +−x+C.22Вариант 50.16 x 2 − xx(16 x − 1)<0 ;>0.x − 1212 − xx(16 x − 1).Пусть f(x)=x − 12Функция f(x) определена на (–∞; 12)∪(12; ∞);1.3611; Ответ: (0;)∪(12; ∞).1616f(x)=0 при x=0 и x=2. log3(2x–l)<3;log3(2x–l)<log327;{2 x − 1 < 27 (3 > 1),2x − 1 > 0;{x < 14,0,5<x<14.x > 0,5;Ответ: (0,5; 14).1π, x=±+2πk, k∈Z.23Отберем корни с учетом условия:π15π1) 0≤ + 2πk ≤ 2π; − ≤ k ≤ ; k=0, x= ;6633π175ππ 5π2) 0≤− + 2πk ≤ 2π; ≤ k ≤ ; k=1, x=. Ответ:;.66333 34.3. 2 cos x – 1 =0, [0; 2π]; cos x =5. f(x)=10x4+x; F(x)=10x5 x 2x2++C; F(x)=2x5++C.522Учитывая условие имеем: 2⋅05+02x2+С=6,С=6.
Ответ: 2х5++6.22Вариант 51.5x2 + 4 x − 15x2 + 4 x − 11.<0;>0.7 − 2x2x − 7375x2 + 4 x − 1.2x − 7Функция f(x) определена на (−∞; 3,5)∪(3,5; ∞);f(x)=0: 5x2 + 4х – 1 = 0; D = 16 + 20 = 36;−4 ± 6x1, 2=, x1=−1. x2=0,2;Ответ: (−1; 0,2)∪(3,5; ∞).102. lg (2–x)=2lg4 – lg2, x<2;Ответ: –6.lg (2–x)=lgl6–lg2; lg(2–x)=lg 8; 2–x=8; x = –6.13.tgα + ctgαПусть f(x)=11sin α cosα===sinα cosα;sin α cosα sin 2 α + cos 2 αtgα + ctgα+cosα sin αsinα cosα =sinα cosα, что и требовалось доказать.4.5.
f(x)=ex cos x; f′(x)=ex cos x−ex sin x.Ответ: ex(cosx−sinx).Вариант 52.8 − 32 x 2>0;x − 10x∈(−∞; −0,5)∪(0,5; 10).Ответ: (−∞; −0,5)∪(0,5; 10).x+2xxxxx2. 3 +3 =810; 9 3 +3 =810, 3 =81, 3 =34, x=4. Ответ: 4.1.3. sin x + sin (π + x) – cos (38π2+ x) = 1;sin x−sin x + sin x = 1, sin x = 1, x=Ответ:π2π2+ 2πk, k∈Z.+ 2πk, k∈Z.4.5. f(x)=4sin x – cos x; f′(х) = 4cos x + sin x;f′(−π4)=4cos (−π4) + sin (−π4)=4⋅22 3 23 2−=..
Ответ:2222Вариант 53.x −11. y=lg;8x + 1(x−1)(8x+1)>0;1Ответ: (−∞; − )∪(1; ∞).82. 9⋅3x−1+3x<36; 3⋅3x+3x<36, 3x<9, 3x<32, x<2. Ответ: (–∞; 2).23. 2 cos x – 1 = 0;cos 2x = 0; 2x =π2+πn; x=π4+π2n, n∈Z. Ответ:π4+π2n, n∈Z.4.395. f(x)=x2lnx; f′(x)=2xlnx+x2⋅1=2xlnx+x. Ответ: 2xlnx+x.xВариант 54.1.3a4+1a41 1a2b4+1b4При а = 43, a=4, b=11;1a2=14211a4 + a2b41a4+1b41=11a 2 (a 4 + b 4 )1a4+1b41= a2 .= 2. Ответ: 2.⎧ x 2 > 10,2. 2lgx>l; lgx > lg 10; ⎨x> 10 . Ответ: ( 10 ; ∞).⎩ x > 0;23.
tg x + 3 = 0; tg x = – 3 ; x = –ππ3+ πn, n∈Ζ. Отберем корни с11≤n≤2 ; n=1, 2.332525π; при n = 2 x = π. Ответ:π; π.При n = 1; x =33334.учетом условия: 0≤−403+πn≤2π;5. f(x)=2x2+sin x; f′(x)=4x+cos x.Ответ: 4х + cos x.Вариант 55.1. y=lg (2x2+9x); 2x2+9x>0;2x(x+4,5)>0;Ответ: (−∞; −4,5)∪(0; ∞).2.
1 < 10x+1≤ 1000000; 100< 10x+1 ≤106;т.к. a=10 > 1, то 0<x+1≤6, –1<x≤5. Ответ: 0; 1; 2; 3; 4; 5.3. tg x+1=0,[0; 2π]; tg x=–1; x= −ππ+πn, n∈Z.41; n=1, 2.437При n=1 x= π; при n=2 x= π.444.0≤−4+πn ≤ 2π; ≤ n ≤237π;π.44Ответ:5. f(x)= 6 sin x – cos x; f′(x) = 6 cos x + sin x;k=f′(x0), k=f′(π3)=6 cosπ3π+ sin3=3 +33. Ответ: 3 +.22Вариант 56.1.112 32⋅ 631⋅ (0,5) 3=2231⋅ 3322.
2lg0,5+lgx>lg5; lg0,25x>lg5;3. cos (–x)= sinπ22⋅ 2 3 ⋅ 33 ⋅ 2{−13= 2⋅3= 6 .Ответ: 6.0, 25 x > 5,x>20. Ответ: (20; ∞).x > 0;, cos x=1, x=2πk, k∈Z. Ответ: 2πk, k∈Z.414.5. f(x)=x2 – 4х; F(x)=x3x3– 2x2 + С. Ответ:– 2x2 + С.33Вариант 57.( x − 5)(3x − 1)>0;9− x(x−5)(3x−1)(x−9)<0;1Ответ: (−∞; )∪(5; 9).31.2. 9x=(1 2−x 2x −3(2−x)) ; 3 =3, 2x=−6+3x, x=6. Ответ: 6.273.
cos x = 0,6, 0<x<π2; x – угол Ι четверти, sin x > 0.sin x = 1 − cos 2 x = 1 − 0,62 = 0,8 . Ответ: 0,8.4.5. f(x)=6sin x + tg x; f′(x)=6cos x +421;cos 2 xf′(−π6)=6cos (−Ответ:π61)+π= =3 3 +cos (− )624 9 3+4=.339 3+4.3Вариант 58.3x 2 + 4 x3x 2 + 4 x3x 2 + 4 x1.>0;<0. Пусть f(x)=;9− xx−9x−9D(f)=(−∞; 9)∪(9; ∞);f(x)=0 при x=0 и x=−1Ответ: (−∞; −11;31)∪(0; 9).32. log0,25(3x–5)>–3; log0,25(3x–5)>log 0,25 64;⎧ x < 23, 223x − 5 < 64, ⎪Ответ: ( 1 ; 23).2 1 <x<23.3x − 5 > 0; ⎨⎪ x > 1 ; 333⎩{xx1 xπ+1=0; cos=− ,=±(π− )+2πk, k∈Z;2232 24π4πx=±+4πk, k∈Z. Ответ: ±+4πk, k∈Z.334. а)D(f)=[–3,5; 5,5]; б) f(x)>0 при –1,5<x<4,7;в) функция возрастает на промежутке [–3,5; 1] и убывает напромежутке [1; 5,5];г) прямые, параллельные оси абсцисс, касаются графика в точках(1; 4,5) и (4;1);д) max f(x) =f(1) = 4,5; min f(x)=f(–3,5) = –4,5.5.
f(x)=1+8x−x2; f′(x) = 8 – 2x; f′(x) = 0 при 8 – 2x=0, x =4 – критическая точка. Ветви парабол направлены вниз, т.е. mахf(х)=f(4)= 17. [–2, 5]. Ответ: 173. 2cosВариант 59.1.9 − 25 x<0;x+4243(5х – 3)(5х + 3)(х + 4) > 0;x∈(−4; −0,6)∪(0,6; ∞).Ответ: (−4; −0,6)∪(0,6; ∞).2. 128⋅162x+1=83−2x; 27⋅24(2x+1)=23(3−2x); 7+8x+4=9−6x;1114x=−2; x=− . Ответ: − .773. cos x–sin (ππ2–x)+cos (π + x) = 0; cos x − cos x − cos x=0; cos x=0;π+πk, k∈Z. Ответ:+πk, k∈Z.224. а) D(f) = [–3; 6]; б) f(х) > 0 при x∈[–3; 1,1) и (2,5; 6];в) функция возрастает на промежутках [–3;–1,5] и [2; 6] и убываетна промежутке [–1,5; 2];г) прямая, параллельная оси абсцисс, касается графика в точке(–1,5; 3);д) mах f(x)=f(6) =5,5; min f(x)=f(2) = –3.5. f(x)=3x2−12x+1; f′(x)=6x−12, f′(x)=0 при х=2–критическая точка.Ветви параболы направлены вверх, т.е.
min f(x)=f(2)=−11. [1; 4]Ответ: –11.x=Вариант 60.x 2 − 3x + 2>0;6 + 3x3(x−2)(x−1)(x+2)>0;x∈(−2; 1)∪(2; ∞).1.Ответ: (−2; 1)∪(2; ∞).2. log5(1–3x)≤2; log5(1–3x)≤log525;⎧ x ≥ −8,111 − 3x ≤ 25, ⎪Ответ: [–8; ).1 −8≤ x < .1 − 3x > 0; ⎨⎪ x < ;333⎩{3. tgα−ctgα==sin α cosα sin 2 α − cos 2 α−==cosα sin αsin α cosα(1 − cos 2 α ) − cos 2 α 1 − 2cos 2 α=.sin α cosαsin α cosαЗначит,441 − 2cos 2 α=tg α − ctg α, что и требовалось доказать.sin α cosα4.
а)D(f)=[–3;6]; б) f(x) > 0 при x∈ (–3;2,9);в) f′(x) > 0 при x∈ (–2; 0), f′(x) < 0 на промежутках (–3; –2), (0; 6);г) прямые, параллельные оси абсцисс, касаются графика в точках(–2; 2,5) и (0; 4,5);д) mах f(x)=f(0)=4,5; min f(x)=f(6)=–3.5. f(x)=3х4–4x3 + 2.Функция f(x) определена и дифференцируема при x∈R.f′(x)=12x3–12x2,f′(x) = 0 при 12x3 – 12x2 = 0, x=0 и x=1– критические точки.x=1 − точка минимума функции.Ответ: 1 – точка минимума функции.Вариант 61.5 − 4x1.
y = lg;+12 x − 1(5 – 4x)(12x + 1) > 0;51−148( x − )( x + ) < 0124121 51 5x ∈ (− ; ) . Ответ: x ∈ (− ; ) .12 412 4–+542− x⎛ 1 ⎞2. ⎜ ⎟ > 92 x−1 ; 3–3(2–х) > 32(2х–1).⎝ 27 ⎠Т.к. а = 3 > 1, то –6 + 3х > 4х – 2, х < –4.Ответ: (-∞; -4).1ππ πk3. 3tg 2 x + 1 = 0 ; tg 2 x = −,2 x = − + π k , x = − +,k ∈ Z .612 23π πk+,k ∈Z .12 24. а) D(f) = [–4,5; 5];б) f(x) > 0 при x ∈ (–3,5; 3,5);в) f’(x) > 0 на промежутках (–4,5; –1,4) и (–1,5; 1,5),f’(x) < 0 на промежутке (1,5; 5);г) х = 1,5 – точка экстремума функции (точка максимума);Ответ: −45д) max f ( x ) = f (1,5) = 4,5;[ −4,5;5]5.
f(x) = x5 + 2x; F ( x ) =Ответ:min f ( x ) = −2[ −4,5;5]x6x2x6+ 2 + C; F ( x ) =+ x 2 + C.626x6+ x 2 + C.6Вариант 62.1.112 22731⋅ 82⋅13285⋅ 73−16=12 ⋅ 3227351⋅ 32 ⋅ 7 33⋅ 22⋅2−36=2⋅3⋅7322 ⋅ 22. lg 2x < 2 lg 7 + 1; lg 2x < lg 49 + lg 10;{x < 245,x > 0;460 < x < 245. Ответ: (0; 245).−= 21 .12{2 x < 490x>0Ответ: 21.3. tg2x – 3 = 0; tgx = ± 3, x = ±π3+ π k , k ∈ Z . Отберем корни:Отрезку [0;2π] принадлежат корни:π 2π 4π 5π; ; ;3 3 3 3π 2π 4π 5π; ; ;.3 3 3 34.
а) D(f) = [–3; 5,5]; б) f(x) ≤ –2 при x ∈ [–3; –2,5] ∪ [1,5; 5,5];в) f’(x) > 0 на промежутке (–3; –1),f’(x) < 0 на промежутках (–1; 3,5) и (3,5; 5,5);г) х = –1 д) max f ( x ) = f ( −1) = 2,5; min f ( x ) = f ( 5,5 ) = −4,5Ответ:[ −3;5,5][ −3;5,5]5. у = 2sin x + 3cos x; y’ = 2cos x – 3sin x; k1 = 2cosπ2− 3sinπ2= −3;⎛ 3π ⎞⎛ 3π ⎞k2 = 2cos ⎜ ⎟ − 3sin ⎜ ⎟ = 2 ⋅ 0 − 3 ⋅ ( −1) = 3. Так как k1 ≠ k2, то⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠рассматриваемые касательные не являются параллельнымипрямыми. Ответ: не являются.Вариант 63.1. 3=9= 12. Ответ: 12.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
