Алгебра и нач анализа_Реш экз зад 11кл из Сборн заданий для экз_Дорофеев_Решения (991497), страница 5
Текст из файла (страница 5)
0,04 ≤ 52-х ≤ 25; 5-2 ≤ 52-х ≤ 52. Т.к. 5 > 1,то –2 ≤ 2 – х ≤ 2, 0 ≤ х ≤ 4. Ответ: 0; 1; 2; 3; 4.sin α1 + cosα sin 2 α + 1 + 2cosα + cos 2 α3.+==1 + cosαsin αsin α (1 + cosα )2log9 12=log9 122 + 2cosα2=.;sin α (1 + cosα ) sin α22=.sin α sin α4. а) D(f) = [-3; 6]; б) f(x) ≤ -2,5 при х ∈ {–3} ∪ [–0,5; 0,5];в) f’(x) > 0 на промежутках (–3; –2), (0; 6),f’(x) < 0 на промежутке (–2; 0);г) х = -2, х = 0;д) max f ( x ) = f ( 6 ) = 4,5; min f ( x ) = f ( 0 ) = −3.[ −3;6]5.
3х + х2;x 2 x3F ( x) = 3 ++ C.2346[ −3;6]Ответ: 3x 2 x3++ C.23Вариант 641. х3 + 9х2 + 14х < 0;––++x(x2 + 9x + 14) < 0.x2 + 9x + 14 = (x + 2)(x + 7).–7–20x ∈ (-∞; -7) ∪ (-2; 0).Ответ: (-∞; -7) ∪ (-2; 0).12. lg 0,64 + lg x > lg 5; lg 0,8 + lg x > lg 5; 0,8x > 5 (т.к. а = 10 > 1);2x > 6,25. Ответ: (6,25; ∞).11⎛π⎞⎛ π⎞3. cos ⎜ + x ⎟ = sin ⎜ − ⎟ ; − sin x = − ,sin x = ,22⎝2⎠⎝ 6⎠x = ( −1)ππ+ π k , k ∈ Z .
Ответ: ( −1)+ π k, k ∈ Z.664. а) D(f) = [–3; 6]; б) f(x) < –1 при х ∈ (3; 6);в) f’(x) > 0 на промежутке (0; 1,5),f’(x) < 0 на промежутках (–3; 0), (1,5; 6);г) прямые, параллельные оси абсцисс, касаются графика в точках(0;0) и (1,5; 2,5);д) max f ( x ) = f ( −3) = 4; min f ( x ) = f ( 6 ) = −3.kk[-3;6][ −3;6]5. у = х2 – 3х; F ( x ) =3x3x 2x3 3 x 2−+ C. Ответ:−+ C.3232Вариант 65.( x − 6)(4 x + 7)≤ 0;1.9− x–+–( x − 6 )( 4 x + 7 )≥ 0;-1,756x−9х ∈ (-1,75; 6) ∪ (9; ∞).
Ответ: [–1,75; 6] ∪ (9, ∞).⎛1⎞2. 27−5 x − ⎜ ⎟⎝8⎠Ответ: –10.+92 x +1= 0; 27–5х = 2–3(2х+1), 7 – 5х = –6х – 3, х = –10.3π; x = − + π k, k ∈ Z.36π115 110 ≤ − + π k ≤ 2π ; ≤ k ≤ 2 ; k = 1, 2. Ответ: π ; π .6666 63. 3tgx = − 3; tgx = −474. а) D(f) = [–3,5; 6]; б) f(x) > 2 при х ∈ (0,5; 4);в) функция возрастает на промежутке [–1,5; 2,3] и убывает напромежутках [–3,5; –1,5] и [2,3; 6];г) прямые, параллельные оси абсцисс, касаются графика в точке(2,3; 4);д) max f ( x ) = 4; min f ( x ) = −3.[ −3,5;6][ −3,5;6]5.
f(x) = 3 + 5x + 3x2; f’(x) = 5 + 6x, k = f(x0) = –7; 5 + 6x = -7,x0 = –2, f(–2) = 5. Ответ: (–2; 5).Вариант 66.1.3521⋅ 812193⋅1841521⋅ 96=3521⋅ 24⋅ 2432331⋅ 521⋅ 331 1011= 5 ⋅ 2 ⋅ = = 3 . Ответ: 3 .33 332. log2(1 – 2x) > 0; log2(1 – 2x) > log21;Ответ: (–∞; 0).3. sin x + 0,5 = 0, [0; 2π];1k +1 π+ π k, k ∈ Z.sin x = − , x = ( −1)264.5.
f(x) = 5x + x2, (0; 3); f ( x ) = 53= 5⋅1 − 2x > 1x < 0.1 − 2x > 0Ответ:7π 11π;.66x2 x3++ C.2302 03x 2 x3+ + C ; C = 3. Итак, F ( x ) = 5 ++ 3.2323Ответ: 548{x 2 x3++ 3.23Вариант 67.2 x2 − 5x + 21.< 0;–+x+42(х – 2)(х – 0,5)(х + 4) < 0;-40,5х ∈ (-∞; –4) ∪ (0,5; 2).Ответ: (-∞; –4) ∪ (0,5; 2).2. log 1 ( 2 x − 1) ≥ −2; log 1 ( 2 x − 1) ≥ log 1 9;3{2x − 1 ≤ 9 ,2 x − 1 > 0;{3–+23x ≤ 5,Ответ: (0,5; 5].x > 0,5;23. tg x + tg x = 0, [0; 2π]; tg x(tg x + 1) = 0; tg x = 0 или tg x + 1 = 0;πx = πn, n ∈ Z или tg x = –1; x = − + π k , k ∈ Z ;41) x = πn; 0 ≤ πn ≤ 2π; 0 ≤ n ≤ 2; x1 = 0 при x = 0; x2 = π при n = 1;x3 = 2π при n = 2.ππ112) x = − + π k ; 0 ≤ − + π k ≤ 2π ; ≤ k ≤ 2 ; k = 1; 2;4444π37x4 = − + π = π при k = 1; x5 = π при k = 2.44437Ответ: 0; π; π ; 2π; π .444. f(x)=x3lnx, f ' ( x ) = 3x2 ln x +x3= x2 ( 3ln x + 1) .
Ответ: х2(3lnx+1).x5. f(x) = x2 – 6x + 9.22⎛ x3⎞82S = ∫ ( x 2 − 6 x + 9 ) dx = ⎜ − 3x 2 + 9 x ⎟ = − 12 + 18 = 8 .30⎝ 3⎠0 3Вариант 68.3 x 2 − 12> 0;1.1 − 11x3(х + 2)(х – 2)(11х – 1) < 0;⎛1 ⎞x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ⎜ ;2 ⎟ .⎝ 11 ⎠–+-2–111Ответ: (-∞; –2) ∪ (+21; 2).1149⎛1⎞2. ⎜ ⎟⎝6⎠x +111= 36 x −1 ; 6-(х+1) = 62(х-1), -х – 1 = 2х – 2, x = . Ответ: .33⎛π⎞3. sin x + sin (π − x ) − cos ⎜ − x ⎟ = −1;⎝2⎠sin x + sin x – sin x = –1; sin x = –1; x = −Ответ: −π2π+ 2π k , k ∈ Z .2+ 2π k , k ∈ Z .4.F ( x) = 2 ⋅5. f(x) = 2x + x3;x2 x4++ C.24Ответ: x 2 +x4+ C.4Вариант 69.5 1b4c41.+1 5b4c45 5b4c45 15 51 5b4c4 + b4c45 5, b = 2, c = 5;=b 4 c 4 ( c −1 + b −1 )5 5b4c42. lg(3 – 2x) < 2;{3 − 2 x < 1003 − 2 x > 0;{b4c4=1 1 1 1 7+ = + = .c b 5 2 10Ответ: 0,7x > −48,5,–48,5 < x < 1,5.x < 1,5;()3.
tg 2 x − 3tgx = 0, [0; 2π]; tgx tgx − 3 = 0;tg x = 0 или tgx = 3;50x = πn, n ∈ Z или x =π3+ π k, k ∈ Z.1) 0 ≤ πn ≤ 2π; 0 ≤ n ≤ 2; n = 0; 1; 2;x = 0 при n = 0; x = π при n = 1; x = 2π при n = 2.π112) 0 ≤ + π k ≤ 2π ; − ≤ k ≤ 2 − ; k = 0; 1;333π4π4при k = 0; x = π при k = 1.Ответ: 0; ; π; π ; 2π.x=33334.5. f(x) = x2 + 8x + 16, x = 0, y = 0, x = -2.00⎛ x3⎞2⎛ 8⎞S = ∫ ( x2 + 8x + 16) dx = ⎜ + 4 x2 + 16 x ⎟ = − ⎜ − + 16 − 32 ⎟ = 18 .3⎝ 3⎠−2⎝3⎠ −22Ответ: 18 .3Вариант 70.5⎞65⎛ 2 1⎛ 6 6 ⎞61.
⎜ 27 5 ⋅ 2 5 ⋅ 2 ⎟ = ⎜ 35 ⋅ 2 5 ⎟ = 6. Ответ: 6.⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠2. lg x + 0,5 lg 16 < lg 80 – lg 2; lg x + lg 4 < lg 40;{4 x < 40,x > 0;{x < 10,0 < x < 10.x > 0;Ответ: (0; 10).3. sin(-x) = sin2π; -sin x = 0, sin x = 0, x = πk, k ∈ Z.Ответ: πk, k ∈ Z.514.5. f(x) = 3x2 – 5; F(x)=x3 – 5x+C; F(2)=10; 23–5 ⋅ 2+C = 10; C = 12.Ответ: х3 – 5х + 12.Вариант 71.1⎛ 2 ⎞2⎜ 72 3 ⎟141114⋅ 36 6 ÷ 2 3 = 36 3 ⋅ 2 3 ⋅ 36 6 ÷ 2 3 = 6 ⋅ 2−1 = 3 . Ответ: 3.⎜⎟⎝⎠2. log6(5x–2)>3log62+2; log6(5x–2)>log68+log636; log6(5x–2)>log6288;1.{5 x − 2 > 288 ,x > 58.
Ответ: (58; ∞).5 x − 2 > 0;π2π⎛π⎞3. sin ⎜ − x ⎟ = sin , cos x =, x = ± + 2π k , k ∈ Z .424⎝2⎠πОтвет: ± + 2π k , k ∈ Z .44.52x 4 x3++ 3x + C ;231 15F ( −1) > 0 : − − 3 + C > 0, C > 2 . Например С=5.2 365. f(x) = 2x3 + x2 + 3; F ( x ) =Ответ:x 4 x3++ 3 x + 5.23Вариант 72.1.1log 2 683= 2log 2 6 = 6.Ответ: 6.12. ≤ 7 x−3 < 49; 7-1≤7х-3<72. Т.к. 7 > 1, то –1 ≤ х – 3 < 2; 2 ≤ х < 5.7Ответ: 2; 3; 4.3.
(sin x – cos x)2 – 1 = 0, [0; 2π]; sin2x–2sin x cos x + cos2x – 1 = 0;1 – sin2x – 1 = 0; sin2x = 0; 2x = πk;πkπ, k ∈ Z . 0 ≤ k ≤ 2π ; 0 ≤ k ≤ 4; k = 0; 1; 2; 3; 4;x=22π3Ответ: 0; ; π; π ; 2π.224.5. f(x) = x5 – x2; F ( x ) =Ответ:x 6 x3−+ C.63x 6 x3−+ C.6353Вариант 73–+–3–+30,5Ответ: (-∞; -3) ∪ (0,5; 3).2. log2(7x – 4) = 2 + log213;log2(7x – 4) = log252;3. sin x = –0,8, −π22 x2 + 5x − 3< 0;x−3(х – 3)(2х2 + 5х – 3) < 0;2(х – 3)(х – 0,5)(х + 3) < 0;1.{7 x − 4 = 52,x = 8.7 x − 4 > 0;Ответ: 8.< x < 0.Учитывая условие, cos x = 1 − sin 2 x = 1 − ( −0,8 ) = 0,6.2Ответ: 0,6.4.5.
f(x) = x3 – 3x2 + 5, f’(x) = 3x2 – 6x; k = f’(x0) = 0: 3x02 – 6x0 = 0 прих0 = 0 и х0 = 2; f(0) = 5, f(2) = 1; Ответ: (0; 5), (2; 1).Вариант 74.–+–0,25–01 ⎞⎛1⎞⎛8 x ⎜ x − ⎟⎜ x + ⎟ < 0 .2 ⎠⎝4⎠⎝Ответ: (-∞; -0,25) ∪ (0; 0,5).54+0,58x2 − 2 x − 1< 0;x2х(8х – 2х – 1) < 0;1.2. log23 – log2(2 – 3x) = 2 – log2(4 – 3x);⎧3 ( 4 − 3x ) = 4 ( 2 − 3x ) ,34⎧⎪log2= log2, ⎪2⎨2 − 3x4 − 3x ⎨⎪⎩ x < 3 ;⎪⎩2 − 3x > 0.⎧12 − 9 x = 8 − 12 x,⎪⎨x < 2 ;⎪⎩31x = −1 .33.
3tg 2 x − 3 = 0; tg 2 x =Ответ: x =π12+πk23ππ πk, 2x = + π k , k ∈ Z ; x = +, k ∈ Z.3612 2, k ∈ Z.4.5. f(x) = 3x4 – 1;F ( x) = 3x53− x + C. Ответ: F ( x ) = x5 − x + C.55Вариант 75.1.( x − 11)( 3x − 8)6−x< 0;–2⎞⎛3 ( x − 11) ⎜ x − 2 ⎟ ( x − 6 ) > 0;3⎠⎝+223–6+11⎛ 2 ⎞Ответ: ⎜ 2 ;6 ⎟ ∪ (11; ∞ ) .⎝ 3 ⎠2. 2х+3 + 2х+1 – 7 ⋅ 2х = 48; 3⋅2х = 48; 2х = 16; х = 4.
Ответ: 4.3 π3. cos x = − , < x < π . Учитывая условие, имеем:5 224⎛ 3⎞sin x = 1 − cos 2 x = 1 − ⎜ − ⎟ = .5⎝ 5⎠Ответ: 0,8.5524. f(x) = 2 ln x; f ' ( x ) = , k = f’(x0); k = f’(2) = 1. Ответ: 1.x5. f(x) = x2 – 6x + 10;33⎛ x3⎞S = ∫ ( x 2 − 6 x + 10 ) dx = ⎜ − 3 x 2 + 10 x ⎟ =−1⎝ 3⎠ −11⎛ 1⎞= ( 9 − 27 + 30 ) − ⎜ − − 3 − 10 ⎟ = 25 .3⎝ 3⎠1Ответ: 25 .3Вариант 76.–+-4–+-0,2503x + 12 x 2>0 ;x+43х(4х + 1)(х + 4) > 0;Ответ: (-4; -0,25) ∪ (0; ∞).1.2. log3(12 – 5x) = 2; log3(12 – 5x) = log39;{12 − 5 x = 9,x = 0,6.12 − 5 x > 0;Ответ: 0,6.11cos 2 αsin 2 α3.+=+=1 + tg 2α 1 + ctg 2α sin 2 α + cos 2 α sin 2 α + cos 2 αcos 2 α + sin 2 α= 1; 1 = 1, что и следовало доказать.sin 2 α + cos 2 α4.
а) D(f) = [-3; 5]; б) f(x) ≥ 1 при х ∈ [-2,2; 0,5] ∪ [4,7; 5];в) функция возрастает на каждом из промежутков [-3; -1] и [3; 5],убывает на промежутке [-1; 3];г) f’(x) = 0 при х = -1 и при х = 3;д) max f ( x ) = f ( −1) = 3; min f ( x ) = f ( 3) = −4.=[ -3;5][ −3;5]5. f(x) = 3x2 – 2x3 + 6;f’(x) = 6x – 6x2 = 6x(1 – x);f’(x) = 0 при х = 0 и при х = 1;f’(x)f (x)–+0minОтвет: xmin = 0; xmax = 1.56–1maxВариант 77.1.( x + 5)( x − 6 )6x − 1≤ 0;–-5⎛1 ⎤Ответ: ( −∞; −5] ∪ ⎜ ;6⎥ .⎝6 ⎦⎛1⎞2. 243 ⎜ ⎟⎝ 81 ⎠+–16+63 x+ 2= 27 x −3 ; 35 ⋅ 3-4(3х+2) = 33(х+3), 35-12х+8 = 33х+9,44.
Ответ:.15153. 2cos x = –1, [0; 2π];1π⎞2π⎛cos x = − , x = ± ⎜ π − ⎟ + 2π k , k ∈ Z ; x = ±+ 2π k , k ∈ Z .323⎠⎝13 – 12х = 3х + 9, x =2π122π.+ 2π k ≤ 2π ; − ≤ k ≤ ; k = 0. Тогда x1 =33332π144π2) 0 ≤ −+ 2π k ≤ 2π ; ≤ k ≤ ; k = 1. Тогда x2 =33332π 4π;.Ответ:334.
а) D(f) = [–3,5; 4,5]; б) f(x) ≤ 2,5 при х ∈ [–2; 4,5];в) функция возрастает на промежутке [1; 3], убывает напромежутках [–3,5; 1] и [3; 4,5]; г) f’(x) = 0 при х = 3;д) max f ( x ) = f ( −3,5 ) = 4; min f ( x ) = f (1) = −3.1) 0 ≤[ −3,5;4,5][ −3,5;4,5]5. f(x)=5–8x–x2; f’(x)= – 8–2x = -2(x + 4); критическая точка х = -4.max f ( x ) = f ( −4 ) = 21. Ответ: 21.[ −6;−3]Вариант 78.x 2 − 25< 0;1.6x + 11⎞⎛6 ( x + 5)( x − 5 ) ⎜ x + ⎟ < 0;6⎠⎝–+-5–16+5⎛ 1 ⎞Ответ: ( −∞; −5 ) ∪ ⎜ − ;5 ⎟ .⎝ 6 ⎠57112. 16⋅82+3х=1; 24⋅23(2+3х)=1, 24+6+9х=1, 10+9х=0, x = −1 .
Ответ: −1 .992⎛π⎞3. cos ( 3π + x ) − sin ⎜ − x ⎟ = 2; − cos x − cos x = 2, cos x = −,2⎝2⎠π⎞3π⎛x = ± ⎜ π − ⎟ + 2π k , k ∈ Z ; Ответ: ±+ 2π k , k ∈ Z .44⎠⎝4. а) D(f) = [–3; 5,5]; б) 1≤f(x)≤2,5 при x∈{–3}∪[–1; –0,2]∪[2,6; 3];в) промежуток возрастания – [–2; 1,5], промежутки убывания –[–3; -2] и [1,5; 5,5]; г) f’(x) = 0 при х = –2 и при х = 1,5;д) max f ( x ) = f (1,5 ) = 4,5; min f ( x ) = f ( 5,5 ) = −1.[ −3;5,5][ −3;5,5]+–5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
