Алгебра и нач анализа_Реш экз зад 11кл из Сборн заданий для экз_Дорофеев_Решения (991497), страница 6
Текст из файла (страница 6)
у = х3 + 3х2 – 9х;y’=3x2+6x–9; 3x2 + 6x – 9 > 0 | : 3;x2 + 2x – 3 > 0; (x – 1)(x + 3) > 0.Ответ: возрастает на (-∞; -3] и [1; ∞).+-31Вариант 79.–+-7–+68x 2 − 14 x + 48>0 ;x+7(x – 6)(x – 8)(x + 7) > 0;Ответ: (–7; 6) ∪ (8; ∞).1.2. log3(4–2x)–log32=2; log3(2–x)=log39;{2− x =9; x=–7. Ответ: –7.x<23. sin2x – cos2x – 1, [0; 2π];1 – cos2x – cos x = 1; cos2x + cos x = 0; cos x(cos x + 1) = 0;cos x = 0 или cos x = -1; x =π2+ π n, n ∈ Z или x = π + 2πk, k ∈ Z;π3; π ; π.2 24. а) D(f) = [–3; 6]; б) f(x) ≥ 1 при х ∈ [–2,5; 0,7] ∪ [4,5; 6];в) промежутки возрастания – [–3; –1] и [2,5; 6], промежуткиубывания – [–1; 2,5];г) касательные, параллельные оси абсцисс, касаются графика вточках х = –1 и х = 2,5;д) max f ( x ) = f ( 6 ) = 4; min f ( x ) = f ( 2,5 ) = −2,5.Ответ:[ −3;6][ −3;6]5.
S = 12t – 3r2; v(t) = S’(t) = 12 – 6t; v = 0 при t = 2c. Ответ: 2с.58Вариант 80.1.3x + 1y = lg; (3х + 1)(х – 4) > 0;x−4+–11⎞⎛−Ответ: ⎜ −∞; − ⎟ ∪ ( 4; ∞ ) .33⎠⎝2. 103х+1 > 0,001; 103х+1 > 10-3. Т.к. а = 10 > 1,1⎛ 1 ⎞то 3х + 1 > -3; x > −1 . Ответ: ⎜ −1 ; ∞ ⎟ .3⎝ 3 ⎠+43π, x = ± + π k, k ∈ Z.36π5π7π11π.Отрезку [0; 2π] принадлежат x = , x =и x=, x=6666π 5π 7π 11π;;.Ответ: ;6 6664. а) D(f) = [–3; 5,5]; б) f(x) ≥ 1 при х ∈ [–2,7; –0,3] ∪ [4; 5,5];в) промежутки возрастания – [–3; –1,5] и [2,5; 5,5], промежутокубывания – [–1,5; 2,5];г) касательные, параллельные оси абсцисс, касаются графика вточках х = –1,5 и х = 2,5;д) max f ( x ) = f ( 5,5 ) = 5,5; min f ( x ) = f ( 2,5 ) = −3.3. 3tg2x – 1 = 0; tgx = ±[ −3;5,5][ −3;5,5]5. S=1+4t–t2; v(t)=S’(t) = 4 – 2t; v(t) = 0 при t = 2 c.
Ответ: 2 с.Вариант 81.43 3⎞⎛ 1 ⎞4 ⎟4⎛ 1⎛ 3 −3 ⎞3= ⎜ 3 2 ⋅ 3 2 ⎟ = 1. Ответ: 1.1. ⎜ 27 2 ⋅ ⎜ ⎟⎜⎟⎝ 9 ⎠ ⎟⎟⎜⎜⎝⎠⎝⎠2. log0,5(2x + 1) > –2; log0,5(2x + 1) > log0,54;{2 x + 1 < 4 ( т.к. a = 0,5 < 1),2 x + 1 > 0;3.{x < 1,5,Ответ: (-0,5; 1,5).x > −0,5;1 + tg 2α1 + tg 2α − tg 2α − tg 2α ctg 2α0− tg 2α === 0.1 + ctg 2α1 + ctg 2α1 + ctg 2αЗначит,1 + tg 2α= tg 2α ;1 + ctg 2α594.
а) D(f) = [–2,5; 6]; б) f(x) ≥ 1 при х ∈ [–2,5; –1,4] ∪ [1; 5];в) промежуток возрастания – [0; 2], промежутки убывания –[–2,5; 0] и [2; 6];г) прямые, параллельные оси абсцисс, касаются графика в точкахх = 0 и х = 2;д) max f ( x ) = f (−2,5); min f ( x ) = f (0) − 1,5.5. f(x) = 2x2 – 5x + 1; k = f’(x0) = 4x0 – 5; k = 3 при 4x0 – 5 = 3;x0 = 2, f(x0) = –1.Ответ: (2; -1).Вариант 82.1. 7 −2log7 5 = ( 7log7 5 )−2= 5−2 =1.25Ответ:1.251< 2 x−1 ≤ 16; 2-3 < 2x-1 ≤ 24, –2 < x ≤ 5.
Ответ: -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.83. 2sin x – sin2x = cos2x; 2sin x = 1,1k πk πsin x = , x = ( −1)+ π k , k ∈ Z . Ответ: ( −1)+ π k, k ∈ Z.2664. а) D(f) = [–2,5; 5]; б) f(x) ≥ 3 при х ∈ [–2,5; –0,5] ∪ {3,5};в) промежутки возрастания – [1,5; 3,5], убывания – [–2,5; 1,5] и[3,5; 5];г) f’(x) = 0 при х = 1,5;д) max f ( x ) = f ( −2,5 ) = 4,5; min f ( x ) = f ( 5 ) = −3.2.[ −2,5;5][ −2,5;5]5. f(x) = 1 – 5x + 3x2; k = f’(x0) = -5 + 6x0;k = 1 при 6х0 – 5 = 1, х0 = 1, f(x0) = –1.Ответ: (1; -1).Вариант 83.1.2a2a3−13− 3a−132a=a−13−13( a − 3)=22= 2..
При а = 44−3a−3Ответ: 2.2. log3(5x – 6) < log32 + 3; log3(5x – 6) < log354;{5 x − 6 < 54,;5 x − 6 > 0;{x < 12,x > 1, 2;⎛ π⎞3. sin (π + x ) = cos ⎜ − ⎟ ;⎝ 3⎠601,2 < x < 12. Ответ: (1,2; 12).1− sin x = ;21k +1 π+ π k, k ∈ Z.sin x = − , x = ( −1)62Ответ: ( −1)k +1π+ π k, k ∈ Z.64. а) D(f) = [–3; 5,5]; б) f(x) < –1 при х ∈ (–3; –1) ∪ (2,5; 5,5];в) промежутки возрастания – [–3; 1], убывания – [1; 5,5];г) f’(x) = 0 при х = -1; д) max f ( x ) = 3,5; min f ( x ) = −5,5.[ −3;5,5][ −3;5,5]15.
f(x) = x2ln x; f ' ( x ) = 2 x ln x + x 2 ⋅ = x ( 2ln x + 1) .xОтвет: x ( 2ln x + 1) .Вариант 84.1.( x − 2 )( x − 9 ) ≥ 0;( 4 x − 5)–+–+Ответ: (1,25; 2] ∪ [9; ∞).1,25292. 2 ⋅ 5х+2 – 10 ⋅ 5х = 8;50 ⋅ 5х – 10 ⋅ 5х = 8, 5х = 5-1, х = –1 Ответ: -1.3. 2 cos (π + 2x) = 1; –2 cos 2x = 1;1π⎞π⎛cos 2 x = − ; 2 x = ± ⎜ π − ⎟ + 2π k , k ∈ Z ; x = ± + π k , k ∈ Z .323⎠⎝π+ π k, k ∈ Z.34. а) D(f) = [–3; 6]; б) f(x) ≤ –1 при х ∈ {-1,5} ∪ [3,5; 6];в) f’(x) = 0 при х = –1,5;г) промежутки возрастания – [-1,5; 1], убывания – [-3; -1,5] и [1; 6];д) max f ( x ) = 4,5; min f ( x ) = −3.Ответ: ±[ −3;6][ −3;6]5. S=0,5t2–3t+4; v(t)=S’(t) = t – 3, v(t) = 0 при t = 3 c.
Ответ: 3 с.Вариант 85.9x2 − 11.>0 ;x−6(3х + 1)(3х – 1)(х – 6) > 0;⎛ 1 1⎞Ответ: ⎜ − ; ⎟ ∪ ( 6; ∞ ) .⎝ 3 3⎠–+−13–13+6612. 251−3 x =15; 52(1-3х) = 5-3, 2 – 6х = –3, x = .1256Ответ:5.63⎛π⎞3. sin (π − x ) − cos ⎜ + x ⎟ = 3;sin x + sin x = 3, sin x =;2⎝2⎠k πk πx = ( −1)+ π k , k ∈ Z .
Ответ: ( −1)+ π k, k ∈ Z.334. а) D(f) = [–3,5; 6];б) f(x) ≥ 3,5 при х ∈ {–0,5} ∪ [5,8; 6];в) f’(x) = 0 при х = –0,5 и при х = 3,5;г) промежутки возрастания – [-3,5; –0,5] и [3,5; 6], убывания –[–0,5; 3,5];д) max f ( x ) = 4,5; min f ( x ) = −3,5.[ −3,5;6][ −3,5;6]5. f(x) = 4 – x2; F ( x ) = 4 x −F ( −3) = 10 : 4 ⋅ ( −3) −Ответ: 4 x −( −3)33x3+ C;3+ C = 10, C = 13;x3+ 13.3Вариант 86.1.7a3+4a31a3, а = 2;7a3+4a31a34=a 3 ( a + a −1 )4a31=a+ .a1111Ответ: 2 .=2+ =2 .a2222. log7(2x – 1) < 2; log7(2x – 1) < log749;При а = 2 a +{{2 x − 1 < 49 , x < 25,;0,5 < x < 25.2 x − 1 > 0;x > 0,5;Ответ: (0,5; 25).π3. cos (π + x ) = sin ;2–cos x = 1; cos x = -1, x = π + 2πk, k ∈ Z.Ответ: π + 2πk, k ∈ Z.624.5.
S = 0,5t2 + 3t + 2; v(t) = S’(t) = t + 3; v(t) = 15 при t = 12 с.Ответ: 12 с.Вариант 87.1. 160,5log4 10 = 4log4 10 = 10. Ответ: 10.2. 0,5 < 21-x ≤ 32; 2-1 < 21-x ≤ 25.;–1 < 1 – х ≤ 5; -4 ≤ х < 2.Ответ: -4; -3; -2; -1; 0; 1.π3. sin x – sin2x = cos2x; sin x = 1, x = + 2π k , k ∈ Z .2πОтвет: + 2π k , k ∈ Z .24. f(x) = 2x3 – 3x2 – 4; f’(x) = 6x2 – 6x; f’(–1) = 12; k = 12.Ответ: 12.5. у = -х3 + 9х2 + 21х;+–y’ = –3x2 + 18x + 21; –3x2 + 18x + 21 < 0;x2 – 6x – 7 > 0. (х – 7)(х + 1) > 0.-17Ответ: убывает на (-∞; -1] и [7; ∞).+Вариант 88.3x + 1 3x + 1;> 0;1. y = lg1 − 3x 1 − 3x(3х + 1)(3х – 1) < 0;⎛ 1 1⎞Ответ: ⎜ − ; ⎟ .⎝ 3 3⎠+–−13+13632− x⎛ 1 ⎞2.
⎜ ⎟ < 125x +1 ; 5-2(2-х) < 53(х+1), т.к. –4 + 2х < 3х + 3, х > –7.⎝ 25 ⎠Ответ: (–7; ∞).1cos2 α13. 1 + ctg 2α +=1++=cos 2 αsin 2 α cos 2 α2222sin 2 α cos 2 α + cos 4 α + sin 2 α cos α ( sin α + cos α ) + sin α==sin 2 α cos 2 αsin 2 α cos2 α1; что и требовалось доказать.= 2sin α cos 2 α4.=5. f(x) = 5x + 7;5 ( −2 )5x2+ 7 x + C ; F ( −2 ) = 4 :+ 7 ⋅ ( −2 ) + C = 4; C = 8;22Ответ: 2,5x2 + 7x + 8.2F ( x) =Вариант 89.1.49a 59a5+ 2a−15=49a 54a5( a + 2a )−1=9a9a9⋅55.
При а = 5 2== .a + 2 52 + 2 3a2 + 22Ответ: 1 .32. lg(0,5x) < –2; lg(0,5x) < lg0,01;Ответ: (0; 0,02).64{0,5 x < 0,01,x > 0;{x < 0,02,x > 0;24 π3⎛4⎞3. sin x = , < x < π ; cos x = − 1 − sin 2 x = − 1 − ⎜ ⎟ = − .5 25⎝5⎠Ответ: –0,64.5. f(x) = x – x2; F ( x ) =x 2 x322 23−+ C ; F ( 2 ) = 10; − + C = 10;232322x 2 x32C = 10 − 2 + 2 = 10 .
Ответ:−+ 10 .33233Вариант 90.x +1; (х + 1)(2х – 1) > 0;1. y = lg+–2x − 1Ответ: (-∞; -1) ∪ (0,5; ∞).-12. 322х+3 < 0,25;25(2x+3) < 2-2. 10х + 15 < –2, х < –1,7. Ответ: (–∞; –1,7).+0,533π3. 4sin2x = 3; sin 2 x = ; sin x = ±; x = ± + π k, k ∈ Z.3424. а) D(f) = [–3; 6];б) –1,5 ≤ f(x) ≤ 4 при х ∈ [-2,6; 0,5] ∪ [4; 6];в) f’(x) = 0 при х = –1 и при х = 2;г) промежуток возрастания – [–3; 2], убывания – [2; 6];д) max f ( x ) = f ( 2 ) = 5,5; min f ( x ) = f ( −3) = −2,5.[ −3;6][ −3;6]5.
f(x) = 6(x2 – 1), g(x) = 6x2 – 6x + 1 и q(x) = 6x(x – 1);F(x) = 2x3 – 3x2 + 1; F’(x) = 6x2 – 6x.Т.к. F’(x) = q(x), то функция F(x) = 2x3 – 3x2 + 1 являетсяПервообразной функции q(x) = 6x(x – 1).Ответ: q(x).65Вариант 91.1.1log3 432;1log3 432= 3log3 2 = 2.Ответ: 2.12. < 33+ x < 9; 3-1 < 33+x < 32. –1 < 3 + x < 2, –4 < x < –1.3Ответ: -3; -2.1113. cos x + cos2 x = − sin 2 x; cos x = − 1, cos x = − ,222π⎞2π⎛x = ± ⎜ π − ⎟ + 2π k , k ∈ Z ; x = ±+ 2π k , k ∈ Z .33⎠⎝2π+ 2π k , k ∈ Z .Ответ: ±34. а) D(f) = [–2,5; 6]; б) –1 ≤ f(x) < 2 при х ∈ (–2; –0,5] ∪ [2,8; 3,8);в) f’(x) = 0 при х = 1,5 и х = 4,5;г) промежуток возрастания – [1,5; 6], убывания – [–2,5; 1,5];д) max f ( x ) = f ( 6 ) = 5,5; min f ( x ) = f (1,5 ) = −2,5.[ −2,5;6][ −2,5;6]5.
f(x) = 1 – 5x – x2; f’(x) = –5 – 2x;k = f’(x0) = 9; –5 – 2x0 = 9, x0 = –7, f(x0) = –13. Ответ: (–7; –13).Вариант 92.–+0–+2,757x ( 4 x − 11)< 0;x−7Ответ: (-∞; 0) ∪ (2,75; 7).1.2. 165–3х = 0,1255х–6;2224(5–3х) = 2-3(5х–6), 20 – 12х = –15х + 18, x = − .
Ответ: − .33122223. sin α + ctg α + cos α = 1 + ctg α = 2 ,sin αчто и требовалось доказать4. а) D(f) = [–3; 6]; б) f(x) ≥ 4 при х ∈ {–1,5} ∪ [5; 6];в) f’(x) > 0 на промежутках (–3; –1,5) и (2,5; 6),f’(x) < 0 на промежутке (–1,5; 2,5);г) х = 2,5, х = –1,5д) max f ( x ) = f ( 6 ) = 5; min f ( x ) = f ( 2,5 ) = −3.[ −3;6]66[ −3;6]5. f(x) = x3ln x;1= 3 x 2 ln x + x 2 ;xОтвет: 16(3ln4 + 1).f ' ( x ) = ( x3 ) 'ln x + x3 ( ln x ) ' = 3 x 2 ln x + x3 ⋅f’(4) = 3 ⋅ 42ln4 + 42 = 16(3ln4 + 1).Вариант 93.1.x − 19 x + 84> 0;2 ( x − 5)2–+–572(х – 7)(х – 12)(х – 5) > 0;х ∈ (5; 7) ∪ (12; ∞).Ответ: (5; 7) ∪ (12; ∞).12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
