Алгебра и нач анализа_Реш экз зад 11кл из Сборн заданий для экз_Дорофеев_Решения (991497), страница 2
Текст из файла (страница 2)
F(x) =x4 −x3+2x−3.3Ответ: x4 −x3+2x−3.3Вариант 15.1.516 4−11 −( ) 2+227 35121 −= (24 ) 4 − (( )2 ) 2 + (33 ) 3 =32−3+9=38.391≤32−x<27; 3−3≤32−х<33, т.к.3>1,то −3≤2−х<3; −5≤−х<1;27−1<х≤5. Целые решения неравенства: х = 0; 1; 2; 3; 4; 5.Ответ: 0; 1; 2; 3; 4; 5.3. cos2x+cosx=−sin2x; cos2x + sin2x +cos x = 0;l+cosx=0; cos x=−1, x=π+2πk, k∈Z. Ответ: π+2πk, k∈Z.4.2.125. f(x)=2x3−3x2− 1; D(f)=R;f′(x)=6x2−6x=6х(х−l);f′(x) = 0, при x = 0 и х = 1;x = 0 и х = 1 − точки экстремума.Ответ: 0 и 1.Вариант 16.1.1a35b31a61−b 6=1 1+a3 65 1−b3 61313= a 2 b 2 . Ответ: a 2 b 2 .2. log2(2x+1)>4; log2(2x+1)> log216.{2 x + 1 > 16,x>7,5.2 x + 1 > 0;Ответ: (7,5; ∞).3. cos(π2+x)=cosπx=(−1)k+1π6; −sin x=33, sin x=−,22+πk, k∈Z. Ответ: (−1)k+1π+πk, k∈Z.34.
D(f)=R;f′(x) = 6x2−6x=6x(x−1);f′(x)=0 при х = 0 и x=1;Функция возрастает напромежутках (−∞; 0] и [1, ∞). Ответ: (−∞; 0] и [1; ∞).x3⎛ −27 ⎞5. f(x) =4−x2; F(x)=4x−+C; 4⋅(−3)− ⎜⎟ +C=10,3⎝ 3 ⎠3−12+9+C=10, C=13. F(x)=4x−x3x3+ 13. Ответ: F(x)=4x−+ 13.33Вариант 17.4x − xx( x − 4)x( x − 4)≤0;≥0. Пусть f(x) =.2x + 32x + 33 + 2xf(x) определена на (−∞; −1,5)∪(−1,5; ∞); f(x) = 0 при х = 0 и x= 4.Решим неравенство методом интервалов:1.2Ответ: (−1,5; 0]∪[4; ∞).132. log3(2x+l)=log313+ 1;{{log 3 (2 x + 1) = log 3 13 + log 3 3,2 x + 1 > 0;2 x + 1 = 39,x > −0,5;{x = 19,x=19.x > −0,5;3. 2sinx+ 3 =0; sinx=−{log 3 (2 x + 1) = log 3 39,x > −0,5;Ответ: 19.π3; x=(−1)k+1 3 +πk, k∈Z.2x=π+π/3 или х=2π–π/3х=4π/3х=5π/3.Ответ:45π; π.334.2 3х +3x+C; F(–2)=–5;3219219⋅ (−2)3 − 6 + С = −5 ; С=.Ответ: х 3 + 3 х +.33335. f(x)=2х2 +3; F(x) =Вариант 18.1.4x − 9xx(9 x − 4)x(9 x − 4)≥0;≥0. Пусть f(x)=;x − 10x − 1010 − x2f(x) определена на (−∞; 10)∪(10; ∞); f(х)=0 при x = 0 и x=Решим неравенство методом интервалов:Ответ: (0;144]∪(10; ∞).94.9⎧log (3x − 1) = log 0,5 8,2.
⎨ 0,5⎩3x − 1 > 0;3. 2cos x +{3x − 1 = 8,x=3. Ответ: 3.3x − 1 > 0;3 = 0, [0; 2π]; cos x = −3π, х =π ±625π 7π;.664. а) D(f) = [−3,5; 6]; б) f(x) > 2 при x∈(−1; 2,5)∪(5,5; 6);в) функция возрастает на промежутках [−3,5; 1] и [4; 6];функция убывает на промежутке [1; 4]; г) f′(x)=0 при x=1 и x=4;д) max f(x) =f(1)=4,5; min f(x)=f(−3,5)=−4.5.5. y=2x3+9x2−24x;y′=6x2+18x−24; x2+3x−4≤0; (x−1)(x+4)≤0.−4≤ x ≤ 1. Ответ: [−4; 1].Ответ:Вариант 19.3x − 273( x + 3)( x − 3)<0;<0.2x + 72x + 73( x + 3)( x − 3);Пусть f(x)=2x + 7f(x) определена на (−∞; −3,5)∪(−3,5; ∞); f(x)=0 при x=−3 и х = 3.x∈(−∞; −3,5)∪(−3; 3). Ответ: (−∞; −3,5)∪(−3; 3).2.
49x+1=(1/7)x; 72(x+1)=7−x, 2x+2=−x, x=−2/3.Ответ: −2/3.1.23. cos x+ sin (cos x=0, x=π2π2−x)+ cos (π +x)=0; cos x + cos x − cos x =0;+πk, k∈Z. Ответ:π2+πk, k∈Z.4.5. v = S′(t), S′ = 1 + t, v(4) = 1 + 4 = 5 (м/с). Ответ: 5 м/с.15Вариант 20.x 2 − 3x + 51.>0. Решим уравнение х2 − 3х + 5 = 0.x −1D=9−4·5=−11. х2 − 3х + 5 > 0. т.к. D<0. Тогда неравенствоx2 − 3x + 5>0 равносильно неравенству x−1>0, x>1.
Ответ: (1; ∞).x −12. log5(3x+1)<2;{⎧3 x + 1 < 25,log5 (3x + 1) < log5 25, ⎪⎨x > − 1 ;3x + 1 > 0;⎪⎩3⎧ x < 8,⎪⎨x > − 1 ;⎪⎩311<x<8. Ответ: (− ; 8).338ππ3. cos x=, − <x<0. Учитывая условие − < x < 0,2217−83⋅515имеем: sin x = − 1 − cos 2 x ; sin x=− 1 − ( )2 =−=−.17171715.174. f′(х) = 6х + 18; f′(x)=0 при х = −3 на отрезке [–5; −1].x=−5, y= –8; x=−3, y= –20; x=−1, y= –8.
Ответ: –20.x2x25. f(x)=х + 5; F(x)=+5x+C. Ответ:+5x+C.22Ответ: −Вариант 21.2x − 32 x − 3 ⎧⎪> 0,; ⎨ x+7x + 7 ⎪ x + 7 ≠ 0;⎩x∈(−∞; −7)∪(1,5; ∞). Ответ: (−∞; −7)∪(1,5; ∞).172. 271+2x>( )2+x; 33(1+2x)>3−2(2+x), 3+6x>−4−2x; 8x>−7; x>− .98Ответ: (−0,875; ∞).1. y = lg3. 7cos (x−sin x=163π)+5sin x+1=0; −7sin x + 5sinx + 1=0;2ππ1, x=(−1)k 6 +πk, k∈Z. Ответ: (−1)k 6 +πk, k∈Z.24. а) D(f)= [−3,5; 5]; б) −2 < f(х) ≤ 1 при x∈ [−3,1; 0]∪[2,1; 3,5);в) функция возрастает на промежутке [−2; 1];функция убывает на промежутках [−3,5; −2] и [1; 5];г) f(x) = 0 при х = –2; д) max f(x)=f(1)=5,5; min f(x)=f(5)= –3.5.
f(x) =3x–5;F(x)=3x 23(4) 2– 5x+C;−5⋅4+C=10; 24−20+C=10; C=6.22Ответ: F(x)=1,5x2–5x+6.Вариант 22.1.5a67b123−a 41a122−b 3=5 3−a6 47 2−3b12=a10−9127 −81b 12 = a12 b1−12.1−b 12Ответ:.2. log5(4x+1)>–1;1⎧⎪log 5 (4 x + 1) > log 5 ,⎨5⎪⎩4 x + 1 > 0;Ответ: (– 0,2; ∞).3.
tgx–ctg(π2{4 x + 1 > 0, 2,4x>−0,8; x>−0,2.4 x + 1 > 0;+x)+2=0; tgx + tgx + 2 = 0; tgx = –1. x=−Отрезку [0; 2π] принадлежат x=π4+πk, k∈Z.3π7π(k=1) и x=(k=2).443π 7π,.4424. f(x)=2x –x+ 1; f′(x) = 4x−1. 4x – 1=7; x=2; f(2)=7. Ответ: (2; 7).5. f(x)=2x–x2.Найдем абциссы точек пересечения графика функции с осьюабцисс: 2х–x2=0; x1=0 или x2=2.21 28 4S = ∫ 2 x − x 2 = x 2 − x3 ∫ = 4 − =3 03 30Ответ:Ответ:4.317Вариант 23.1.9−a 21b12:1a419−a 4−1b3=9 19− +a 2 41 1−3⋅ b12=a19−1841−41b 12 = a 4 b−1414.b .Ответ:2.
0,2 ≤ 5x+4 ≤ 125; 5−1 ≤ 5x+4 ≤ 53, 5 > 1, следовательно,–1 ≤x+4 ≤ 3; –5≤ x ≤ –1. Ответ: –5; −4; –3; –2; –1.3. (sin x + cos x)2 –1=0, [0; 2π]; 1 + sin2x – 1 = 0; sin 2x =0,2х = πk;Отрезку [0,2π] принадлежат только корни: 0, π/2, π, 3π/2, 2ππ3Ответ: 0;; π;π: 2π.224.5. f(x) = 4cos x+ 3, x=−k = –4sin (−π3)=4sinπ3π; f′(x)=–4sinx; k=f′(−3= 4⋅π3);3=2 3 . Ответ: 2 3 .2Вариант 24.1.3a45b 24:5a121−b 8=3 5−a 4 125 1+8⋅ b 241111= a 3 b 3 .
Ответ: a 3 b 3 .2. log 1 (2x+3)>−3;5⎧⎪log 1 (2 x + 3) > log 1 53 ,5⎨ 5⎩⎪2 x + 3 > 0;Ответ: (–1,5; 61).18{2 x + 3 < 125,x > −1,5;{x < 61,−1,5<x<61.x > −1,5;3. sin (π + x) = cos (−ππ3); –sin x =11; sin x = – ;22πx=(–1)k+1 6 +πk, k∈Z. Ответ: (–1)k+1 6 +πk, k∈Z.4. f′(x)=x2–4; x2–4=0;х1=2, y1=–3Ответ: (2; –311; x2=–2, y2=7 .3311), (–2; 7 ).335. f(x)=х4+3x; F(x)=x5x2x5x2+3+C. Ответ:+3+C.5252Вариант 25.112( x −)( x +)2 x2 − 122 >0;1.>0;x −8x −811x∈(−;)∪(8; ∞).2211;)∪(8; ∞).222. log0,5(2x)>2;Ответ: (−11 ⎧1 ⎧⎧11⎪log 0,5 (2 x) > log 0,5 , ⎪ 2 x < , ⎪ x < ,⎨8 0<x< . Ответ: (0; ).4 ⎨4 ⎨88⎪⎩ x > 0;⎪⎩ x > 0;⎪⎩ 2 x > 0;3. (cos x − 1)2=cos2x−1; cos2 x –2cos x + 1 = cos2 x – 1:2 cos x = 2; cos x = 1; x=2πn, n∈Z.
Ответ: 2πn, n∈Z.4.195. у=sin x, y=x+1, y=ex, y= x ;а) y=sin х; у′= cos x; cos x > 0 не на всей области определения;б) y=x+1; y′=1; 1>0 – на всей области определения (−∞; ∞);в) y=ex; y′=ex; ex>0 − на всей области определения (−∞; ∞);11г) y= x ; y′=;>0 − на всей области определения (0; ∞);2 x 2 xОтвет: у=х+1; у=ex; y= x .Вариант 26.11x 2 − xx(11x − 1)x(11x − 1)1.≤0;≤0. Пусть f(x)=;2+ x2+x2+xf(x) определена на (–∞; –2)∪(–2; ∞);f(x)=0 при x=0 и x=x∈(–∞; –2)∪[0; –Ответ: (–∞; –2)∪[0; –2.{1;111].111].111log2(3x–2)=3;2log 2 (3 x − 2) = 6, ⎧⎪ log 2 (3 x − 2) = log 2 64,⎨x > 2 ;3x − 2 > 0;⎪⎩3⎧ 3 x − 2 = 64,⎪x=22.⎨x > 2 ;⎪⎩3xxxπ3.
sin +1=0; sin=−1,=− +2πk, k∈Z; x=−π+4πk, k∈Z.2222Ответ: −π+4πk, k∈Z.4. а) D(f) =– [2,5; 6,5]; б) f(x)<1 при x∈(–1,5; 3,3);в)f′(х)<0 при x∈(–2,5; 1,2); f′(x)>0 при x∈(1,2; 6,5);г) касательные параллельны оси абсцисс в точке x=1,2;д) max f{x)=f(–2,5)=4,5; min f(x)=f(1,2)=–2.5. у =–х3+х2+8x; у′ =–3x2 + 2х + 8;–3x2 + 2x + 8 > 0; 3x2 – 2x – 8 < 0;D43х2 – 2х – 8 = 0;=1+24=25; x1=− ;344x2=2; Ответ: возрастает на [− ; 2].320Вариант 27.4 − x2( x + 2)( x − 2)1.>0;<0.2x − 32x − 3( x + 2)( x − 2),Пусть f(x) =2x − 3f(x) определена на (–∞; 1,5)∪(1,5; ∞); f(x) = 0 при x = –2 и x = 2.x∈(–∞;–2)∪(1,5; 2). Ответ: (–∞;–2)∪(1,5; 2).2. 9⋅811−2x=272−x; 32⋅34(1−2x)=33(2−x); 32+4−8x=36−3x;6−8x=6−3x; 5x=0; x=0.; Ответ: 0.3.
sin x + sin(π+x) – 2cos (2sin x = –1; sin x = –ππ2−x)=1; sin x – sin x – 2sin x = 1;π1; x=(–1 )k+1 6 +πk, k∈Z.2Ответ: (–1 )k+1 6 +πk, k∈Z.4. а) D(y) = [–3,5; 4,5]; б) f(х)<–1 при 1,7 <x<3,1;в) f(x) < 0 на промежутке (–1,5; 2,5);f(x) > 0 на промежутках (–3,5; –1,5) и (2,5; 4,5);г) касательные к графику параллельны оси абсцисс в точкахх= –1,5 и х=2,5; д) max f(x) = f(4,5) = 6; min f(x)=f(2,5)=–1,5.x 2 x3x35. f(x)=4x−x2; F(x)=4−+C. Ответ: 2x2−+C.233Вариант 28.3x + 4 x − 4<0. 3х2 + 4x – 4 = 0.8 + 15 x21.D = 16 + 4 ⋅ 12 = 64, x1,2 =−4 ± 82, x1=−2, x2= .6323( x + 2)( x − )3 <0;815( x + )1588f(x) определена на (−∞; −) и(−; ∞);1515Пусть f(x)=2128 2; x∈(−∞; −2)∪(−;).315 38 2;).Ответ: (−∞; −2)∪(−15 32. –log7(5–x)=log72–1; x<5; log72 + log7(5 – x) = log77;2(5–x)=7; 10–2x=7; x=1,5 – удовлетворяет области определения.Ответ: 1,5.53π3.
cosx=−, π<x<. Учитывая условие, sin x = − 1 − cos 2 x ;132f(x) = 0 при x = –2 и x =518 ⋅ 83⋅ 412sin x=− 1 − ( )2 ; sin x=−=−=−.1321313134. a) D(f) =[–3; 6]; б) f(x) > 1 при x∈[–3; 0,5)∪(5,3; 6);в) функция возрастает на промежутке [3,25; 6];функция убывает на промежутке [–3; 3,25];г) касательная к графику параллельна оси абсцисс в точках x=3,25;д) mах f(x)= f(6)=5,5; min f(x)=f(3,25)=−2,5.5. F(x)=x3+3x−5; f(x)=3(x2+1). F′(x) = 3x2 + 3 = 3(х2+1) = f(x)Ответ: является.Вариант 29.3x + 41. y= ln;5− x⎧ 3x + 4⎪> 0,⎨ 5− x⎪⎩5 − x ≠ 0;Ответ: (−14⎧⎪ 3( x + 3 )< 0,⎨⎪ x−5≠x5;⎪⎩1; 5).31 2+3x x−1 −2(2+3x) 3(x−1)) <8 ; 2<2; (2>1);411−4−6x<3x−3; 9x>−1; x>− . Ответ: (− ; ∞).993π223.
4cos x – 3 = 0; cos x= ; соs х =± +πk, k∈Z.462. (Ответ: ±22π6+πk, k∈Z.4. а) D(f) = [–3; 5,5]; б) f(x) < –1 при x∈[–3; –2,3)∪(2,25; 5,5];в) функция возрастает на промежутке [–3;–1] и убывает напромежутке [–1; 5,5];г) касательные к графику параллельны оси абсцисс в точках x=–1и x=3,5; д) max f(х) =f(−1) = 3,5; min f(x) = f(–3) = –5.15. f(x)=2x3− x4−8; f′(x)=6x2−2x3; f′(x)=0: 2x2(3−x)=0; x=0 или x=3.2Точка x = 3 – точка экстремума функции.
Ответ: 3.Вариант 30.( x − 5)(2 x + 7)1.≥0;4−x( x − 5)(2 x + 7)≤0.x−4( x − 5)(2 x + 7)Пусть f(x)=; f(x) определена на (–∞; 4)∪(4; ∞);x−4f(x)=0 при x=5 и x = –3,5; x∈(−∞; –3,5]∪(4; 5].Ответ: (–∞; –3,5]∪(4; 5].2. 7x+2– 14⋅7x=5; 49⋅7х – 14⋅ 7x = 5; 35⋅7x=5; 7x=7−1; x=–1.Ответ: –1.3. sin x=12π12, 0<x< ; cos x = 1 − sin 2 x = 1 − ( )2 ;132135 ⋅155; cos x=.Ответ:.1313134. а) D(f) = [–3; 6];б) f(x) <–1 при x∈ [–3;–1)∪(3,2; 5);в) функция возрастает на промежутках [–3; 1] и [4; 6], убывает напромежутке [1, 4];г) касательные параллельны оси абсцисс в точках x=1 и x=4;д) mах f(x)=4; min f(x)=f(–3)=–4,5.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
