Алгебра и нач анализа_Реш экз зад 11кл из Сборн заданий для экз_Дорофеев_Решения (991497), страница 12
Текст из файла (страница 12)
CH = CO =.22 22111Так как CH = CO и ∆SCO ∆MCH , то MH = SO = h .222a1 1 1 a111V1 = ⋅ h ⋅ ⋅⋅= a2 h ⋅ = V .3 2 2 2 2 2 316 16ЗначитV1V11==.V2 V − V1 153.57.Данная плоскость пересекаетдве параллельные плоскостибоковых граней и значит, MNB1|| CD.ONDНо по определению прямоMC угольногопараллелепипедаAB || CD, отсюда если однаABпрямая параллельна одной издвух параллельных прямых, то она параллельна третьей, т.е.
MN ||AB, значит, ∠BAB’ = ∠NOB’, т.к. это соответственные углы припараллельных прямых. Отсюда ∆ABB’ ∞ ∆ONB’ (по двум равным1, т.к. диагоналиуглам, ∠B’ у них общий). Коэф. подобия равен2прямоугольника ABB’A точкой пересечения делятся пополам, т.е.D1A1134C1B'N 1BN 1= .= илиBB ' 2BB ' 2Найдем объем отсекаемой прямой призмы с основанием ∆BCN(угол В прямой).11V’ = S’осн. ⋅ AB = BN ⋅ BC ⋅ AB = AB ⋅ BC ⋅ BB ' .24Объем параллелепипеда равен V = AB ⋅ BC ⋅ BB’.1VV' 1V'11Ответ: .= ;= 4= .V 4V − V ' V − 1V 3343.58. см. рис. 3.46.В 3.46 доказано, что площадь параллельного основанию сеченияпирамиды относится к площади основания как квадрат отношения длины отрезка (считая от вершины), который отсекает плоскость, к высоте пирамиды.Пусть k – коэффициент отношения отрезка к высоте, V – объемпирамиды, V’ – объем отсекаемой пирамиды.1S'h'11= k2,= k , т.е.
V ' = k 3 ⋅ Sh . V = Sh .V ' = S '⋅ h ' , где3Sh33V'V'1V′1133=⇒ =k = , k= .= k , а по условиюVV − V ' 26V2731k1= 3 = .Значит высота делиться в отношении1− k 1− 1 231Ответ:.23.59. см. рис. 3.46.Пусть h’ – высота отсекаемой пирамиды, h – высота данной пирамиды, S’ – основание отсекаемой пирамиды, S – данной пирамиды; тогда по сформулированному в 3.58h'h'2kh2= k , по условию= ;= ;hh − h ' 1 h − kh 12S' 4k = 2 ⋅ (1 – k), k = , тогда= (см. 3.58).3S 91351S 'h'V' 3==1VSh3Ответ: 8 .1 38k ⋅ ShV8V'83;.= k3 == 27=1827V−V'⋅ ShV − V 19327193.60. см. рис.
3.46.V'= 1 , где V’ – объем отсекаемой пирамиды, а VПо условиюV −V '– объем данной с основанием S = 1 м2. Пусть S’ – площадь сечеS'V'= k 3 , V’ = k3Vния, тогда (см. 3.58) k 2 =, S’ = k2S. (см. 3.59)SV11k 3Vk3=1 ,= 1, 2k3 = 1, k = 3 ; S ' = k 2 S = 3 ⋅ 1 см2.V − k 3V21 − k341.43.61. 1 случайЕсли высота призмы равна 12 см, а периметр основания (треугольник) равен 15, т.е. h = 12 см, 3a = 15, а = 5.Ответ:313V = h ⋅ ⋅ sin 60o ⋅ a 2 =⋅ 12 ⋅ 25 = 75 3 .242 случайh = 15, 3а = 12, а = 4. V =3⋅ 16 ⋅ 15 = 60 3 .4Ответ: V = 60 3 см3, V = 75 3 см3.3.62. Пусть h – высота призмы, периметр 3а, где а – сторона основания.1 случай3а = 9 см, а = 3 см, h = 18 см;1a2 3 9 3Sосн = a ⋅ a ⋅ sin 60° ==;244S = Sбок.+2Sосн.=3ah +S = 3 ⋅ 3 ⋅ 18 +1369 3;29 39 3= 162 +см2222 случай3а = 18 см, а = 6 см, h = 9 см;Sбок = 9 3 ; S = 9 ⋅ 18 + 2 ⋅ 9 3 = 162 + 18 3 .Ответ: 162 +9 3(см2) и 162 + 18 3 (см2).23.63. Пусть h – высота призмы, 4а – периметр, где а – сторона основания1 случай4а = 12 см, а = 3 см, h = 16 см.
V1 = a2h = 144 см3.2 случай4а = 16 см, а = 4 см, h = 12 см; V2 = a2h = 296 см3.V 3Ответ: 1 = .V2 43.64. Пусть h – высота призмы, 4а – периметр, где а – длина стороны основания.1 случай4а = 24 см, а = 6 см, h = 10 см. S = Sбок. + 2Sосн. = 4ah + 2a2.S1 = 24 ⋅ 10 + 2 ⋅ 62 = 312 см2.2 случай4а = 10 см, а = 2,5 см, h = 24 см. S2 = 10 ⋅ 24 + 2 ⋅ 2,52 = 252,5 см2.Ответ: S1 больше на 59,5 см2, чем S2.3.65. Пусть h – высота призм и по условию равна 8 см, а – длинастороны основания1 случай3a = 12 см, а = 4 см.V1 = Sосн. ⋅ h =1 23a ⋅ sin 60o ⋅ h =⋅ 16 ⋅ 8 = 32 3 см3.242 случай4а = 12 см, а = 3 см; V2 = a2h = 9 ⋅ 8 = 72.Ответ:V1 4 3.=V293.66.
Пусть h – высота обеих призм и по условию равна 10 см, а –длина стороны основания1 случай3а = 24 см, а = 8 смS1=Sбок.+2Sосн.1= 3ah + a2 ⋅ sin60o = 240 + 2 ⋅ 16 3 = 16(15 + 2 3) см2.1372 случай4а = 24 см, а = 6 см.S2 = Sбок. + 2Sосн.2 = 4ah + 2a2 = 240 + 2 ⋅ 36 = 312 см2.Ответ: S1 меньше S2 на 8 ⋅ (9 − 4 3) см2.3.67. Пусть h – высота пирамиды, по условию она равна сторонеквадрата, т.е.
12 см, периметр равен тоже 12 см.1 случай3а = 12 см, где а – сторона основания. а = 4 см.1Sосн.1 = a 2 ⋅ sin 60o2S1=Sбок.1+2Sосн.1 = 3a ⋅ h+a2⋅sin60o= 12 ⋅ 12 +3 2⋅ 4 = 8 ⋅ (18 + 3) см2.22 случай4а = 12 см, а = 3 см. Sосн.2 = а2,S2 = Sбок. + 2Sосн.2 = 4ah + 2a2 = 12 ⋅ 12 + 2 ⋅ 9 = 162 см2.Ответ: S2 больше S1 на 2Sосн.2 – 2Sосн.1 = 18 − 8 3 см2.3.68. Пусть h – высота, тогда по условию она равна стороне квадрата, т.е. 24 см, периметр равен тоже 24 см1 случай3а = Р, а = Р/3 = 8 см. V1 = Sосн.1 ⋅ h =1 23 p2a ⋅ sin 60o ⋅ h =⋅24 92 случай4а = р , а = р/4 = 6 см. V2 = Sосн.2 ⋅ h = a2 ⋅ h = 36 – 24 см2Ответ:3.69.CV1 Sосн.1 4 3.==V2 Sосн.29B60 o60 oD HAH11.
При вращении АВ около AD получается конус с образующей равной АВ, и радиусом равны ВН. (В ∆АВН ∠Н прямой, ∠А по условию60о, ВН = АВ ⋅ sin60o = 10 ⋅1383= 5 3 см, АН = АВ ⋅ cos60o = 5 см)22. При вращении ВС около AD получаемцилиндр высотой равной ВС, т.е. по усло- CH1вию 10 см, и радиусом ВН = 5 3 см.При вращении CD – конус, образующая CD= AB, и радиус CH’ = BH (т.к.
по определеDнию ромба AD || CB), значит, общий объемV равен.HBV = Vконус1 + Vцилиндр – Vконус2 = Vцилиндр (т.к.Vконус1 = Vконус2, т.к. ∆АВН = ∆CDH’ по гипотенузе и катету: АВ = CD, BH = CH’,1т.е. Vконус1 = π BH 2 ⋅ AH и Vконус2 =A31= π CH '2 ⋅ DH ' ). Vцилиндр = πВН2 ⋅ ВС = π ⋅ 10 ⋅ 75 = 750π (см2).3Ответ: 750π см2.3.70.
см. рис 3.69.1. АВ, вращаясь, дает конус с высотой АН (т.к. в ∆АВН ∠Н прямой и по условию АВ = 8 см, угол А равен 60о, то радиусВН=АВ⋅cos60o = 4 3 см), образующая АВ по условию равна 8 см.Sпов.1 = πВН ⋅ АВ = π ⋅ 4 3 ⋅ 8 = 32 3π см22. ВС, вращаясь, дает цилиндр с образующей ВС, равной по усло-вию 8 см, и радиусом ВН, равным 4 3 см.()Sпов.2 = 2πBH ⋅ BC = 2π ⋅ 4 3 ⋅ 8 = 64 3π см23.
CD, вращаясь, дает конус с образующей CD, равной по длинеАВ, и радиусом CH’, равным ВН, т.к. AD || BC по определениюромба, значит Sпов.3 = Sпов.14. S = 2Sпов.1 + Sпов.2 = 128 3π см2. Ответ: 128 3π см2.3.71.1. ВС, вращаясь, дает конус с обраCзующей ВС, радиусом СН и высо- Dтой ВН.СН = 4 см ( по условию)AHCD – прямоугольник, значит АН= DC и ВН = АВ – АН = АВ – CD =AH= 8 см – 5 см = 3 см.11322Vкон. = π CH ⋅ BH = π ⋅ 4 ⋅ 3 = 16π см .33H1B139BCDBH1HCADHA2. CD, вращаясь около АВ, дает цилиндр с радиусом СН и высотой АН.
По условию АН = DC = 5 см, СН = 4 см.Vцил. = πСH2 ⋅ AH = π ⋅ 42 ⋅ 5 = 80π см3.3. V = Vкон. + Vцил. = 16π + 80π = 96π см3. Ответ: 96π см3.3.72. 1. ВС, вращаясь около АВ, дает конус с образующей ВС ирадиусом СН, равным по условию 3 см.ВС2 = СН2 + ВН2, ВН = АВ – АН, а АН = CD, т.к. это стороныпрямоугольника АНСD, тогда по условиюВН = АВ – СВ = 10 – 6 = 4 см, и BC = 32 + 42 = 5 (см).S1 = π ⋅ CH ⋅ BC = π ⋅ 3 ⋅ 5 = 15π см22. CD, вращаясь около АВ, дает цилиндр с радиусом СН, равнымпо условию 3 см, и высотой АН, равной 6 см, тогдаS2 = 2π CH ⋅ AH = 2π ⋅ 3 ⋅ 6 = 36π см23.
DA, вращаясь около АВ, дает окружность радиусом СН,S3 = πCH2 = 9π см2, S = S1 + S2 + S3 = 15 + 36 + 9 = 60 см2Ответ: 60 см2.3.73. 1. АВ, вращаясь около CD, дает цилиндр с радиусом AD,равным по условию 3 см, и высотой DH’, равной АВ, которая поусловию равна 14 см, т.к. ABH’D по условию и построению параллелограмм, то его противоположные стороны равны.V1 = π ⋅ AD2 ⋅ AB = π ⋅ 32 ⋅ 14 = 126π см32. BC, вращаясь вокруг CD, дает конус с высотой СН’, радиусомBH’, равным AD, т.к. AB || CD по определению трапеции, т.е.BH’ = 3 см.CH’ = DH’ – CD = AB – CD = 14 – 10 = 4 см11V2 = π BH '2 ⋅ CH ' = π ⋅ 32 ⋅ 4 = 12π333. V = V1 – V2 = 126π - 12π = 114π см3Ответ: 114π см3.1403.74. 1.
Вращаясь около CD, АВ дает поверхность цилиндра с радиусом, равным СН (по условию СН = 4 см) и высотой, равнойАВ (по условию АВ = 15 см).S1 = 2πCH ⋅ AB = 120π см22. Вращаясь около CD, ВС дает поверхность конуса с образующей ВС и радиусом BH’.ВС2 = СН2 + ВН2, ВН = АВ – АН = АВ – DC, т.к.
AHCD – прямоугольник, а в прямоугольнике противоположные стороны равны,значит ВН = 15 см – 12 см = 3 см, BC = 42 + 32 = 5 смS2 = πBH’ ⋅ BC = 20π см2.3. AD, вращаясь, дает окружность с радиусом AD, AD=CH = 4 см.S3 = πCH2 = 16π см2.4. S = S1 + S2 + S3 = 120π + 20π + 16π = 156π см2Ответ: 156π см2.3.75. 1 случайПользуемся выражениями объема, данными в задаче 3.73.V1 = π ⋅ AD2 ⋅ AB = π ⋅ 122 ⋅ 15 = 2160π см3 – для цилиндра11V2 = π BH '2 ⋅ CH ' = ⋅ 122 ⋅ 5π = 240π см3 – для конуса33CH’ = AB – CD = 15 см – 10 см = 5 см, AD = CH = 12 см.V = V1 – V2 = 1920π см3.2 случайВозьмем выражения из 3.71.V’1 = πCH2 ⋅ AH = π ⋅ 122 ⋅ 10 = 1440π см3 – для цилиндра,AH = CD = 10 см11V '2 = π CH 2 ⋅ BH = π ⋅ 122 ⋅ 5 = 240π см3 – для конуса,33ВН = АВ – CD = 5 смV’ = V’1 + V’2 = 1680π см3Ответ: V больше V’ на 240π см3.3.76.
см. рис. 3.71.1 случайПользуемся выражением площади из 3.74.S1 = 2π ⋅ CH ⋅ AB = 2π ⋅ 15 ⋅ 20 = 600π см2 – площадь цилиндраS2 = π ⋅ BH’ ⋅ BC, где BH’ = СН = 15 см и BC = CH 2 + HB 2 ,НВ = АВ – CD = 20 см – 12 см = 8 см. BC = 152 + 82 = 17 см.S2 = π ⋅ 15 см ⋅ 17 см = 255π см2 – площадь боковой поверхностиконуса141S3 = πAD2, AD = CH = 15 см.S3 = π ⋅ 152 = 225π см2 – площадь окружности.S = S1 + S2 + S3 = 1080π см2.2 случайПользуемся выражением из 3.72.S’1 = πCH ⋅ BC, где СН = 15 см по условию, а BC = CH 2 + HB 2 ,ВН = АВ – СD = 20 см – 12 см = 8 см, ВС = 17 смS’1 = π ⋅ 15 ⋅ 17 = 255π см2 – площадь боковой поверхности конусаS’2 = 2πCH ⋅ CD = 2π ⋅ 15 ⋅ 12 = 360π см2 – площадь боковой поверхности цилиндра.По условию СН = 15 см, CD = 12 см.S’3 = πCH2 = 225π см2 – площадь окружностиS’ = S’1 + S’2 + S’3 = 840π см2Ответ: S больше S’ на 240π см2, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
