Алгебра и нач анализа_Реш экз зад 11кл из Сборн заданий для экз_Дорофеев_Решения (991497), страница 15
Текст из файла (страница 15)
y = sin x; y = cos2x.Решим уравнение sin2x = cos2x.Ответ:πsin2x – cos2x = 0; cos2x = 0; 2 x =π2+ π k, x =π4+πk2,k ∈ Z;πk ⎞ 1π πk1⎛π πk ⎞2 ⎛π, y = , k ∈ Z.y⎜ +⎟ = sin ⎜ +⎟ = . Ответ: x = +4222 ⎠2 ⎠ 2⎝4⎝44.44. y = 3sin2x, y = cos2x. 3sin2x = cos2x; 3sin2x = 1 – sin2x;3⎞1π3⎛ πsin x = ± ; x = ± + π k , k ∈ Z , y = . Ответ: ⎜ ± + π k ; ⎟ , k∈Z.2644⎠⎝ 64.45. y = sin2x; y = 3cos2x.1sin2x = 3cos2x; 1 – cos2x = 3cos2x; cos 2 x = ;41π3cos x = ± ; x = ± + π k , k ∈ Z ; у = .234π3Ответ: x = ± + π k , y = , k ∈ Z.344.46. y = sin2x, y = 2cos2x.sin2x = 2cos2x; 2sin x cos x – 2cos2x = 0; 2cos x(sin x – cos x) = 0;1) cos x = 0; x =π2+ π n, n ∈ Z ;2) sin x = cos x; x =π4+ π k, k ∈ Z;⎛π⎞⎛π⎞y ⎜ + π n ⎟ = 0; y ⎜ + π n ⎟ = 1.⎝2⎠⎝4⎠⎛π⎞ ⎛π⎞Ответ: ⎜ + π n;0 ⎟ ; ⎜ + π k ;1⎟ , n, k ∈ Z.⎝2⎠ ⎝4⎠1614.47.
y = sin x, y = sin2x;sin x = sin2x; 2sin x cos x – sin x = 0; sin x (2cos x – 1) = 0;1) sin x = 0; x = πn, n ∈ Z;1π2) cos x = ; x = ± + 2π k , k ∈ Z .23Ответ: πn; ±π+ 2π k , n, k ∈ Z.34.48. y = 2 + cos2x, y = cos x2 + cos2x = cos x; 2 + 2cos2x – 1 = cos x; 2cos2x – cos x + 1 = 0.Пусть cos x = a, |a| ≤ 1.
Тогда 2а2 – а + 1 = 0, D < 0 – уравнениекорней не имеет, значит, графики функций y = 2 + cos2x иy = cos x не имеют общих точек.Ответ: точек пересечения нет.4.49. y = 3sin2x, y = 4cos x;3 sin2x = 4cos x; 6sin x cos x = 4cos x; 2cos x(3sin x – 2) = 01) cos x = 0; x =π2+ π k, k ∈ Z;22n2) sin x = ; x = ( −1) arcsin + π n, n ∈ Z .33π2nОтвет: + π k , ( −1) arcsin + π n, k, n ∈ Z.234.50. y = 3cos x – 1 и y = cos2x;3cos x – 1 = cos2x; 3cos x – 1 = 2cos2x – 1;2cos2x – 3cos x = 0; cos x(2cos x – 3) = 0;⎡cos x = 0,⎢⎣cos x = 1,5cos x = 1,5 – не имеет решения, т.к.
|cos x| ≤ 1;ππx = + π k , k ∈ Z . Ответ:+ π k, k ∈ Z.22Степени и логарифмы4.51. log 216 27 + log 36 16 + log 6 3 = log 63 33 + log 62 42 + log 6 3 == log63 + log64 + log63 = log636 = 2. Ответ: 2.4.52. log 0,2 125 : log16 64 ⋅ log 3 81 = log 5−1 53 : log 24 26 ⋅ log 3 34 =6= −3: ⋅ 4 = −8.4162Ответ: -8.4.53.
log 1 16 ⋅ log521 log3 2= − log 2 24 ⋅ log5 5−2 : 3log3 4 =:925= -4 ⋅ (-2) : 4 = 2.Ответ: 2.1 2log49 24.54. log 1 9 ⋅ log 2 : 7= − log3 32 ⋅ log 2 2−3 : 7log7 2 =83= -2 ⋅ (-3) : 2 = 3.Ответ: 3.8: log 7 27 =24− log 7 311= log 7 3−1 : log 7 33 ==− .Ответ: − .33log 7 334.56. (3lg2 + lg0,25) : (lg14 – lg7) = lg2 : lg2 = 1.
Ответ: 1.4.55. ( 3log 7 2 − log 7 24 ) : ( log 7 3 + log 7 9 ) = log 74.57. ( log 2 12 − log 2 3 + 3log3 8 )lg 5= ( log 2 4 + 8 )lg 5= 10lg 5 = 5.Ответ: 5.4.58. ( log 6 2 + log 6 3 + 2log 2 4 )log5 7= ( log 6 6 + 4 )log5 7= 5log5 7 = 7.Ответ: 7.4.59.
22-х – 2х-1 = 1;22 2 x−− 1 = 0. Пусть 2х = у, у > 0.2x 24 yИмеем: − − 1 = 0; 8 – у2 – 2у = 0;y 2у2 + 2у – 8 = 0; у1 = -4; у2 = 2. у > 0; 2х = 2; х = 1. Ответ: 1.1-х4.60. 3 – 3х = 23Пусть 3х = у, у > 0, тогда 31− x = . Получаем:y3− y − 2 = 0; 3 – у2 – 2у = 0; у2 + 2у – 3 = 0,yу1 = -3, у2 = 1; у > 0, 3х = 1, 3х = 30, х = 0.Ответ: 0.11 2 x 232x 84.61. ⋅ 2 x−1 + 23− x = 3; ⋅ + x − 3 = 0;+ x − 3 = 0.22 2 24 2Пусть 2х = у, у > 0. Тогда:y 8+ − 3 = 0; у2 + 32 – 12у = 0; у2 – 12у + 32 = 0;4 yу1 = 4, у2 = 8.
2х = 4; х = 2; 2х = 8; х = 3. Ответ: 2; 3.1631 x+23x ⋅ 9 93x 9⋅ 3 + 32− x = 4.+ x − 4 = 0;+− 4 = 0.272733 3xy 9+ − 4 = 0; у2 – 12у + 27 = 0; у1 = 3, у2 = 9.3х = у, у > 0. Тогда:3 y1) 3х = 3, х = 1;2) 3х = 9, х = 2.Ответ: 1; 2.4.62.⎛1⎞4.63. 5 x − ⎜ ⎟⎝5⎠x −1= 4; 5х – 51-х – 4 = 0; 5 x −5− 4 = 0.5x5− 4 = 0; m2 – 5 – 4m = 0;mm1 = -1, m2 = 5. m > 0; 5х = 5; х = 1.Ответ: 1.Пусть 5х = m, m > 0. Тогда: m −⎛1⎞4.64. 8 ⋅ ⎜ ⎟⎝7⎠x +1− 7 x−1 = 1.1− xxx1 ⎛1⎞ ⎛1⎞⎛1⎞8 ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = 1.
Пусть ⎜ ⎟ = y, у > 0. Тогда:7 ⎝7⎠ ⎝7⎠⎝7⎠8y 12−− 1 = 0; 8у – 7у – 1 = 0; D = 49 + 32 = 81,7 7yxx01⎛1⎞⎛1⎞ ⎛1⎞y1 = − , у2 = 1; ⎜ ⎟ = 1; ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 0.8⎝7⎠⎝7⎠ ⎝7⎠4.65.1 ⎛1⎞⋅⎜ ⎟3 ⎝9⎠x −1x2xОтвет: 0.x1 ⎛1⎞⎛1⎞⎛1⎞− ⎜ ⎟ = 0; ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ 32 − ⎜ ⎟ = 0.3 ⎝ 3⎠⎝ 3⎠⎝ 3⎠x⎛1⎞Пусть y = ⎜ ⎟ , у > 0. Имеем: у(3у – 1) = 0.⎝ 3⎠11у = 0 или y = . Условию у > 0 удовлетворяет y = .33x⎛1⎞ 1⎜ ⎟ = ; х = 1.3⎝3⎠Ответ: 1.xx⎛1⎞⎛1⎞4.66. 9 ⋅ ⎜ ⎟ − 2 ⋅ ⎜ ⎟ = 0;⎝4⎠⎝ 2⎠2xxx⎛1⎞⎛1⎞⎛1⎞9 ⋅ ⎜ ⎟ − 2 ⋅ ⎜ ⎟ = 0. Пусть ⎜ ⎟ = y, у > 0.⎝2⎠⎝2⎠⎝2⎠9у2 – 2у = 0; у(9у – 2) = 0,1642у = 0 или y = .
у > 0;9x22⎛1⎞⎜ ⎟ = ; x = log 1 .99⎝2⎠22Ответ: log 1 .924.67. 9х – 3х+1 = 54; 32х – 3 ⋅ 3х – 54 = 0. Пусть 3х = t, t > 0. Имеем:t2 – 3t – 54 = 0; t1 = -6, t2 = 9; t > 0; 3х = 9; 3х = 32; х = 2.Ответ: 2.3x24.68. 3х-1 + 2 ⋅ 3-х-1 – 1 = 0.+− 1 = 0. Пусть 3х = у, у > 0.3 3 ⋅ 3xy 2+− 1 = 0; у2 + 2 – 3у = 0; у2 – 3у + 2 = 0;Тогда:3 3yу1 = 1, у2 = 2.Ответ: 0; log32.1) 3х = 1, 3х = 30, х = 0; 2) 3х = 2, х = log32.4.69. 2 x ⋅ 5 x = 0,1 ⋅ 103 x −1 ; 10 x = ( 0,1) ⋅ 103 x ; 102 ⋅ 10 x − 103 x = 0;222222102+ x = 103 x ; 2 + х = 3х2; 3х2 – х – 2 = 0; x1 = − , х2 = 1.32Ответ: − ; 1.34.70. 5 x −15 = 25x ; 5 x −15 = 52 x.х2 – 15 = 2х; х2 – 2х – 15 = 0; х1 = 5; х2 = -3.224.71.
0,15 x−8− x = 100; 10 xОтвет: 2; 3.22−5 x +8Ответ: -3; 5.= 102 ; х2 – 5х + 6 = 0; х1 = 2, х2 = 3.4.72. 3x −4 x = 243; 3x −4 x = 35 ; х2 – 4х – 5 = 0; х1 = -1, х2 = 5.Ответ: -1; 5.4.73. 4х – 3 ⋅ 2х = 4; 22х – 3 ⋅ 2х = 4. Пусть 2х = у, у > 0.у2 – 3у – 4 = 0; у1 = -1, у2 = 4. 2х = 4; 2х = 22, х = 2. Ответ: 2.4.74. 9х + 8 ⋅ 3х = 9; 32х + 8 ⋅ 3х = 9. Пусть 3х = t, t > 0.Тогда t2+8t – 9 = 0; t1=–9, t2=1. –9 не удовлетворяет условию t > 0.Ответ: 0.3х = 1, 3х = 30, х = 0.4.75. 22х+1 + 7 ⋅ 2х = 4; 2 ⋅ 22х + 7 ⋅ 2х = 4. Пусть 2х = у, у > 0.−7 ± 91, у1 = -4, y2 = .Тогда: 2у2+7у–4=0; D = 49 + 32 = 81; y =4212 x = , х = –1.Ответ: -1.2221654.76. 32х+1 – 8 ⋅ 3х = 3.3 ⋅ 32х- 8 ⋅ 3х – 3 = 0.
Пусть 3х = t, t > 0.D4±51Тогда: 3t – 8t – 3 = 0;= 16 + 9 = 25; t =; t1 = − , t2 = 3.433Ответ: 1.t > 0. 3х = 3, х = 1.4.77. 9х – 5 ⋅ 3х+1 + 54 = 0; 32х – 15 ⋅ 3х + 54 = 0; 3х = 6 или 3х = 9;x = log36 или х = 2. Ответ: 2; log36.4.78. 22х+1 – 7 ⋅ 2х + 3 = 0; 2 ⋅ 22х – 7 ⋅ 2х + 3 = 0. Пусть 2х = у, у > 0.7±51; y1 = , у2 = 3.Тогда: 2у2 – 7у + 3 = 0; D = 49 – 24 = 25; y =421Ответ: -1; log23.1) 2 x = , х = -1; 2) 2х = 3, х = log23.24.79.
4х + 2х = 12; 22х + 2х – 12 = 0. Пусть 2х = у, у > 0.Тогда у2 + у – 12 = 0; у1 = -4, у2 = 3; у > 0; 2х = 3; х = log23.Ответ: log23.24.80. 2 x2−1⋅ 5x2−1= 0,001(10 x+ 2 ) ;310 x −1 = 10−3 ⋅ 103 x+6 ; 10 x −1 = 103 x+3 ; х2 – 1 = 3х + 3;х2 – 3х – 4 = 0; х1 = -1, х2 = 4. Ответ: -1; 4.22224.81. 3x ≤ 81; 3x ≤ 34 ; т.к.
а = 3 > 1, то х2 ≤ 4; (х – 2)(х + 2) ≤ 0;–2 ≤ х ≤ 2. Ответ: [-2; 2].4.82. 27 x < 9 x −1 ; 33 x < 32 x2-+−2−2+12; 3х < 2x2 – 2;1⎞⎛2x2–3x–2 > 0; 2 ( x − 2 ) ⎜ x + ⎟ > 0.2⎠⎝21⎞⎛Ответ: ⎜ −∞; − ⎟ ∪ ( 2; ∞ ) . .2⎠⎝4.83. 10х – 8 ⋅ 5х ≥ 0; 2х ⋅ 5х – 8 ⋅ 5х ≥ 0; 5х(2х – 8) ≥ 0.Так как 5х>0, то 2х–8≥0; 2х ≥23; х ≥ 3 (т.к.
а = 2 > 1). Ответ: [3; ∞).4.84. 3х – 2 ⋅ 6х > 0; 3x(1 – 2 ⋅ 2x) > 0 | : 3x, (3x > 0);11 – 2 ⋅ 2x > 0; 2 x < ; x < -1, т.к. а = 2 > 1.Ответ: (-∞; -1).24.85.⎛1⎞⎜ ⎟⎝2⎠1 ⎛1⎞⋅⎜ ⎟2 ⎝2⎠2x1662 x −1⎛1⎞−⎜ ⎟⎝ 2⎠x −1> 0;xxx⎞⎛1⎞⎛ 1 ⎞ ⎛⎛ 1 ⎞⎛1⎞− 2 ⋅ ⎜ ⎟ > 0; ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ − 2 ⎟ > 0 |: ⎜ ⎟ > 0;⎟⎝ 2⎠⎝ 2 ⎠ ⎜⎝ ⎝ 2 ⎠⎝ 2⎠⎠x−1x1⎛1⎞ ⎛1⎞⎜ ⎟ > ⎜ ⎟ ; х < -1, т.к. a = < 1. Ответ: (-∞; -1).2⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠x4.86.1 ⎛1⎞ ⎛1⎞⋅⎜ ⎟ − ⎜ ⎟16 ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠x3 x+2< 0;3x1 ⎛1⎞1 ⎛1⎞⎛1⎞⋅ ⎜ ⎟ − ⋅ ⎜ ⎟ < 0 | :⎜ ⎟16 ⎝ 4 ⎠ 16 ⎝ 4 ⎠⎝ 4⎠2x2xx+2⎛1⎞> 0; 1 − ⎜ ⎟⎝ 4⎠2x< 0;0⎛1⎞⎛1⎞⎛1⎞Ответ: (-∞; 0).⎜ ⎟ > 1; ⎜ ⎟ > ⎜ ⎟ ; 2х < 0; x < 0.⎝4⎠⎝ 4⎠⎝ 4⎠х3-х4.87.
2 + 2 < 9;++22x – 9 ⋅ 2x + 8 < 0;(2x – 1)(2x – 8) < 0;81Ответ: 2.1 < 2x < 8; 0 < x < 3.4.88. 3х + 32-x < 10; 3x + 32 ⋅ 3-x – 10 < 0; 32x – 10 ⋅ 3x + 9 < 0;xxх(3 – 1)(3 – 9) < 0; 1 < 3 < 9 ⇒ 0 < х < 2Ответ: 14.89. log7(x2 – 2x – 8) = 1; log7(x2 – 2x – 8) = log77; x2 – 2х – 15 = 0;х1 = 5, х2 = -3.Ответ: 5; -3.4.90.
log 1 ( x 2 + 4 x − 5 ) = −4; log 1 ( x 2 + 4 x − 5 ) = log 1 16;222х2 + 4х – 5 = 16; х2 + 4х – 21 = 0; х = –7 или х = 3. Ответ: -7; 3.−1⎛1⎞x2 − 5x + 6 = ⎜ ⎟ ;⎝2⎠2х2 – 5х + 4 = 0; х = 1 или х = 4.Ответ: 1; 4.4.92. log2(x2 – 4x + 4) = 4; х2 – 4х + 4 = 24; х2 – 4х – 12 = 0;х1 = 6, х2 = –2.Ответ: -2; 6.4.93. log4(x2 + 2x – 8) < 2;⎧ x 2 + 2 x − 8 < 16,log4(x2 + 2x – 8) < log416. Так как 4 > 1, то ⎨ 2⎩ x + 2 x − 8 > 0;4.91. log 1 ( x 2 − 5 x + 6 ) = −1;⎧ x 2 + 2 x − 24 < 0, ⎧( x + 6)( x − 4) < 0,⎨ 2⎨⎩ x + 2 x − 8 > 0; ⎩( x + 4)( x − 2) > 0;(-6; -4) ∪ (2; 4).
Ответ: –5; 3.-6-4244.94. log 1 ( x 2 − 6 x + 8 ) ≥ −1;3log 1 ( x 2 − 6 x + 8) ≥ log 1 3.33167124⎧ x 2 − 6 x + 8 > 0, ⎧( x − 2 )( x − 4 ) > 0,⎨⎨ 2⎩ x − 6 x + 8 ≤ 3; ⎩( x − 1)( x − 5 ) ≤ 0;5{x < 2 или x > 4,1 ≤ x ≤ 5;[1; 2) ∪ (4; 5]. Ответ: 1; 5.4.95. log 1 ( x 2 + 7 x + 10 ) > −2;2-6-5-2log 1 ( x 2 + 7 x + 10 ) > log 1 4; 0 <-1221< 1;2{⎧( x + 1)( x + 6 ) < 0, x < −5; x > −2,⎨⎩( x + 2 )( x + 5 ) > 0; −6 < x < −1;(-6; -5) ∪ (-2; -1).Ответ: (-6; -5) ∪ (-2; -1).4.96.
log2(x2 – 13x + 30) < 3; log2(x2 – 13x + 30) < log28;⎧ x 2 − 13x + 30 < 8,2310 11т.к. 2 > 1;⎨ 2⎩ x − 13x + 30 > 0;⎧ x 2 + 7 x + 10 < 4,⎨ 2⎩ x + 7 x + 10 > 0;⎧ x 2 − 13x + 22 < 0, ⎧( x − 2 )( x − 11) < 0,⎨⎨ 2⎩ x − 13x + 30 > 0; ⎩( x − 3)( x − 10 ) > 0;Ответ: (2; 3) ∪ (10; 11).-+-1+3⎧2 < x < 11,⎪⎨ ⎡ x < 3,⎪⎩ ⎢⎣ x > 10;4.97. log3(x2 – 2x) > 1;⎧ x 2 − 2 x > 0,(т.к. а = 3 > 1);⎨ 2⎩x − 2x > 3х2 – 2х – 3 > 0;сс(х – 3)(х + 1) > 0, Ответ: (-∞; -1) ∪ (3; ∞).-+-4+34.98. log 1 ( x 2 + x − 3) < −2;3⎧ x 2 + x − 3 > 0, 2х + х – 12 > 0;⎨ 2⎩x + x − 3 > 9 ;(х+4)(х–3)>0; Ответ: (-∞;-4)∪(3;∞).4.99. log2(x2 – x – 2) ≥ 2;⎧ x 2 − x − 2 > 0,х2 – х – 6 ≥ 0; (х – 3)(х + 2) ≥ 0;⎨ 2⎩ x − x − 2 ≥ 4 ( a = 2 > 1) ;168-+-2+3Ответ: (-∞; 2] ∪ [3; ∞).4.100.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
