Алгебра и нач анализа_Реш экз зад 11кл из Сборн заданий для экз_Дорофеев_Решения (991497), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Пусть tg x = t.Имеем: t2 – 2t – 3 = 0; t1 = 3, t2 = -1.1) tg x = 3; x = arctg3 + πn, n ∈ Z;2) tg x = -1; x = −Ответ: −186π4π4+ π n, n ∈ Z .+ π n, arctg3 + πn, n ∈ Z.5.15.{y + sin x = 5,⋅ ( −2 ) ;4 y + 2sin x = 19.+{−2 y − 2sin x = −10,4 y + 2sin x = 19.2у = 9, у = 4,5. Тогда: 4,5 + sin x = 5; sin x = 0,5;x = ( −1)5.16.n{π6nπ⎛⎞+ π n, n ∈ Z . Ответ: ⎜ ( −1)+ π n; 4,5 ⎟ , n ∈ Z.6⎝⎠3 y + 2tgx = 4 ⋅3,2 y + 3tgx = 1 ⋅ ( −2 ) ;{9 y + 6tgx = 12,−4 y − 6tgx = −2.5у = 10; у = 2.
Решим уравнение:3 ⋅ 2 + 2tg x = 4; 2tg x = -2; tg x = -1; x = −π4+ π n, n ∈ Z .⎛ π⎞Ответ: ⎜ − + π n; 2 ⎟ , n ∈ Z.⎝ 4⎠1⎧⎪4 y + 3 cos x = − ,5.17. ⎨2⎩⎪28 y + 4 3 cos x = 1;⋅ ( −4 )⎧⎪−16 y − 4 3 cos x = 2,+⎨⎪⎩28 y + 4 3 cos x = 1;1y= .433 cos x = − ;212у = 3;4⋅111+ 3 cos x = − ; 1 + 3 cos x = − ;422cos x = −3π⎞5π⎛; x = ± ⎜ π − ⎟ + 2π n, n ∈ Z ; x = ±+ 2π n, n ∈ Z .26⎠6⎝1⎞⎛ 5πОтвет: ⎜ ±+ 2π n; ⎟ , n ∈ Z.4⎠⎝ 6⎧2 3 sin x − 8 y = −1,⎪5.18. ⎨1⎪⎩ 3 sin x − 7 y = 4 ;⋅ ( −2 )⎧2 3 sin x − 8 y = −1,⎪+⎨1−2 3 sin x + 14 y = − ;2⎩⎪316y = − ; y = − .243⎛ 1⎞2 3 sin x − 8 ⋅ ⎜ − ⎟ = −1; 2 3 sin x = −3; sin x = −;2⎝ 4⎠x = ( −1)n +1π31⎞n +1 π⎛+ π n, n ∈ Z .
Ответ: ⎜ ( −1)+ π n; − ⎟ , n ∈ Z.34⎠⎝1875.19. cos x < x2 + 1; -1 ≤ cos x ≤ 1, x2+1 ≥ 1. Ответ: (-∞; 0) ∪ (0; ∞).5.20. –1 ≤ cos x ≤ 1, 1 + |x|≥ 1 при всех значениях х. Ответ: (-∞; ∞).5.21. cos x≤1+3x; -1≤cos x ≤ 1, 1 + 3x > 1 при x ∈ R. Ответ: (-∞; ∞).5.22. cos x ≥ x2 + 1; -1 ≤ cos x ≤ 1, х2 + 1 ≥ 1.
Данное неравенствовыполняется только при х = 0. Ответ: 0.5.23. cos x ≥ 1 + |x|; -1 ≤ cos x ≤ 1, 1 + |x| ≥ 1. Значит, данному неравенству удовлетворяет только х = 0. Ответ: 0.5.24. cos x ≥ 1 + 2x; -1 ≤ cos x ≤ 1, 1 + 2х > 1. Значит, данное неравенство решений не имеет. Ответ: решений нет.111; -1 ≤ cos x ≤ 1, 1 +≥ 1 при5.25. cos x < 1 +2 − sin 2 x2 − sin 2 x2всех значениях х. Ответ: (-∞; ∞).11; -1 ≤ cos x ≤ 1, 1 +5.26. cos x > 1 +> 1 при всех зна1 + x41 + x4чениях х. Ответ: нет решений.Иррациональные уравнения5.27.(2x − 3x + 1 − x2 − 3x + 2 = 0;22 x 2 − 3x + 12) =(2)2 x 2 − 3 x + 1 = x 2 − 3 x + 2.2x 2 − 3x + 2 ; 2х2 – 3х + 1 = х2 – 3х + 2;х = 1; х1 = -1, х2 = 1. х = -1х − 3х + 2 = 1 + 3 + 2 = 6 ;2при х = 1 х 2 − 3х + 2 = 1 − 3 + 2 = 0 ≥ 0 .5.28.
3x 2 − 4 x − 2 = 2 x 2 − 2 x + 1;х2 – 2х – 3 = 0; х1 = 3, х2 = -1;Ответ: -1; 1.3х2 – 4х – 2 = 2х2 – 2х + 1;при х = 3 2 х 2 − 2 х + 1 = 18 − 6 + 1 = 13 > 0 ;при х = -1 2 x 2 − 2 x + 1 = 2 + 2 + 1 = 5 > 0 .Ответ: -1; 3.5.29. 3x 2 − 2 x − 2 = 4 x 2 − 5 x ;3х2 – 2х – 2 = 4х2 – 5х; х2 – 3х + 2 = 0; х1 = 2, х2 = 1при х = 2 4 x 2 − 5 x = 16 − 10 = 6 > 0 ;при х = 1 4 x 2 − 5 x = 4 − 5 = −1 < 0 ;Ответ: 2.5.30. 3x 2 − 2 x + 1 = 2 x 2 − 6 x + 13;3х2 – 2х + 1 = 2х2 – 6х + 13; х2 + 4х – 12 = 0; х1 = -6; х2 = 21) при х = -6 ; 2 x 2 − 6 x + 13 = 72 + 36 + 13 = 121 < 0 ;1882) при х = 2 ; 2 х 2 − 6 х + 13 = 8 − 12 + 13 = 9 > 0 3 = 3.
Ответ: 2.5.31. 2 x 2 − 5 x + 1 = x 2 − 2 x − 1;2х2 – 5х + 1 = х2 – 2х – 1; х2 – 3х + 2 = 0; х1 = 2, х2 = 1.При х = 2 и при х = 1 получим отрицательные подкоренные выражения. Ответ: корней нет.5.32. 3x 2 − 4 x − 1 = 2 x 2 − 5 x − 3; 3х2 – 4х – 1 = 2х2 – 5х – 3;х2 + х + 2 = 0; D = 1 – 8 < 0 – решений нет. Ответ: решений нет.5.33. x 2 − x + 3 = 3x 2 − 5 x + 6; х2 – х + 3 = 3х2 – 5х + 6;2х2–4х+3=0. D = 16 – 24 < 0 – решений нет. Ответ: решений нет.5.34. x 2 − 2 x − 4 = 2 x 2 − 6 x − 1; х2 – 2х – 4 = 2х2 – 6х – 1;х2 – 4х + 3 = 0; х1 = 1, х2 = 3. При х = 1 и х = 3 получим отрицательные значения подкоренных выражений.
Ответ: решений нет.2⎧⎪⎧9 x 2 + 6 x + 1 − 1 + x = 0,5.35. 3 x + 1 = 1 − x ; ⎨( 3 x + 1) = 1 − x, ⎨⎩3 x ≥ −1;⎩⎪3 x + 1 ≥ 0;⎧9 x 2 + 7 x = 0,⎪1⎨⎪⎩ x ≥ − 3 ;7⎧x = 0, x2 = − ,⎪ 19 х = 0.⎨⎪x ≥ − 1 ;⎪⎩3Ответ: 0.5.36. 8 − 3x = x + 2;⎧9 x 2 − 49 x + 62 = 0,⎪8⎨⎪⎩ x ≤ 3 .Решим уравнение: 9х2 – 49х + 62 = 0, D = 2401 – 2232 = 169 > 0,48x1 = 3 , х2 = 2. Условию x ≤ удовлетворяет х = 2. Ответ: 2.39⎧⎪( 8 − 3x )2 = x + 2, ⎧64 − 48 x + 9 x 2 = x + 2,⎨⎨⎩−3 x ≥ −8;⎩⎪8 − 3x ≥ 0;5.37. 8 − 2 x = x + 1;⎧⎪( 8 − 2 x )2 = x + 1, ⎧64 − 32 x + 4 x 2 = x + 1, ⎧4 x 2 − 33x + 63 = 0,⎨⎨⎨⎩−2 x ≥ −8;⎩ x ≤ 4.⎩⎪8 − 2 x ≥ 0;D = 1089 – 1008 = 81 > 0; x1 =33 − 933 + 9, x2 =;881х1 = 3, x2 = 5 .
Условию х ≤ 4 удовлетворяет х = 3. Ответ: 3.41895.38. x − 2 = 2 − x ; ( x − 2)2 = ( 2 − x )2 , х2 – 4х + 4 = 2 – х;х2 – 3х + 2 = 0; х1 = 1, х2 = 2;при х = 1 1 − 2 ≠ 2 − 1; при х = 2 2 − 2 = 2 − 2. Ответ: 2.5.39.4 − 6 x − x 2 = x + 4; 4 – 6х – х2 = (х + 4)2; 2х2 + 14х + 12 = 0;х + 7х + 6 = 0; х1 = -1, х2 = -6. 1) при х = -1 х + 4 > 0;2) при х = -6; х + 4 < 0 т.е.
решений нет. Ответ: -1.25.40.8 − 6 x − x 2 − x = 6;8 − 6 x − x 2 = 6 + x;⎧8 − 6 x − x = 36 + 12 x + x , ⎧2 x 2 + 18 x + 28 = 0,⎨⎨⎩6 + x ≥ 0;⎩ x ≥ −6;22⎧ x 2 + 9 x + 14 = 0,⎨⎩ x ≥ −6;{x1 = −2, x2 = −7,Ответ: -2.x ≥ −6.5.41. 6 − 4 x − x 2 = x + 4; 6 – 4х – х2 = х2 + 8х + 16;2х2 + 12х + 10 = 0; х2 + 6х + 5 = 0; х1 = -1; х2 = -5при х = -1; х + 4 > 0; при х = -5; х + 4 < 0 , т.е. решений нет.Ответ: -1.5.42.1 + 4 x − x 2 = x − 1;⎧1 + 4 x − x 2 = x 2 − 2 x + 1, ⎧2 x 2 − 6 x = 0, ⎧ x 2 − 3 x = 0,⎨⎨⎨⎩ x − 1 ≥ 0;⎩ x ≥ 1;⎩ x ≥ 1;⎧ x ( x − 3) = 0,⎨⎩ x ≥ 1;5.43.{x = 0, x − 3 = 0,х = 3.x ≥ 1;Ответ: 3.3x 2 − 4 x + 2 = 2 x − 3;⎧3 x 2 − 4 x + 2 = 4 x 2 − 12 x + 9,⎨⎩2 x − 3 ≥ 0;⎧ x 2 − 8 x + 7 = 0,⎪3⎨⎪⎩ x ≥ 2 ;⎧ x = 1, x = 7,⎪⎨x ≥ 3 ;⎪⎩2х = 7.
Ответ: 7.5.44.4 + 2 x − x 2 = x − 2;⎧4 + 2 x − x 2 = x 2 − 4 x + 4, ⎧2 x 2 − 6 x = 0,⎨⎨⎩ x − 2 ≥ 0;⎩ x ≥ 2;⎧ ⎡ x = 0,⎧2 x ( x − 3) = 0, ⎪ ⎢⎨⎨ ⎣ x = 3. Значит, х = 3.⎩ x ≥ 2;⎪⎩ x ≥ 2.190Ответ: 3.5.45. 2 x + 5 = x + 2;()⎧⎪ 2 x + 5 2 = x + 2 2 , ⎧4 ( x + 5 ) = x 2 + 4 x + 4,() ⎨⎨⎩ x ≥ −2;⎪⎩ x + 2 ≥ 0;⎧ ⎡ x = −4,⎪⎨ ⎢⎣ x = 4,⎪⎩ x ≥ −2.⎧4 x + 20 = x 2 + 4 x + 4, ⎧ x 2 = 16,⎨⎨⎩ x ≥ −2;⎩ x ≥ −2;5.46.(2⎪⎧2 x2 + 8 = 2x + 1; ⎨ 2 x + 8⎩⎪2 x + 1 ≥ 0;)2Ответ: 4.222= ( 2x + 1) , ⎪⎧4 ( x + 8) = 4x + 4x + 1,⎨⎪⎩2x ≥ −1;31⎧⎧ 4 x = 31, ⎪ x = ,⎪41⎨x ≥ − ; ⎨1⎪⎩2 ⎪x ≥ − .2⎩⎧ 4 x 2 + 32 = 4 x 2 + 4 x + 1,⎪1⎨⎪⎩ x ≥ − 2 ;(⎧⎪5.47.
4 x + 6 = x + 1; ⎨ 4 x + 6⎪⎩ x + 1 ≥ 0;)2Ответ: 7,75= ( x + 1) ,2⎧ ⎡ x = −5,⎧16 x + 96 = x 2 + 2 x + 1, ⎧ x 2 − 14 x − 95 = 0, ⎪ ⎢⎨⎨ ⎣ x = 19, Ответ: 19.⎨⎩ x ≥ −1;⎩ x ≥ −1;⎪⎩ x ≥ −1.(⎧⎪25.48. 2 5 − x 2 = x − 1; ⎨ 2 5 − x⎩⎪ x − 1 ≥ 0;)2= ( x − 1) ,2⎪⎧4 ( 5 − x 2 ) = x 2 − 2 x + 1, ⎧5 x 2 − 2 x − 19 = 0,⎨⎨⎩ x ≥ 1.⎪⎩ x ≥ 1;D= 1 + 95 = 96 > 0;4х1 < 1, х2 > 1.
Ответ:96 = 4 6. x1 =1− 4 61+ 4 6, x2 =,551+ 4 6.5⎧⎪ x + 3 y + 6 = 2,5.49. ⎨⎪⎩ 2 x − y + 2 = 1.{x + 3 y + 6 = 4,2 x − y + 2 = 1;{x + 3 y = −2,2 x − y = −1.191+{x + 3 y = −2,6 x − 3 y = −3;7х = -5;у = 2х + 1 = 1 −103=− .775 9⎛ 5⎞ 9Проверка: 1) − − + 6 > 0. 2) 2 ⋅ ⎜ − ⎟ + + 2 > 0.7 7⎝ 7⎠ 73⎞⎛ 5Ответ: ⎜ − ; − ⎟ .7⎠⎝ 7{⎪⎧ x + y − 3 = 1,5.50. ⎨⎪⎩ 3x − 2 y + 1 = 2.+x + y − 3 = 1,3x − 2 y + 1 = 4;{x + y = 4,3x − 2 y = 3.{2 x + 2 y = 8,3x − 2 y = 3;5х = 11;x=11.511 9+ − 3 = 4 − 3 = 1,5 59119y = 4 − x = .
x = , y = : 1)5552)3⋅119⎛ 1 4⎞− 2 ⋅ + 1 = 3 + 1 = 2, Ответ: ⎜ 2 ; 1 ⎟ .55⎝ 5 5⎠{⎪⎧ 2 x − 3 y + 2 = 3, 2 x − 3 y + 2 = 9,5.51. ⎨⎪⎩ 3x + 2 y − 5 = 2. 3x + 2 y − 5 = 4;{824 x − 6 y = 14,−72 x − 7 133412 x − 3 y = 7, ⋅2 +9 x + 6 y = 27; x = . y ===− .3x + 2 y = 9; ⋅333131313x = 41;{2)123 63⎞⎛ 2− − 5 = 9 − 5 = 2. Ответ: ⎜ 3 ; − ⎟ .13 1313 ⎠⎝ 13⎪⎧ 3 y − 2 x − 2 = 1,5.52. ⎨⎪⎩ 4 x − 2 y + 3 = 2.{3 y − 2 x − 2 = 1,4 x − 2 y + 3 = 4;192{3 y − 2 x = 3,4 x − 2 y = 1;{−2 x + 3 y = 3, ⋅24 x − 2 y = 1;{−4 x + 6 y = 6,4 x − 2 y = 1;2y +1 9; x== ;4874 y = 7; ⇒ y =497при x = ; y = имеем:84+1)3⋅9x= ;87921 9− 2⋅ − 2 =− − 2 = 3 − 2 = 1,484 4979 7⎛ 1 3⎞− 2⋅ +3 =− + 3 = 1 + 3 = 2. Ответ: ⎜ 1 ; 1 ⎟ .842 2⎝ 8 4⎠115.53.
y = x + 5 и y = 1 − 2 x . 1 − 2 x = x + 5.222)4⋅2⎧2⎛1⎞⎪⎪ 1 − 2 x = ⎜ x + 5 ⎟ ,2⎝⎠⎨⎪ 1 x + 5 ≥ 0;⎪⎩ 2()⎧1 2⎪ x + 7 x + 24 = 0,⎨4⎩⎪ x ≥ −10;{1 2⎧⎪1 − 2 x = 4 x + 5 x + 25,⎨1⎪ x ≥ −5;⎩2x1 = −4, x2 = −24,x ≥ −10;y=1⋅ ( −4 ) + 5;2Ответ: х = -4, у = 3.5.54. у = 2х – 7 и y = 2 x − 1. 2 x − 7 = 2 x − 1;⎧⎪ 2 x − 7 2 =()⎨⎪⎩2 x − 7 ≥ 0;()22 x − 1 , ⎧4 x 2 − 28 x + 49 = 2 x − 1,⎨⎩2 x ≥ 7;⎧4 x 2 − 30 x + 50 = 0,⎪⎧2 x 2 − 15 x + 25 = 0,7⎨⎨⎩ x ≥ 3,5;⎪⎩ x ≥ 2 ;х = 5. Тогда у = 2 ⋅ 5 – 7 = 3.Ответ: х = 5, у = 3.{x1 = 2,5; x2 = 5,x ≥ 3,5.5.55.
у = 1 – 4х и y = 2 x + 1. 1 − 4 x = 2 x + 1;⎧⎪ 1 − 4 x 2 =()⎨⎪⎩1 − 4 x ≥ 0;()22 x + 1 , ⎧1 − 8 x + 16 x 2 = 2 x + 1,⎨⎩−4 x ≥ −1;1935⎧x = 0, x2 = ,⎪ 18 Значит, х = 0. Тогда у = 1.⎨⎪x ≤ 1 .⎪⎩4⎧16 x 2 − 10 x = 0,⎪1⎨⎪⎩ x ≤ 4 ;Ответ: (0; 1).5.56. у = -1 – 2х и y = 2 x + 3.(y = 2 x + 3 = −1 − 2 x.)⎧⎪ 2 x + 3 2 = −1 − 2 x 2 , ⎧2 x + 3 = 1 + 4 x + 4 x 2 ,() ⎨⎨⎩−2 x ≥ 1;⎪⎩−1 − 2 x ≥ 0;⎧4 x 2 + 2 x − 2 = 0,⎪1⎨x≤− ;⎩⎪2⎧2 x 2 + x − 1 = 0,⎪1⎨x≤− .⎩⎪22х2 + х – 1 = 0; D = 1 + 8 = 9 > 0, x1 =x2 =−1 − 3, х1 = -1;4−1 + 31, x2 = .
у = -1 – 2 ⋅ (-1) = -1 + 2 = 1. Ответ: (-1; 1).42Степени и логарифмыx3x − 8 ⋅ 3 25.57.у1 = 3, у2 = 5.x+ 15 = 0. Пусть 3 2 = y, у > 0. Имеем: у2–8у+15 = 0,xxxx= 1, х = 2; 2) 3 2 = 5,= log 3 5, х = 2log35, x = log325.22Ответ: 2; log325.1) 3 2 = 3,xТогда: 3у2 – 2у – 1 = 0;xx2 2 = 1; 2 2 = 20 ;xx+15.58.
3 ⋅ 2 x − 2 2 = 1;3 ⋅ 2 x − 2 ⋅ 2 2 = 1. Пусть 2 2 = y, у > 0.D1± 21= 1 + 3 = 4; y =; у1 = 1, y2 = − ;343x= 0; х = 0.2Ответ: 0.xx⎛ 25 ⎞⎛5⎞5.59. 3 ⋅ 25х – 8 ⋅ 15х + 5 ⋅ 9х = 0; 3 ⋅ ⎜ ⎟ − 8 ⋅ ⎜ ⎟ + 5 = 0;⎝ 9 ⎠⎝ 3⎠⎛5⎞3⋅⎜ ⎟⎝3⎠1942xxx⎛5⎞⎛5⎞− 8 ⋅ ⎜ ⎟ + 5 = 0. Пусть ⎜ ⎟ = y, у > 0. Тогда:⎝3⎠⎝ 3⎠3у2 – 8у + 5 = 0;D4 ±15= 16 − 15 = 1; y =; у1 = 1, y2 = .433xx5⎛5⎞⎛5⎞1) ⎜ ⎟ = 1; х = 0; 2) ⎜ ⎟ = ; х = 1.3⎝ 3⎠⎝3⎠5.60. 9х + 4х = 2,5 ⋅ 6х; 32 x + 22 x =Ответ: 0; 1.5 x x⎛2⎞⋅3 ⋅ 2 . 1+ ⎜ ⎟2⎝3⎠2xx=5 ⎛ 2⎞⋅⎜ ⎟ .2 ⎝ 3⎠x5⎛2⎞Пусть ⎜ ⎟ = y, у > 0. Тогда: y 2 − y + 1 = 0; 2у2 – 5у + 2 = 0;2⎝3⎠xD=25 – 16 = 9, y =5±31⎛2⎞; у1 = 2; y2 = . 1) ⎜ ⎟ = 2, x = log 2 2;42⎝3⎠3x111⎛2⎞2) ⎜ ⎟ = , x = log 2 . Ответ: log 2 2; log 2 .222⎝3⎠3335.61.
9х + 4х+1,5 = 6х+1; 32х + 41,5 ⋅ 22х = 6 ⋅ 2х ⋅ 3х.⎛2⎞1+ 8⋅⎜ ⎟⎝3⎠2xxx⎛ 2⎞⎛2⎞− 6 ⋅ ⎜ ⎟ = 0. Пусть ⎜ ⎟ = t , t > 0. Тогда:⎝3⎠⎝ 3⎠D3±1112= 9 − 8 = 1; y =; y1 = , y2 = .8t – 6t + 1 = 0;4824xx1111⎛2⎞⎛2⎞1) ⎜ ⎟ = , x = log 2 ; 2) ⎜ ⎟ = , x = log 2 .2244⎝3⎠⎝3⎠3311Ответ: log 2 ; log 2 .24335.62. 4х+1 – 6х – 2 ⋅ 9х+1 = 0; 4 ⋅ 22х – 2х ⋅ 3х – 2 ⋅ 9 ⋅ 32х = 0.⎛2⎞4⋅⎜ ⎟⎝3⎠Тогда:2xxx⎛ 2⎞⎛2⎞− ⎜ ⎟ − 18 = 0.
Пусть ⎜ ⎟ = y, у > 0.⎝3⎠⎝ 3⎠4у2 – у – 18 = 0; D = 1 + 288 = 289.x−2x1 ± 1799 ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞⎛2⎞; y1 = , у2 = -2. ⎜ ⎟ = ; ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ; х = -2844 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠⎝3⎠Ответ: -2.y=5.63. 323( x −8) = 819(2 x − x ) ; (25 )3( x −8) = (23 )19(2x−x ) ; 215( x −8) = 257(2 x−x ) ;15(х2 – 8) = 57(2х – х2); 15х2 – 120 – 114х + 57х2 = 0;72х2 – 114х – 120 = 0 | : 6; 12х2 – 19х – 20 = 0;222222195D = 361 + 960 = 1321; x =19 ± 132119 ± 1321. Ответ:.24245.64.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
