Алгебра и нач анализа_Реш экз зад 11кл из Сборн заданий для экз_Дорофеев_Решения (991497), страница 17
Текст из файла (страница 17)
y = sin x, x0 = π; y’ = cos x, y’(π) = cos π = -1, y(π) = sin π = 0;y = 0 – 1(x - π), y = π - х.Ответ: у = -х + π.1784.168. y = x , у0 = 2. Тогда х0 = 4;111, y ' ( 4 ) = , у(4) = 2. y = 2 + ( x − 4 ) , у = 1 + 0,25х.442 xОтвет: у = 0,25х + 1.324.169. у = 4х , у = 12х – 10; y’ = 12х . у = 12х – 10, то k = 12;12х2 = 12; х = ±1. 12 ⋅ 1 – 10 ≠ 4 ⋅ 13; 12 ⋅ (–1) – 10 ≠ 4 ⋅ (–1)3,значит не является.Ответ: не является.4.170.
у = х + 1, у = ех; у = ех, y' = ех.Так как уравнение прямой у = х + 1, то k = 1, значит, ех = 1, х = 0.Уравнение касательной к функции у = ех в точке х = 0 : у =х + 1Ответ: является.4.171. y = sin x, y = x; y = sin x, y’ = cos x.Так как уравнение прямой у = х, то k = 1, значит, cos x = 1,х = 0 – абсцисса возможной точки касания.у = х, у(0) = 0; у = sin x, y(0) = 0.Так как 0 = 0, то точка (0; 0) является точкой касания прямойу = х и графика функции у = sin x.
Ответ: является.111. Так как уравнение прямой y = x + ,4.172. y = x , y ' =222 xy' =то1k= ,2значит,11= ;2 x 2х = 1. Составим уравнениекасательной к графику функции y = x в точке с абсциссой 1:111( x − 1) , y = x + . Ответ: является.2224.173. у = х3; х0 = 1. y’ = 3x2, у(1) = 1, y’(1) = 3. у = 1 + 3(х – 1),2у = 3х – 2, Тогда 3х = 3; х2 = 1; х1 = 1, х2 = -1; у1 = 1, у2 = -1.Ответ: у = 3х – 2; (-1; -1).444.174. y = , х0 = 2; y ' = − 2 , y’(2) = -1, у(2) = 2.xxУравнение касательной: у = 2 – 1(х – 2), у = 4 – х, значит, k = -1.4Тогда − 2 = −1; х=±2, у(-2)=-2, у(2) = 2. Ответ: у = 4 – х, (-2; -2).xy =1+4.175.
y = 1 + cos x, x0 =π2⎛π ⎞⎛π ⎞; y’ = -sin x, y ' ⎜ ⎟ = −1, y ⎜ ⎟ = 1.⎝2⎠⎝2⎠π⎞π⎛Уравнения касательной: y = 1 − ⎜ x − ⎟ , y = 1 + − x; k = -1;22⎠⎝179⎛π⎞+ 2π n, n ∈ Z , y0 ⎜ + 2π n ⎟ = 1.⎝2⎠ππОтвет: y = 1 + − x; x0 = + 2π n, у0 = 1, n ∈ Z.22π4.176. у = х + sin x; x0 = − ; y’ = 1 + cos x;2sin x0 = -1; x0 =π2π⎛ π⎞⎛ π⎞y ' ⎜ − ⎟ = 1, y ⎜ − ⎟ = − − 1.2⎝ 2⎠⎝ 2⎠y=−ππ⎞⎛− 1 + 1⎜ x + ⎟ ,22⎠⎝у = х – 1; k = 1; 1 + cos x0 = 1; cos x0 = 0; x0 =π+ π n, n ∈ Z .2⎡ ⎛π⎞ π⎢ y ⎜ 2 + π n ⎟ = 2 + π n + 1, n ∈ Z - четное,⎠⎢ ⎝⎢ y ⎛ π + π n ⎞ = π + π n − 1, n ∈ Z - нечетное.⎜⎟⎢⎠ 2⎣ ⎝2ππ+ π n, y0 = ( −1) + + π n, n ∈ Z .22-2х4.177. у = х + е ; у = -х; y’ = 1 – 2е-2х.Так как касательная параллельна прямой у = -х, то k = -1.Ответ: у = х – 1, x0 =n1 − 2e−2 x0 = −1; e−2 x0 = 1; х0 = 0; y’(0) = -1, у(0) = 1.у = 1 – 1(х – 0), у = 1 – х.Ответ: у = 1 – х.124.178.
y = x − 2 , у = 3х; y ' = 1 + 3 .; у ( х0 ) = 3;xx21 + 3 = 3, ⇒ х0 = 1,; у(1) = 0, значит уравнение касательной:x0у = 0 + 3(х – 1).Ответ: у = 3х – 3.14.179. y = 2x – ln x, y = x; y ' = 2 − .xТак как касательная параллельна прямой у = х, то k = 1.12 − = 1; х0 = 1; y’(1) = 1, у(1) = 2. у = 2 + 1(х – 1), у = х + 1.x0Ответ: у = х + 1.14.180. y = 2 x + x; у = 2х; y ' =+ 1.xТак как касательная параллельна прямой у = 2х, то k = 2.1801+ 1 = 2; х0 = 1; y’(1) = 2, у(1) = 3.x0у = 3 + 2(х – 1), у = 2х + 1.Ответ: у = 2х + 1.4.181. у = х2 – 5х; у = -х; y’ = 2х – 5. Так как у = -х, то k = -1;2х0 – 5 = -1; х0 = 2; у0 = 22 – 5 ⋅ 2 = -6.
Ответ: (2; -6).1. Так как у = х, то k = 1;4.182. y = x , у = х; y ' =2 x11 1= 1; х0 = 0,25; y0 == . Ответ: (0,25; 0,5).4 22 x04.183. у = х3 – 3х + 1; y’ = 3х2 – 3. Так как у = 0, то k = 0.3х02 – 3 = 0; х0 = ±1, у01 = (-1)3 – 3 ⋅ (-1) + 1 = 3, у02 = -1.Ответ: (-1; 3); (1; -1).114.184. y = , y ' = − 2 . у = -х, k = -1;xx1− 2 = −1; х0 = ±1, у01 = -1, у02 = 1. Ответ: (-1; -1); (1; 1).x04.185. у = –х4 + 4х2 – 3;y,++y’ = –4х3 + 8х = 4х(2 – х2).y’ = 0 при х = 0 или x = ± 2.
0;± 2 - критические точки.y− 22(Ответ: возрастает на −∞; − 2 ⎤⎦ и ⎡⎣0; 2 ⎤⎦ ; убывает - ⎡⎣ − 2;0 ⎤⎦)и ⎡⎣ 2; ∞ .y, +4.186. у = ех – х; y’ = ех – 1; y’ = 0 при х = 0.Ответ: возрастает на [0; ∞),0yубывает на (-∞; 0].4.187. y = cos x + 2x; D(y) = R.y’ = -sin x + 2 > 0, т.е. возрастает. Ответ: возрастает на (-∞; ∞).14.188. y = x + ;xy ,++D(y) = (-∞; 0) ∪ (0; ∞);1-101y' =1− 2 .yxy’(x) = 0 при х = ±1.Ответ: возрастает на (-∞; -1] и [1; ∞); убывает на [-1; 0) и (0; 1].18114.189.
y = ln x + ; D(y) = (0; ∞);x,1 1 x −1yy' = − 2 = 2 .+x xxy 0Ответ: возрастает на [1; ∞),1убывает на (0; 1].2x4.190. y = x ;ey, +D(y) = R;2e x − e x ⋅ 2 x 2 (1 − x )y' =y=.1e2 xexОтвет: возрастает на (-∞; 1]; убывает на [1; ∞).4.191. y = 2xex; D(y) = R;y, y’ = 2(ex + xex) = 2ex(1 + x); y’ = 0.+Ответ: возрастает на [-1; ∞);y-1убывает на (-∞; -1].4.192. y = 0,5x + sin x; y’ = 0,5 + cos x; y’ = 0; cos x = -0,5.Промежутки возрастания функции у = 0,5х + sin x:2π⎡ 2π⎤⎢ − 3 + 2π k ; 3 + 2π k ⎥ , k ∈ Z.⎣⎦4π⎡ 2π⎤+ 2π k ;+ 2π k ⎥ , k ∈ Z.Промежутки убывания: ⎢3⎣ 3⎦2π⎡ 2π⎤Ответ: возрастает на ⎢ −+ 2π k ;+ 2π k ⎥ ,3⎣ 3⎦4π⎡ 2π⎤+ 2π k ;+ 2π k ⎥ , k ∈ Z.убывает на ⎢3⎣ 3⎦4.193. у = 2х3 – 3х2 – 12х + 1, [4; 5]; y’ = 6х2 – 6х – 12;y’ = 0: х2 – х – 2 = 0; х = -1, х = 2.
у(4) = 33; у(5) = 116.Ответ: min y = 33, max y = 116.[ 4;5][ 4;5]4.194. у = 2х3 – 15х2 + 24х + 3, [2; 3]; y’ = 6х2 – 30х + 24;y’ = 0: х2 – 5х + 4 = 0; х = 1, х = 4. у(2) = 7; у(3) = -6.Ответ: min y = −6, max y = 7.[ 2;3][ 2;3]4.195. у = 2х3 + 3х2 – 12х – 1, [-1; 2]; y’ = 6x2 + 6x – 12;y’ = 0: х2 + х – 2 = 0; х = 1, х = -2182у(-1) = 12; у(1) = -8; у(2) = 3.Ответ: min y = −8, max y = 12.[ −1;2][ −1;2]4.196.
у = –х3 – 3х2 + 9х – 2, [-2; 2]; y’ = -3х2 – 6х + 9;y’ = 0: х2 + 2х – 3 = 0; х = -3; х = 1. у(-2) = -24; у(1) = 3; у(2) = -4.Ответ: min y = −24, max y = 3.[ −2;2][ −2;2]4.197. у = 2х3 + 3х2 + 2, [-2; 1]; y’ = 6х2 + 6х;y’ = 0: х2 + х = 0; х = 0, х = -1. у(-2) = -2; у(-1) = 3; у(0)= 2; у(1) = 7.Ответ: min y = −2, max y = 7.[ −2;1][ −2;1]4.198. у = -х3 + 3х2 + 4, [-3; 3]; y’ = -3х2 + 6х;y’ = 0: х2 – 2х = 0; х = 0, х = 2. у(-3) = 58; у(0) = 4; у(2) = 8; у(3) = 4.Ответ: min y = 4, max y = 58.[ −3;3][ −3;3]4.199. у = 2х3 – 9х2 – 3, [-1; 4]; y’ = 6х2 – 18х; y’ = 0: х2 – 3х = 0;х = 0, х = 3.
у(-1) = -14; у(0) = -3; у(3) = -30; у(4) = -19.Ответ: min y = −30, max y = −3.[ −1;4][ −1;4]4.200. у=х3–3х2–9х–4, [-4; 4]; y’=3х2 – 6х – 9; y’ = 0: х2 – 2х – 3 = 0;х = 3, х = -1; у(-4) = -80; у(-1) = 1; у(3) = -31; у(4) = -24.Ответ: min y = −80, max y = 1.[ −4;4][ −4;4]183Раздел 5. Задание 8 для экзамена«Алгебра и начала анализа»Тригонометрияxxxx= cos x, cos x + sin = 0;2sin 2 − sin − 1 = 0.2222xПусть sin = t. Имеем: 2t2 – t – 1 = 0.
D = 1 + 8 = 9;21± 31t1,2 =, t1 = 1; t2 = − .42xx π= + 2π n, n ∈ Z ; x = π + 4πn, n ∈ Z.1) sin = 1,22 2x1xn +1 π= ( −1)+ π n, n ∈ Z ;2) sin = − ,26225.1. − sinx = ( −1)ππ+ 2π n, n ∈ Z . Ответ: π + 4πn, ( −1)+ 2π n, n ∈ Z .33xxxxcos + 2cos2 − 1 = 0; 2cos2 + cos − 1 = 0.5.2.2222xПусть cos = t.
Тогда: 2t2 + t – 1 = 0. D = 1 + 8 = 9 > 0.2−1 ± 31t1,2 =, t1 = -1, t2 = .42xx= π + 2π n, n ∈ Z ; x = 2π + 4πn, n ∈ Z;1) cos = −1,22x 1xπ2π2) cos = ,= ± + 2π n, n ∈ Z ; x = ±+ 4π n, n ∈ Z .2 22332πОтвет: 2π + 4πn, ±+ 4π n, n ∈ Z .35.3. 3cos2x = 4 – 11cos x; 3(2cos2x – 1) – 4 + 11cos x = 0;6cos2x – 3 – 4 + 11cos x = 0; 6cos2x + 11cos x – 7 = 0.Пусть cos x = t.
Тогда 6t2 + 11t – 7 = 0; D = 121 + 168 = 289 > 0,−11 ± 1771t1,2 =; t1 = − ; t2 = .1232184n +1n +171) cos x = − ; решений нет, т.к. |cos x| ≤ 1;31ππ2) cos x = , x = ± + 2π n, n ∈ Z . Ответ: ± + 2π n, n ∈ Z .3325.4. cos26x – sin23x – 1 = 0. (1 – 2sin23x)2 – sin23x – 1 = 0,1 – 4sin23x + 4sin4 3x – sin23x – 1 = 0; 4sin43x – 5sin23x = 0;sin23x(4sin23x – 5) = 0; 4sin23x – 5 ≠ 0. Значит, sin23x = 0; sin3x = 0;πnπn, n ∈ Z.Ответ:, n ∈ Z.3x = πn, n ∈ Z; x =3311> 1 при всех зна; –1 ≤ sin x ≤ 1, a 1 + 25.5.
sin x = 1 + 2x +1x +1чениях х. Ответ: решений нет.5.6. cos x = x2 + 1; Т.к. –1 ≤ cos x ≤ 1, а х2 + 1 ≥ 1 при всех значениях х, то cos x = x2 + 1 при одновременном выполнении двух условий: cos x = 1 и х2 + 1 = 1. х2 + 1 = 1 при х = 0.Если х = 0, то cos x = cos 0 = 1. Ответ: 0.5.7. cos x = 1 + |x|; Т.к. –1 ≤ cos x ≤ 1, а 1 + |x| ≥ 1 при всех значениях х, то cos x = 1 + |x| при одновременно выполнении двух условий: cos x=1 и 1+|x| = 1. Второе условие выполняется при х = 0.Если х = 0, то cos x = cos 0 = 1.
Ответ: 0.5.8. sin x = 1 + 2x; Т.к. –1 ≤ sin x ≤ 1, а 1 + 2х > 1 при всех значениях х, т.к. 2х > 0. Одновременно эти условия не выполняются, т.е.уравнение решений не имеет. Ответ: решений нет.5.9. 2cos24x – 6cos22x + 1 = 0; 2(2cos22x – 1)2 – 6cos22x + 1 = 0;2(4cos42x – 4cos22x + 1) – 6cos22x + 1 = 0;8cos42x – 8cos22x + 2 – 6cos22x + 1 = 0; 8cos42x – 14cos22x + 3 = 0.DПусть cos22x = t.
Тогда: 8t2 – 14t + 3 = 0.= 49 − 24 = 25 > 0.47±53111t1,2 =; t1 = ; t2 = . cos 2 2 x = ; cos 2 x = ± ;82442ππ πn2 x = ± + π n, n ∈ Z ; x = ± +,n ∈ Z;362ππ+ π n, ± + π n, n ∈ Z .635.10. –2sin x + 5sin2x = 0; 5 ⋅ 2sin x ⋅ cos x – 2sin x =0;2sin x(5cos x – 1) = 0;sin x = 0 или 5cos x – 1 = 0;Ответ: ±1851x = πn, n ∈ Z или cos x = ; x = πn, n ∈ Z или511x = ± arccos + 2π n, n ∈ Z . Ответ: πn, ± arccos + 2π n, n ∈ Z .555.11. 2cos2x – 3cos x + 2 = 0; 2(2cos2x – 1) – 3cos x + 2 = 0;4cos2x–2–3cos x + 2 = 0; cos2x – 3cos x = 0; cos x ⋅ (4cos x – 3) = 0,3cos x=0 или cos x = ;4π3x = + π n, n ∈ Z или x = ± arccos + 2π n, n ∈ Z .24π3Ответ: + π n, ± arccos + 2π n, n ∈ Z .245.12. 2 sin x + 3cos2x – 3 = 0; 2sin x + 3(1 – 2sin2x) – 3 = 0;2sin x + 3 – 6sin2x – 3 = 0; 3sin2x – sin x = 0; sin x(3sin x – 1) = 0;1sin x = 0 или sin x = ; x = πn, n ∈ Z или311nnx = ( −1) arcsin + π n, n ∈ Z . Ответ: πn, ( −1) arcsin + π n, n ∈ Z .335.13.
6sin2x + sin x cos x – cos2x = 0; cos x ≠ 0. 6tg2x + tg x – 1 = 0.Пусть tg x = t. Тогда: 6t2 + t – 1 = 0; D = 1 + 24 = 25;−1 ± 511t1,2 =; t1 = ; t2 = − .1232111) tgx = ; x = arctg + π n, n ∈ Z ;33112) tgx = − ; x = − arctg + π n, n ∈ Z .2211Ответ: −arctg + π n, arctg + π n, n ∈ Z .235.14. sin2x – 2sin x cos x = 3cos2x; sin2x – 2sin x cos x – 3cos2x = 0;cos x ≠ 0; tg2x – 2tg x – 3 = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
