Алгебра и нач анализа_Реш экз зад 11кл из Сборн заданий для экз_Дорофеев_Решения (991497), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Ответ:S .33 33 33.97.Основание правильной треугольнойпирамиды – равносторонний треугольник, радиус описанной окружa. Высоты у конуса иности равен3пирамиды одинаковые.a11π a 2 h;r=, V = π r 2h =A33 ⋅ 122 3a2h =O1CSCO MBV .11 1131 2V = ⋅ Sосн. ⋅ h = ⋅ a 2 ⋅ sin 60o ⋅ h = a 2 ⋅h=a h=33 2624 31 363 33 3⋅ V=Ответ:V .V .ππ4 3 π3.98.Радиус описанной вокруг квадрата ок=ружности равенS2a , где а – сторона2квадрата111 πVпир. = a 2 h , Vкон. = π r 2 h = ⋅ a 2 h333 2πππVкон.
= Vпир = V . Ответ: V .222BCOAD1513.99.C Проведем сечение через точку пересеченияBORMRaAдиагоналей куба, в этой же точке находитсяцентр шара, вписанного в куб.22N Sшар = 4πR и Sкуб = 6аSaπшарR = . Sшар = πа2,= .2S куб 6DОтвет:SшарS куб=π6.3.100.aBCRЕсли сторона куба а , то его диагональ3а , поэтому радиус шара =OVшарAD Vкуб4 3 4 3 3 3πRπ⋅aπ 38=3 3 =3=.2aa3Ответ:1523а.2VшарVкуб=π 32.Раздел 4. Задания 9-10 для экзамена«Математика» Задания 6-7 для экзамена«Алгебра и начала анализа»Тригонометрияsin 75o + sin 45o 2sin 60o cos15o== −2sin 60o = − 3 .4.1.− cos15osin 285oОтвет: − 3.4.2.sin 70o + sin 20o 2sin 45o cos 25o== 2sin 45o = 2.cos 25ocos 25oОтвет:2.cos105o − cos15o −2sin 60o sin 45o== − 3.4.3.cos315ocos 45oОтвет: − 3.4.4.11sin20o + sin90o ) − (cos0o + cos20o )sin55o cos35o − cos2 10o 2 (2==sin200o−sin20°1(sin 20° cos20°)1=2= (ctg 20° − 1) .− sin 20°24.5.1 + cos 40o + cos80o 1 + 2cos60o cos 20o 1 + cos 20o==;sin80o + sin 40o2sin 60o cos 20o3 cos 20ocos105o cos5o + sin105o sin 5o cos100o== ctg100o = −tg10o.sin 95o cos5o + cos95o sin 5osin100o1 + cos 20o> 0 и –tg10o < 0, то значение первого3 cos 20oвыражения больше значения второго.Ответ: значение первого выражения больше.Так как4.6.sin 20o − sin 40o3 sin10o−2sin10o cos30o;==1 − cos 20o + cos 40o 1 − 2sin 30o sin10o sin10o − 1sin 25o cos5o − cos 25o sin 5o sin 20o== tg 20o.cos15o cos5o − sin15o sin 5o cos 20o1533 sin10o< 0 (0 < sin10o < 1) и tg20o > 0.sin10o − 1Ответ: значение первого выражения меньше.⎛ 3π⎞+ x⎟ =4.7.
cos ( 2π − 3x ) cos x + sin 3x cos ⎜⎝ 2⎠= cos3x ⋅ cos x + sin3x ⋅ sin x = cos2x;1π⎞π⎛cos 2 x = − ; 2 x = ± ⎜ π − ⎟ + 2π k ; x = ± + π k , k ∈ Z .23⎠3⎝Так какОтвет: cos2x; x = ±π3+ π k, k ∈ Z.⎛ 3π⎞− x⎟ =4.8. sin (π − 3x ) cos x + cos3x cos ⎜⎝ 2⎠= sin3x cos x – cos3x sin x = sin2x;sin 2 x = −3πk +1 πk +1 π; 2 x = ( −1)+ π k , x = ( −1)+ k, k ∈ Z.236 2Ответ: sin2x; x = ( −1)k +1ππ+ k, k ∈ Z.6 24.9. sinx = sin 15 – 2sin15ocos15o + cos215o;1sinxo = 1 – sin30o; sin xo = ; х = 30. Ответ: 30.2o24.10. cos xo =cos xo =ocos 2 75o − sin 2 75o;sin 270o3; x = 30.2cos xo =cos150o; cosxo = cos30o;−1Ответ: 30.sin 30o cos xo + cos30o sin xo22; sin ( 30o + xo ) = −;=cos180o22х = 195.
Ответ: 195.cos 45o cos xo − sin 45o sin xo14.12.= 0,5; cos ( 45o + xo ) = − ;sin 270o2х = 75.Ответ: 75.24.13. 2sin x – 3sin x + 1 = 0. sin x = a, a ∈ [-1; 1].12a2 – 3a + 1 = 0; D = 1; a1 = ; a2 = 1;24.11.1541k π1) sin x = ; x = ( −1)+ π k, k ∈ Z;262) sin x = 1; x =Ответ: ( −1)kπ2+ 2π n, n ∈ Z .ππ+ π k;+ 2π n, k, n ∈ Z.6224.14. 2cos x – cos x – 1 = 0;cos x = a, a ∈ [-1; 1].12а2 – а – 1 = 0; D = 9; а1 = 1, a2 = − .21) cos x = 1; x = 2πk, k ∈ Z;12π+ 2π n, n ∈ Z .2) cos x = − ; x = ±232π+ 2π n, n ∈ Z .Ответ: 2πk, ±324.15. cos x + 6sin x – 6 = 0;1 – sin2x + 6sin x – 6 = 0; sin2x – 6sin x + 5 = 0.Пусть а = sin x, a∈ [–1,1]; а2 – 6а + 5 ; a1 = 5, а1 ∉ [-1; 1];ππ+ 2π n, n ∈ Z .
Ответ: + 2π n, n ∈ Z .2224.16. 2sin x + 7cos x + 2 = 0;222 – 2cos x + 7cos x + 2 = 0; 2cos x – 7cos x – 4 = 0.cos x = a, a ∈ [-1; 1].2а2 – 7а – 4 = 0; D = 81; а1 = 4 – не удовлетворяет условию112π+ 2π n, n ∈ Z .а ∈ [-1; 1]; a2 = − ; cos x = − ; x = ±2232π+ 2π n, n ∈ Z .Ответ: ±34.17. cos2x + 8sin x = 3;1 – 2sin2x + 8sin x – 3 = 0; sin2x – 4sin x + 1 = 0.sin x = a, a ∈ [-1; 1].D= 3; a1 = 2 + 3 - не удовлетворяет условиюa2 – 4a + 1 = 0;4а2 = 1; sin x = 1; x =()a2 = 2 − 3; sin x = 2 − 3; x = ( −1) arcsin 2 − 3 + π k , k ∈ Z .k()Ответ: ( −1) arcsin 2 − 3 + π k , k ∈ Z .k1554.18. cos2x = 1 + 4cos x;2cos2x – 1 – 1 – 4cos x = 0; cos2x – 2cos x – 1 = 0.cos x = a, a ∈ [-1; 1]. a2 – 2a – 1 = 0;a1 = 1 + 2 – не удовлетворяет условию а ∈ [-1; 1];x = ±(π − arccos( 2 − 1)) + 2π k , k ∈ Z .a2 = 1 − 2;Ответ: ±(π − arccos( 2 − 1)) + 2π k , k ∈ Z .4.19.
cos2x + sin x = 0; 1 – 2sin2x + sin x = 0.sin x = a, a ∈ [-1; 1]. 2a2 – a – 1 = 0; D = 9;a1 = 1; sin x = 1; x =π2+ 2π n, n ∈ Z .11k +1 πa2 = − ; sin x = − ; x = ( −1)+ π k, k ∈ Z.226ππ+ 2π n; ( −1)+ π k, k ∈ Z.264.20. cos2x + cos x = 0; 2cos2x – 1 + cos x = 0.Ответ:k +11cos x = a, a ∈ [–1; 1]. 2a2 + a – 1 = 0; D = 9; a1 = –1; a2 = ;21cos x = -1или cos x = ;2x = π + 2πn, n ∈ Z;x=±π3+ 2π k , k ∈ Z .π+ 2π k , k ∈ Z .34.21. 5 – 4sin x = 4cos x;5 – 4 + 4cos2x = 4cos x; 4cos2x – 4cos x + 1 = 0.
cos x = a, a ∈ [-1; 1].11π4a2–4a+1 = 0; (2a – 1)2 = 0; a = ; cos x = ; x = ± + 2π k , k ∈ Z .232Ответ: π + 2πn; ±2π+ 2π k , k ∈ Z .34.22. cos2x + 9sin x + 4 = 0;1 – 2sin2x + 9sin x + 4 = 0; 2sin2x – 9sin x – 5 = 0.sin x = a, a ∈ [-1; 1]. 2a2 – 9a – 5 = 0;a1 = 5 – не удовлетворяет условию a ∈ [-1; 1];1k +1 πk +1 πa2 = − ; x = ( −1)+ π k , k ∈ Z . Ответ: ( −1)+ π k, k ∈ Z.626Ответ: ±1564.23. cos2x – 7cos x + 4 = 0;2cos2x – 1 – 7cos x + 4 = 0; 2cos2x – 7cos x + 3 = 0.cos x = a, a ∈ [-1; 1]. 2a2 – 7a + 3 = 0; D = 25;a1 = 3 – не удовлетворяет условию а ∈ [-1; 1];11ππa2 = ; cos x = ; x = ± + 2π k , k ∈ Z . Ответ: ± + 2π k , k ∈ Z .32234.24. 2cos2x = 1 + 4cos x;224cos x – 2 – 1 – 4cos x = 0; 4cos x – 4cos x – 3 = 0.cos x = a, a ∈ [-1; 1].
4a2 – 4a – 3 = 0; D = 64;a1 = 1,5 – не удовлетворяет условию a ∈ [-1; 1];112πa2 = − ; cos x = − ; x = ±+ 2π k , k ∈ Z .2232π+ 2π k , k ∈ Z .Ответ: ±324.25. 2sin x + 5cos x = 4;2 – 2cos2x + 5cos x = 4; 2cos2x – 5cos x + 2 = 0.cos x = a, a ∈ [-1; 1]. 2a2 – 5a + 2 = 0; D = 9;a1 = 2 – не удовлетворяет условию а ∈ [-1; 1];11πa2 = ; cos x = ; x = ± + 2π k , k ∈ Z .2234.26. 2cos2x = 8sin x + 5;2 – 4sin2x = 8sin x + 5; 4sin2x + 8sin x + 3 = 0.
sin x= a, a ∈ [-1; 1].4a2 + 8a + 3 = 0; a1 = –1,5 – не удовлетворяет условию а ∈ [-1; 1];11k +1 πa2 = − ; sin x = − ; x = ( −1)+ π k, k ∈ Z.226Ответ: ( −1)k +1π+ π k, k ∈ Z.64.27. sin2x – sin x = 2cos x – 1; 2sin x cos x – sin x – 2cos x + 1 = 0;2cos x(sin x–1) – (sin x – 1) = 0; (sin x – 1)(2cos x – 1) = 0;1sin x = 1или cos x = ;2x=π2+ 2π n, n ∈ Z ;πx=±π3+ 2π k , k ∈ Z .π+ 2π n; ± + 2π k , n, k ∈ Z.234.28. sin2x – cos x = 2sin x – 1; 2sin x cos x – cos x – 2sin x + 1 = 0;2sin x(cos x – 1) – (cos x – 1) = 0; (cos x – 1)(2sin x – 1) = 0;Ответ:157cos x = 1или 2sin x = 1;x = ( −1)x = 2πn, n ∈ Z;Ответ: 2πn; ( −1)kkπ6+ π k, k ∈ Z.π+ π k, k ∈ Z.64.29. sin2x + 2sin x = cos x + 1; 2sin x cos x + 2sin x – cos x – 1 = 0;2sin x(cos x + 1) – (cos x + 1) = 0; (cos x + 1)(2sin x – 1) = 0;1cos x = -1или sin x = ;2x = ( −1)x = π + 2πn, n ∈ ZОтвет: π + 2πn; ( −1)kkπ6+ π k, k ∈ Z.π+ π k , n, k ∈ Z.64.30.
sin2x + 2cos x = sin x + 1; 2sin x cos x + 2cos x – sin x – 1 = 0;2cos x(sin x + 1) – (sin x + 1) = 0; (sin x + 1)(2cos x – 1) = 0;1cos x = ;sin x = -1или2x=−π2+ 2π n, n ∈ Z ;πx=±π3+ 2π k , k ∈ Z .π+ 2π n; ± + 2π k , n, k ∈ Z.234.31. cos2x + sin2x = cos x, [-π; π];cos2x – sin2x + sin2x = cos x; cos x(cos x – 1) = 0;cos x = 0илиcos x = 1;Ответ: −x=π2x = 2πk, k ∈ Z.+ π n, n ∈ Z ;ππИз этих корней отрезку [–π; π] принадлежат только корни − ;0; .2 2ππОтвет: − ; 0; .224.32.
cos2x + sin x = cos2x, [0; 2π];22cos x – sin x + sin x – cos2x = 0; sin x(1 – sin x) = 0;1) sin x = 0;2) sin x = 1;x = πn, n ∈ Z.Ответ: 0; π / 2 ; π; 2π.158x=π2+ 2π k , k ∈ Z .4.33. cos 2 x − cos2 x − 2 sin x = 0, [-π; π];2cos 2 x − 1 − cos 2 x − 2 sin x = 0; cos 2 x − 1 − 2 sin x = 0;()− sin 2 x − 2 sin x = 0; sin x sin x + 2 = 0;1) sin x = 0; x = πn, n ∈ Z;2) sin x = − 2 не имеет решений, так как |sin x| ≤ 1.Ответ: -π; 0; π.4.34. cos 2 x + sin 2 x + 3 cos x = 0, [-π; π];cos 2 x − sin 2 x + sin 2 x + 3 cos x = 0; cos x(cos x + 3) = 0;1) cos x = 0; x =π2+ π n, n ∈ Z ;2) cos x = − 3 - не имеет решений, так как |cos x| ≤ 1.ππ.Ответ: − ;2 24.35. sin x = cos x, [-2π; 0]; sin x – cos x = 0. Т.к. sin x ≠ 0, то1 – ctg x = 0; ctg x = 1; x =−π4+ π k, k ∈ Z.7π3π(k = -2), x = −(k = -1).444.36.Ответ: −7π3π; − .443 sin x + cos x = 0, [π; 3π]. Т.к.
sin x ≠ 0, x ≠ πn, n ∈ Z.3 + ctgx = 0; ctgx = − 3; x = −π6+ π k, k ∈ Z.11π17π11π 17π(k = 2) и x =(k = 3). Ответ:;.66664.37. sin x + cos x = 0, [-π; π].11ππsin x +cos x = 0; cos sin x + sin cos x = 0;4422x=π⎞πππ 3π⎛sin ⎜ x + ⎟ = 0; x + = π k , x = − + π k , k ∈ Z . Ответ: − ;.444⎠44⎝4.38. sin x = 3 cos x, [π; 3π]; sin x − 3 cos x = 0.13ππsin x −cos x = 0; sin x cos − cos x sin = 0;2233159π⎞ππ⎛sin ⎜ x − ⎟ = 0; x − = π k , x = + π k , k ∈ Z .3⎠33⎝4π7πОтрезку [π; 3π] принадлежат x =(k = 1) и x =(k = 2).334π 7πОтвет:;.332cos x + sin x14.39.= − , cos x – 7sin x ≠ 0;cos x − 7sin x24cos x + 2sin x = -cos x + 7sin x; 5cos x – 5sin x = 0; cos x – sin x = 0πx = + π k, k ∈ Z.4π3π(k = 0), x = −(k = -1).Отрезку [-π; π] принадлежат x =443π π.Ответ: − ;443sin x + cos x 14.40.= , [-π; π];cos x + 5sin x 22(3sin x + cos x) − (cos x + 5sin x)sin x + cos x=0 ;=0 ;cos x − 5sin x2(cos x + 5sin x){sin x + cos x = 0,cos x + 5sin x ≠ 0;x=−π4+ π k, k ∈ Z , ;cos x ≠ 0;{tgx + 1 = 0,1 + 5tgx ≠ 0;⎧tgx = −1,⎪⎨tgx ≠ − 1 ;⎪⎩5π3k = 0, k = 1; x1 = − ; x2 = π .44π 3Ответ: − ; π .4 42sin x − cos x 14.41.= , [-π; π];5sin x − 4cos x 36sin x – 3cos x = 5sin x – 4cos x, 5sin x – 4cos x ≠ 0;πsin x + cos x = 0; x = − + π k , k ∈ Z .43πππ 3πx=(k = 1) и x = − (k = 0).Ответ: − ;.44441604.42.sin x − 2cos x1= − , 2sin x + cos x ≠ 0;2sin x + cos x33sin x – 6cos x = -2sin x – cos x; sin x – cos x = 0; x =Отрезку [0; 2π] принадлежат x =π4(k = 0) и x =π4+ π k, k ∈ Z.5π(k = 1).45π;.4424.43.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
