Алгебра и нач анализа_Реш экз зад 11кл из Сборн заданий для экз_Дорофеев_Решения (991497), страница 19
Текст из файла (страница 19)
84( x +8) = 167( x + 2 x ) ; (23 )4( x +8) = (24 )7( x +2 x) ; 212( x +8) = 228( x +2 x) ;12(х2+8)=28(х2+2х) |:4; 3(х2 + 8) = 7(х2 + 2х); 3х2–7х2–14х + 24 = 0;4х2 + 14х – 24 = 0 |:2; 2х2 + 7х – 12 = 0; D = 49 + 96 = 145;222222−7 ± 145−7 ± 145Ответ:..445.65. log2(x – 1) + log2x < 1; log2(x – 1)x < log22, т.к. 2 > 1, тоx={⎧ x ( x − 1) < 2,⎨⎩ x − 1 > 0;⎧ x 2 − x − 2 < 0, ⎧( x + 1)( x − 2 ) < 0, −1 < x < 2,⎨⎨x > 1;⎩ x > 1;⎩ x > 1;1 < x < 2. Ответ: (1; 2).5.66. log3(x + 2) + log3x > 1; log3(x + 2)x > log33, т.к. 3 > 1, то{⎧ x ( x + 2) > 3, ⎧ x 2 + 2 x − 3 > 0, ⎧( x + 3)( x − 1) > 0, x < −3, x > 1,⎨ x > 0;⎨⎨x > 0;⎩⎩ x > 0;⎩ x > 0;х > 1.
Ответ: (1; +∞).5.67. log2(x + 1) + log2x < 1; log2x(x + 1) < log22, т.к. 2 > 1, то{⎧ x ( x + 1) < 2, ⎧ x 2 + x − 2 < 0, ⎧( x + 2 )( x − 1) < 0, −2 < x < 1,⎨⎨ x > 0;⎨x > 0;⎩⎩ x > 0;⎩ x > 0;0 < x < 1. Ответ: (0; 1).5.68. lg x + lg(x – 3) > 1; lg x(x – 3) > lg10, т.к. 10 > 1, то⎧ x ( x − 3) > 10, ⎧ x 2 − 3x − 10 > 0, ⎧( x + 2 )( x − 5 ) > 0,х > 5.⎨⎨⎨⎩ x > 3;⎩ x − 3 > 0;⎩ x > 3;Ответ: (5; +∞).5.69.
log0,5(4 – x) ≥ log0,52 – log0,5(x – 1);log 0,5 ( 4 − x ) ≥ log 0,54− x≤-1964 − x > 0,x − 1 > 0;2{x < 4,1<x<4.x > 1;2, т.к. 0,5 < 1, тоx −122x2 − 5 x + 6; 4− x−≤ 0;≥ 0;x −1x −1x −1+1{+3х∈( x − 2 )( x − 3)x −1≥ 0.{(1;2] ∪ [3; +∞ )} ∩ (1;4) .Ответ: х∈ (1; 2] ∪ [3; 4).5.70. log3(x2 – 7x + 12) < log320;⎧ ⎡ x < 3,⎪⎨ ⎣⎢ x > 4,⎪⎩ −1 < x < 8;х ∈ (-1; 3) ∪ (4; 8). Ответ: (-1; 3) ∪ (4; 8).5.71. log0,3(x2 + x + 31) < log0,3(10x + 11), т.к. 0 < 0,3 < 1, то⎧ x 2 − 7 x + 12 > 0, ⎧( x − 3)( x − 4 ) > 0,⎨ 2⎨⎩ x − 7 x + 12 < 20; ⎩( x + 1)( x − 8 ) < 0;⎧ x 2 − 9 x + 20 > 0,⎧ x 2 + x + 31 > 10 x + 11, ⎪11⎨⎨⎩10 x + 11 > 0;⎪⎩ x > − 10 ;⎧ ⎡ x > 5,⎪⎪ ⎢ x < 4,⎛ 11 ⎞⎛ 11 ⎞⎣x ∈ ⎜ − ;4 ⎟ ∪ ( 5; +∞ ) .
Ответ: ⎜ − ;4 ⎟ ∪ ( 5; +∞ ) .⎨⎝ 10 ⎠⎝ 10 ⎠⎪ x > − 11 ;⎪⎩105.72. –log2(x2 + 3x) ≥ 0;log2(x2 + 3x) ≤ 0; log2(x2 + 3x) ≤ log21, т.к. 2 > 1, тоx 2 + 3x − 1 = 0,⎧ x 2 + 3x − 1 ≤ 0,D = 9 + 4 = 13,⎨ 2⎩ x + 3x > 0;−3 ± 13x=.2⎧ −3 − 13−3 + 13≤x≤,⎡ −3 − 13⎞ ⎛ −3 + 13 ⎤⎪⎪22x∈⎢; −3 ⎟⎟ ∪ ⎜⎜ 0;⎥⎨22⎪ ⎡ x < −3,⎣⎢⎠ ⎝⎦⎥⎩⎪ ⎢⎣ x > 0;⎡ −3 − 13⎞ ⎛ −3 + 13 ⎤; −3 ⎟⎟ ∪ ⎜⎜ 0;Ответ: ⎢⎥ .22⎢⎣⎠ ⎝⎦⎥5.73. log 12log 12то6− x≤ −2;x +1+6− x1≤ log 1 4, т.к.
0 < < 1,2x +126− x2 − 5x≥ 4;≥ 0;x +1x +1+-12525 ≤ 0. Ответ: ⎛ −1; 2 ⎤ .⎜5 ⎦⎥x +1⎝x−1975.74. log 38− x8− x8− x≥ 1; log 3≥ log 3 3, т.к. 3 > 1, то≥ 3;x+2x+2x+2++-2 − 4x≥ 0;x+212-2⎛1⎞14⎜ − x ⎟x−⎝2⎠ ≥ 0;2 ≤ 0.x+2x+21⎤⎛Ответ: ⎜ −2; ⎥ .2⎦⎝6+ x6+ x5.75. log 2< 2; log 2< log 2 4, т.к. 2 > 1, тоx−3x−3⎧6 + x< 4,⎪x −3⎨6 + x⎪> 0;⎪⎩ x − 3⎧18 − 3x< 0,⎪ x−3⎨6 + x⎪> 0;⎪⎩ x − 3⎧x − 6> 0,⎪x−3⎨6 + x⎪> 0;⎩⎪ x − 3⎧ ⎡ x < 3,⎪⎪ ⎢⎣ x > 6,⎨⎪ ⎡ x < −6,⎪⎩ ⎢⎣ x > 3.Ответ: (-∞; -6) ∪ (6; +∞).3x + 13x + 11> −1; log 1> log 1 3, т.к. 0 < < 1, то3x−2x−23335.76.
log 1⎧ 3x + 1⎪ x − 2 < 3,⎨ 3x + 1⎪> 0;⎪⎩ x − 2⎧ 7< 0,⎪⎪x − 2⎨ 3⎛ x + 1 ⎞⎟⎪ ⎜⎝3⎠> 0;⎪⎩ x−2⎧ x y 1⎪3 ⋅ 2 = ,5.77. ⎨9⎩⎪ y − x = 2;⎧6 x = 6−2 ,⎨⎩ y = 2 + x;{⎧ x < 2,1⎞11⎪⎪ ⎡⎛⎨ ⎢ x < − , x < − . Ответ: ⎜ −∞; − ⎟ .33⎠3⎝⎪⎢⎪⎩ ⎣ x > 2;⎧ x y 1⎪3 ⋅ 2 = ,⎨9⎩⎪ y = 2 + x;x = −2,y = 0.⎧ x x+ 2 1⎪3 ⋅ 2 = ,⎨9⎩⎪ y = 2 + x;1⎧⎪4 ⋅ 6 x = ,⎨9⎩⎪ y = 2 + x;Ответ: (-2; 0).⎧2 y = 200 ⋅ 5 x ,5.78. ⎨⎩ x + y = 1;⎧ x = 1 − y,⎨ y1− y⎩2 = 200 ⋅ 5 ;⎧ x = 1 − y,⎨ y3⎩10 = 10 ;198{⎧ x = 1 − y,⎪у⎨2 y = 200 ⋅ 5 ⋅ 1 , 5 > 0 при всех значениях х;⎪⎩5yx = −2,y = 3.Ответ: (-2; 3).{{x + 1 = 0, x = −1,⎧ y = x + 3,⎧7x+1 ⋅ 2y = 4, ⎧ y = x + 3,5.79. ⎨⎨ x+1 x+3⎨ x+1⎩y − x = 3; ⎩7 ⋅ 2 = 4; ⎩14 ⋅ 4 = 4; y = x + 3; y = 2.Ответ: (-1; 2).⎧⎛ 1 ⎞ x y⎧ x = 1 − y,⎪⎪y = 2,⎧ x = 1 − y,5.80.
⎨⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⋅ 5 = 75, ⎨ y −1 y⎨ 1 ⋅ 15 y = 75; x = −1.3575;⋅=⎩⎪ x + y = 1;⎪⎩ 3⎩{Ответ: (-1; 2).⎧ x−1 y 1⎪5 ⋅ 7 = ,5.81. ⎨7⎪⎩ y − x = −2;⎧ y = x − 2,⎨ x−10⎩35 = 35 ;{⎧ y = x − 2,⎪⎨ x−1 x−2 1⎪⎩5 ⋅ 7 = 7 ;⎧ y = x − 2,⎪⎨ x−1 x−1 1 1⎪⎩5 ⋅ 7 ⋅ 7 = 7 ;x = 1,Ответ: (1; -1).y = −1.⎧⎛ 1 ⎞xy1 y y⎪⎛1⎞⋅ 7 ⋅ 3 = 63;5.82. ⎨⎜⎝ 7 ⎟⎠ ⋅ 3 = 63, х = 1 – у. ⎜ ⎟ ⋅ 3 y = 63;7⎝7⎠⎪ y + x = 1;⎩x21у = 212; у = 2, тогда: х = -1. Ответ: (-1; 2).Производная и ее приложенияx +1, k = -15.83. y =x−3( x + 1)'( x − 3) − ( x + 1)( x − 3)' x − 3 − x − 14y '( x ) ===−;( x − 3)2( x − 3) 2( x − 3)244; −= −1; (x0 – 3)2 = 4, x0 ≠ 3;( x0 − 3)2( x0 − 3)2х02 – 6х0 + 9 – 4 = 0; х02 – 6х0 + 5 = 0; х01 = 1, х02 = 5.а) х0 = 1, у(х0) = -1, y’(x0) = -1; у = -1 – 1(х – 1); у = -х;б) х0 = 5, y(x0) = 3, y’(х0) = -1; у = 3 – 1(х – 5); у = -х + 8.а) –х = 0; х = 0; б) –х + 8 = 0; х = 8.
Ответ: (0; 0), (8; 0).2x − 3(2 x − 3)'( x + 3) − (2 x − 3)( x + 3)', k = 9; y ' ( x ) =5.84. y ==x+3( x + 3) 2y ' ( x0 ) = −=2( x + 3) − (2 x − 3) ⋅ 1 2 x + 6 − 2 x + 39==;( x + 3)2( x + 3) 2( x + 3)2y ' ( x0 ) =99;= 9; (х0 + 3)2 = 1, х0 ≠ -3;( x0 + 3)2 ( x0 + 3)2199х02 + 6х0 + 8 = 0; х01 = -2, х02 = -4.2) а) х0 = -2; у(х0) = -7; y’(х0) = 9; у = -7 + 9(х + 2); у = 9х + 11;б) х0 = -4; у(х0) = 11; y’(х0) = 9; у = 11 + 9(х + 4); у = 9х + 47.223) у = 0; а) 9х + 11 = 0; x = −1 ; б) 9х + 47 = 0; x = −5 ;994) х = 0; а) у = 9 ⋅ 0 + 11 = 11; б) у = 9 ⋅ 0 + 47 = 47;⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞Ответ: ⎜ −1 ; 0 ⎟ , ⎜ −5 ; 0 ⎟ ; (0; 11), (0; 47).⎝ 9 ⎠ ⎝ 9 ⎠3x − 1, k = 1.x+8(3x − 1)'( x + 8) − (3x − 1)( x + 8)' 3( x + 8) − 3x + 1251) y ' ( x ) ===;( x + 8)2( x + 8)2( x + 8)25.85.
y =25= 1; (х0 + 8)2 = 25, х02 + 16х0 + 39 = 0; х01 = -3, х02 = -13.( x0 + 8) 23 ⋅ (−3) − 1= −2, y’(х0) = 1;−3 + 8у = -2 + 1(х + 3); у = х + 1;3 ⋅ (−13) − 1= 8; у = 8 + х + 13; у = х + 21.б) х0 = -13; y ( x0 ) =−13 + 83) х = 0; а) у = 1; б) у = 21. Ответ: (0; 1), (0; 21).2x − 2, k = 4.5.86. y =x +1(2 x − 2)'( x + 1) − (2 x − 2)( x + 1)' 2( x + 1) − 2 x + 2==1) y ' ( x ) =( x + 1)2( x + 1) 22) а) х0 = -3; y ( x0 ) ==4;( x + 1)24( x0 + 1)2= 4; (х0 + 1)2 = 1; х02 + 2х0 = 0;х01 = 0, х02 = -2.2) а) х0 = 0; у(х0) = -2; y’(x0) = 4; y = -2 + 4x;б) х0 = -2; у(х0) = 6; y’(х0) = 4; у = 4х + 14.113) у = 0; а) 4х – 2 = 0, x = ; б) 4х + 14 = 0, x = −3 ;224) х = 0; а) у = 4 ⋅ 0 – 2 = -2; б) у = 4 ⋅ 0 + 14 = 14;⎛1 ⎞ ⎛ 1 ⎞Ответ: ⎜ ; 0 ⎟ , ⎜ −3 ; 0 ⎟ ; (0; -2), (0; 14).⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠200x+4, k = -1.x−5( x + 4)'( x − 5) − ( x + 4)( x − 5)' x − 5 − x − 49y '( x ) ===−;( x − 5)2( x − 5)2( x − 5)25.87.
y =9= −1; х02 – 10х0 + 16 = 0, х0 ≠ 5; х01 = 2, х02 = 8.( x0 − 5)22) а) х0 = 2; у(2) = -2; y’(2) = -1; у = -2 – 1 ⋅ (х – 2); у = -х;б) х0 = 8; у(8) = 4; y’(8) = -1; у = 4 – (х – 8); у = -х + 12.3) х = 0; а) у = 0; б) у = 0 + 12 = 12; Ответ: (0; 0), (0; 12).3x − 5, k = 25.5.88. y =x−3(3x − 5)'( x − 3) − (3x − 5)( x − 3)' 3x − 9 − 3x + 54;y '( x ) === −( x − 3)2( x − 3)2( x − 3)2−−4= 25; решений нет. Ответ: искомых координат – нет.( x0 − 3)2⎛ 6 ⎞y, ++5.89.
у = х3 – 6х2 + 9х + 3, ⎜ − ; 2 ⎟ ;⎝ 5 ⎠11y2y’ = 3х – 12х + 9;minmaxх2 – 4х + 3 = 0; х1 = 1, х2 = 3.⎛ 6 ⎞⎛ 6 ⎞1∈ ⎜ − ; 2 ⎟ , 3 ∉ ⎜ − ; 2 ⎟ . Ответ: х = 1.⎝ 5 ⎠⎝ 5 ⎠1⎞⎛5.90. у = -х3 – 3х2 + 24х – 4, ⎜ −5; ⎟ ;5⎠⎝y’=-3х2–6х+24; х2+2х–8=0; х1 = -4, х2 = 2.1⎞1⎞⎛⎛−4 ∈ ⎜ −5; ⎟ , 2 ∉ ⎜ −5; ⎟ . Ответ: х=-4.5⎠5⎠⎝⎝5.91. у = х3 – 3х2 – 9х – 4;y’(x) = 3х2 – 6х – 9. D(y’) = R;х2 – 2х – 3 = 0; х1 = 3, х2 = -1.xmax = -1, ymax = y(-1) = 1;xmin = 3, ymin = y(3) = -31. Ответ: 1; -31.5.92. у = -х3 + 6х2 + 15х + 1;y’ = -3х2 + 12х + 15; х2 – 4х – 5 = 0;х1 = 5, х2 = -1. xmin = -1, y(-1) = -7;xmax = 5, y(5) = 101.
Ответ: -7; 101.y, yy, +y2max+3min-1maxy, y-+-4min-+-1min5max2015.93. y = sin x – cos x, [0; π];y,y’ = cos x + sin x;cos x + sin x = 0.1+tg x=0; tg x = -1; x = -arctg1 + πn,-+3π40πn ∈ Z, x = −π4+ π n, n ∈ Z .3π3π. (при n = 1), Ответ: xmax = .445.94. y = cos x – sin x, [0; 2π]; y’ = -sin x – cos x;-tg x – 1 = 0; tg x = -1;y,+πx = − + π n, n ∈ Z .3π7πy 02π4443π 3πmin max∈[ 0; 2π ].При n=1, x = ,4 47π 7π7π3π∈ [ 0; 2π ]. xmax =При n = 2, x =,, xmin = .44447π3π- точка максимума;- точка минимума.Ответ:44Отрезку [0;π] принадлежат x =5.95. y = sin x − 3 cos x, [0; π]; y ' = cos x + 3 sin x;y,1+1 + 3tgx = 0; tgx = −,3y 05πππ5π6x = − + π n, n ∈ Z . x =(при n = 1).max66⎛5π5π 13⎞⎛ 5π ⎞ymax = y ⎜ ⎟ = sin− 3 cos= − 3 ⋅ ⎜⎜ −⎟⎟ = 2.66 2⎝ 6 ⎠⎝ 2 ⎠Ответ: ymax = 2.5.96. y = 3 sin x + cos x, [0; 2π]; y ' = 3 cos x − sin x;y,y 0-+π3maxПри n = 0, x =2023 cos x − sin x = 0.
cos x ≠ 0.+4π3minπ3,2π3 − tgx = 0; tgx = 3,x=π3π3+ π n, n ∈ Z .∈ [ 0; 2π ]. При n = 1, x =4π 4π,∈ [ 0; 2π ].33xmax =π33 1⎛π ⎞+ = 2., ymax = y ⎜ ⎟ = 3 ⋅2 2⎝3⎠⎛3⎞ ⎛ 1⎞⎞⎟⎟ + ⎜ − ⎟ = −2.⎟ = 3 ⋅ ⎜⎜ −⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠Ответ: ymax = 2; ymin = -2.5.97. у = х + 2е-х; D(y) = R;y ,(x) y’ = 1 – 2е-х; D(y’) = R;1ln 2y’(х) = 0, если 1 – 2е-х = 0; e− x = ;2xmin =4π⎛ 4π, ymin = y ⎜3⎝ 3+11 ⎛ 1⎞− x = ln ; x = − ln ; ⎜ ln = ln1 − ln 2 = 0 − ln 2 = − ln 2 ⎟ ; x = ln 2.22 ⎝ 2⎠Значит, x = ln 2 – точка минимума. Ответ: xmin = ln 2.-х-х-х-х5.98. у = 2х + 3е ; y’ = 2 – 3е ; 2 – 3е =0; е =2/3; –х = ln2/3;x = ln3/2.
Ответ: x = ln3/2 – точка минимума.5.99. у = -х + 2ех;y’ = -1 + 2ex;y, +11–1 + 2ех = 0; 2ех = 1; e x = ; x = ln ;22-ln2yх = ln 1 – ln 2; x = -ln 2.minxmin = -ln 2.1= 1 + ln 2.ymin = y(-ln 2) = -(-ln 2) + 2 ⋅ e-ln2 = ln 2 + 2 ⋅2Ответ: (–ln2; 1 + ln 2) – минимум.5.100. у = -3х + 2е-х;y’ = -3 – 2е-х = 2е-х– 3 = 0; е-х = 3/2; –x = ln3/2; x = ln2/3.3ln2222y (ln ) = −3ln − 2 ⋅ e 2 = −3(1 + ln ) . Ответ: ymax = −3(1 + ln ) .3333203Раздел 6. Задания 9, 10 для экзамена«Алгебра и начала анализа»Уравнения226.1. logx+1(х + х – 6) = 4; logx+1|x2 + x – 6| = 2; logx+1|x2 + x – 6| = 2;⎧ x + 1 > 0,⎧ x > −1,⎪⎪ x + 1 ≠ 1,⎪⎨⎨ x ≠ 0,⎪ 2⎪ x 2 + x − 6 = x 2 + 2 x + 1.2⎪⎩ x + x − 6 = ( x + 1) ; ⎩|x2 + x – 6| = х2 + 2х – 1.1) х2 + х – 6 ≥ 0; х ∈ (-∞; 3] ∪ [2; ∞); х2 + х – 6 = х2 + 2х + 1; х = -7.2) х2 + х – 6 < 0; х ∈ (-3; 2); -х2 – х + 6 = х2 + 2х + 1;Ответ: 1.2х2 + 3х – 5 = 0; D = 49; х1 = 1, х2 = -2,5.6.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
