Алгебра и нач анализа_Реш экз зад 11кл из Сборн заданий для экз_Дорофеев_Решения (991497), страница 23
Текст из файла (страница 23)
⎩4 x + 4 y = 5 x y ;⎩4 x + 4 y = 5 x y .ху = 0 или ху = -2. Если ху = 0, то х = 0 и у = 0;2 16+ 4 y 2 = 20; у4 – 5у2 + 4 = 0;ху = -2, т.к. у ≠ 0, то x = − ;yy2у2 = 4 или у2 = 1; у1,2 = ±2, у3,4 = ±1, тогда{y = 2,x = −1;{{y = −2,x = 1;y = 1,x = −2;{y = −1,x = 2.Проверкой убеждаемся, что решениями являются (-1; 2) и (-2; 1).Ответ: (0; 0); (-1; 2); (-2; 1).⎪⎧ xy = 3x − 2,⎧2 + xy = 3x,6.111.
⎨ 2 22⎨22⎩4 x y + 4 = 5 x ; ⎩⎪4 ( 3 x − 2 ) + 4 = 5 x ;⎧ xy = 3x − 2,⎧ xy = 3x − 2,⎨⎨ 222⎩36 x − 48 x + 16 + 4 = 5 x ; ⎩31x − 48 x + 20 = 0;D= 576 − 620 = −54 < 0 - решений нет. Ответ: решений нет.43y − 1⎧2 xy + 1 = 3 y,xy =;6.112. ⎨ 2 222⎩12 x y + 8 = 11y .2( xy )2 = ⎛⎜⎝23y − 1⎞⎟ .2 ⎠⎛ 3y − 1 ⎞222Тогда: 12 ⎜⎟ + 8 = 11 y ; 27у – 18у – 11у + 11 = 0;⎝ 2 ⎠23016у2 – 18у + 11 = 0;D= 81 − 11 ⋅ 16 < 0 - решений нет.4Ответ: решений нет.⎧2 xy + 2 + x = 0,6.113. ⎨ 2 22ху = -х – 2; 4х2у2 = (х + 2)2.2⎩4 x y + 4 = 5 x .Тогда: (х + 2)2 + 4 = 5х2; 4х2 – 4х – 8 = 0; х2 – х – 2 = 0;1D = 1 + 8 = 9; х1 = -1, х2 = 2. Тогда y1 = ; у2 = -1.21⎞⎛Ответ: ⎜ −1; ⎟ ; (2; -1).2⎠⎝⎧ xy + x + y = 15, ⎧ x + y = 15 − xy,6.114.
⎨ 2тогда: ху(15 – ху) = 54;⎨2⎩ x y + xy = 54; ⎩ xy ( x + y ) = 54,замена ху = t; t(15 – t) = 54; t2 – 15t + 54 = 0; t1 = 6, t2 = 9;66+ y + 6 = 15; у2 – 9у + 6 = 0; D = 57;1) ху = 6, x = ( y ≠ 0 ) ;yyy1,2 =9 ± 57129 ± 57; x1,2 ==−;229 ± 572) ху=9, x =99( y ≠ 0 ) ; + y + 9 = 15; у2–6у+9 = 0; у3,4 = 3; х3,4 = 3.yy⎛ 9 + 57 9 − 57 ⎞ ⎛ 9 − 57 9 + 57 ⎞;;Ответ: (3; 3); ⎜⎜⎟⎟ ; ⎜⎜⎟⎟ .2222⎝⎠ ⎝⎠⎧ xy + x − y = 7, ⎧ x − y = 7 − xy,6.115. ⎨ 2⎨2⎩ x y − y x = 12; ⎩ xy ( x − y ) = 12;ху(7 – ху) = 12, замена: ху = t; t2 – 7t + 12 = 0; t1 = 3, t2 = 4;D3 3= 4 + 3 = 7;− y + 3 = 7; у2 + 4у – 3 = 0;1) ху = 3; x = ;4y yy1,2 = −2 ± 7, следовательно, x1,2 =3= 2 ± 7;−2 ± 74 4− y = 3; у2 + 3у – 4 = 0; у3 = -4, у4 = 1;2) ху = 4; x = ;y yх3 = -1, х4 = 4.Ответ: (-1; -4); (4; 1); (2 + 7; − 2 + 7); (2 − 7; − 2 − 7).
.2312222⎧ xy 2 + x − y 2 = 21, ⎪⎧ xy + x − y = 21, ⎪⎧ x − y = 21 − xy ,6.117. ⎨ 2 2⎨ xy 2 x − y 2 = 20; ⎨ xy 2 21 − xy 2 = 20;4()()⎩ x y − y x = 20; ⎩⎪⎩⎪ху2(21 – ху2) = 20; замена ху2 = t; t2 – 21t + 20 = 0; t1 = 20, t2 = 1;2020= 1; х2 – х – 20 = 0; х1 = -4, у12 = -5 –1) ху2 = 20; y 2 = ; x −xxрешений нет; х2 = 5, у22 = 4, у = ±2. Решения: (5; 2), (5; -2).D11= 101;2) ху2 = 1 y 2 = ; x − = 20; х2 – 20х – 1 = 0;4xxx3,4 = 10 ± 101;при x = 10 − 101 у не существует (т.к.
10 − 101 < 0 );1при x = 10 + 101 y = ±10 + 101.⎛⎞1⎟;Ответ: (5; 2); (5; -2); ⎜10 + 101;⎜⎟10+101⎝⎠⎛⎞−1⎜10 + 101;⎟.⎜10 + 101 ⎟⎠⎝⎧ x 2 y + y = 9,6.118. ⎨Значит, х2(у – 1) = 0; х = 0 ⇒ у = 9;2⎩ y + x = 9.у = 1 ⇒ х ± 8 ; Ответ: (0;9),( 8;1),(− 8,1) ;⎧ x 2 − xy = 3, 26.119. ⎨х – 2ху + у2 = 1; (х – у)2 = 1, откуда х – у = ±1;2⎩ xy − y = 2.⎧ x − y = 1,1) ⎨2⎩ xy − y = 2;{x = 1 + y,y = 2;{x = 3,y = 2;⎧ x − y = −1, ⎧ x = y − 1,2) ⎨⎨2⎩ xy − y = 2; ⎩ y ( х − у ) = 2;{x = −3,y = −2.Ответ: (3; 2); (-3; -2).⎧ x + y + xy = 7,6.120.
⎨ 22⎩ x + y + xy = 13;⎧⎪ x + y + xy = 7,2⎨⎪⎩( x + y ) − xy = 13.232Замена х + у = u, xy = v, получим:⎧u + v = 7,u2 + u – 20 = 0; u1 = -5, u2 = 4; v1 = 12, v2 = 3.⎨ 2⎩u − v = 13;{⎧ x = − y − 5,⎨ 2⎩− y − 5 y = 12;2у + 5у + 12 = 0; D = 25 – 48 < 0 – решений нет;x + y = 4, ⎧ x = 4 − y,2)⎨ 2xy = 3;⎩− y + 4 y − 3 = 0;1)x + y = −5,xy = 12;{у2 – 4у + 3 = 0; у1 = 3, у2 = 1; х1 = 1, х2 = 3.⎧ x3 + y 3 = 35,6.121. ⎨ 22⎩ x y + y x = 30;Ответ: (1; 3); (3; 1).⎧( x + y )( x 2 − xy + y 2 ) = 35, ⎧( x + y )(( x + y )2 − 3xy ) = 35,⎨⎨⎩ xy ( x + y ) = 30;⎩ xy ( x + y ) = 30.Замена: xy = u, x + y = v, тогда:⎧⎪v ( v 2 − 3u ) = 35,⎨⎪⎩uv = 30;Значит:{xy = 6,x + y = 5;⎧v3 − 90 = 35,⎨⎩uv = 30;{x = 3,илиy=2{v = 5,u = 6.⎧v3 = 125,⎨⎩uv = 30;{x = 2,y = 3.Ответ: (2; 3); (3; 2).⎧⎪ x 2 − xy = 20 y, (1)6.122.
⎨2⎪⎩5 xy − 5 y = 4 x; ( 2 )1) х = 0, у = 0 – решение2) х ≠ у; х = 0; у ≠ 0, Разделим (1) на (2) получим:х 5у⎛ 10 2 ⎞=⇒ х = ±5 у; Ответ: (0; 0); (5; 1); ⎜ − ; ⎟ .5у х⎝ 3 3⎠⎧4 x 2 + xy = 20 y, ⎧ x ( 4 x + y ) = 20 y,6.123. ⎨⎨2⎩4 xy + y = 5 x; ⎩ y ( 4 x + y ) = 5 x;22х = 0, у = 0; х = 4у ; х = ±2у.20 y 5 x= ( x ≠ 0, y ≠ 0 ) .xy1020; х1 = 0, x2 = ;9910202) х = -2у; 16у2 – 2у2 = 20у; 7у2 = 10у; y3 = ; x3 = − .771) х=2у; 16у2+2у2=20у; 9у2 = 10у; у1 = 0, y2 =⎛ 20 10 ⎞ ⎛ 20 10 ⎞Ответ: (0; 0); ⎜ − ;⎟; ⎜ ;⎟.⎝ 7 7⎠ ⎝ 9 9⎠2333⎧1⎪ + y = 2,6.124.
⎨ x⎪ 1 + y2 = 5 .⎪⎩ x 243⎧⎪t + y = 2 ,⎨⎪t 2 + y 2 = 5 ;⎩41Замена t = , х ≠ 0;x⎧ 3⎪t = 2 − y ,⎨9⎪ − 3 y + y2 + y2 = 5 ;⎩44⎧ 3⎪t = − y,⎨ 2⎪⎩ 2 y 2 − 3 y + 1 = 0;111у1 = 1, t1 = ; y2 = , t2 = 1. Т.к. t = , то х1 = 2, х2 = 1.22x⎛ 1⎞Ответ: ⎜1; ⎟ ; (2; 1).⎝ 2⎠1 3⎧⎪⎪ x + y = 2 ,6.125. ⎨⎪ x2 + 1 = 5 ;y2 4⎪⎩1 3⎧⎪⎪ x + y = 2 ,⎨ x⎪ 2 = 1;⎩⎪ y1 3⎧⎪x + = ,y 2⎨⎪⎩ y = 2 x;1 3⎧⎪x += ,⎨2x 2⎪⎩ y = 2 x;12х2 – 3х + 1 = 0; х1 = 1, x2 = ; у1 = 2, у2 = 1.2⎛1 ⎞Ответ: (1; 2); ⎜ ; 1⎟ .⎝2 ⎠1⎧⎪⎪ 2 x + y = 2,6.126.
⎨⎪3 x 2 + 2 = 3.⎪⎩y2Замена1= u, у ≠ 0y⎪⎧u = 2 − 2 x,⎧u = 2 − 2 x,2⎨ 2⎨ 2⎩⎪3x + 2 ( 2 − 2 x ) = 3; ⎩11x − 16 x + 5 = 0;D512= 9; х1 = 1, x2 = ; u1 = 0, u2 = .11х2 – 16х + 5 = 0;411111= 0 — решений нет.Найдем у:y⎧ 2 x + u = 2,⎨ 22⎩3 x + 2u = 3;1 1211= ; y= .12y 11234⎛ 5 11 ⎞Ответ: ⎜ ;⎟.⎝ 11 12 ⎠1⎧1⎪ + y = − 2,6.127. ⎨ x⎪ y2 − 3 = 1 .⎪⎩x2 41⎧⎪u + y = − 2 ,⎨⎪ y 2 − 3u 2 = 1 ;⎩4Замена1= u , х ≠ 0;x1⎧⎪ y = − 2 − u,⎨1⎪ + u 2 + u − 3u 2 = 1 ;⎩441⎧⎪ y = − − u,⎨22⎪⎩ −2u + u = 0;1u1 = 0, но в силу замены u ≠ 0; u2 = ; у = -1, х = 2.
Ответ: (2; -1).2⎧ x + y = 8,Dx1 50⎪6.128. ⎨ x y 50= 576;= t ; t + = ; 7t2 – 50t + 7 = 0;+ = . y4t 7⎪⎩ y x 7t1,2 =25 ± 241; t1 = 7; t2 = . Итак,77⎧ x + y = 8,⎪1) ⎨ x= 7;⎪⎩ y{x + y = 8,у = 1, х = 7;x = 7 y;⎧ x + y = 8,⎪2) ⎨ x 1= ;⎪⎩ y 7{x + y = 8,у = 7, х = 1.y = 7 x;Ответ: (1; 7); (7; 1).⎧ xy = 5,⎪6.129. ⎨ x + y x − y 13 х ≠ ±у.+= ,⎪⎩ x − y x + y 61 1323x+ y= t ; t + = ; 6t2 – 13t + 6 = 0; D = 25; t1 = , t2 = ;t 632x− y⎧ xy = 5,xy = 5,⎪⎧ x = −5 y,1) ⎨ x + y 2⎨2= ;⎪⎩ x − y 3 3 x + 3 y = 2 x − 2 y; ⎩−5 y = 5;ний нет;⎧ xy = 5,xy = 5,⎪⎧5 y 2 = 5,2) ⎨ x + y 3= ; 2 x + 2 y = 3x − 3 y; ⎨⎩ x = 5 y;⎪⎩ x − y 2{{⎧ x = −5 y ,— реше⎨ 2⎩ y = −1у = ±1, х = ±5Ответ: (5; 1); (-5; -1).235y⎧⎪ x − y = log 2 ,6.130. ⎨x⎪⎩ x 2 + y = 12;⎧ x 2 + y = 12,⎧ x 2 + y = 12,⎪⎪илиx−y=logy−logx,⎨⎨ x − y = log 2 ( − y ) − log 2 ( − x ) ,22⎪⎩ x > 0, y > 0⎪ x < 0, y < 0;⎩⎧ x 2 + y = 12,⎪1) ⎨ x + log 2 x = y + log 2 y, Рассмотрим f(t)=t + log2t; D(f) = (0; +∞).⎪⎩ x > 0, y > 0.1; f’(t) > 0, f(x) = f(y); x = y; х2 + х – 12 = 0;t ln 2х1 = 3, х2 = -4.
Условию х > 0 удовлетворяет х = 3, у = 3.⎧ x 2 + y = 12,⎪2) ⎨ x − y = log 2 ( − y ) − log 2 ( − x ) , Рассмотрим f(t)=t+log2(-t);⎪ x < 0, y < 0.⎩f '(t ) = 1 +11f’(t) < 0; f(x) = f(y);. При t < −ln 2t ln 21x = y; х2 + х – 12 = 0; х1 = 3, х2 = -4. Условию x < −удовлеln 2творяет х = -4, у = -4. Ответ: (3; 3); (-4; -4).D(f)=(-∞; 0). f ' ( t ) = 1 +⎧6.131. ⎪⎨ y − x = lo g 1 y ,2x⎪ x = y 2 − 6;⎩⎧2⎪⎪ x = y − 6,⎨ x + log 1 x = y + log 1 y, или⎪22⎩⎪ x > 0, y > 0⎧2⎪⎪ x = y − 6,⎨ x + log 1 ( − x ) = y + log 1 ( − y ) ,⎪22⎩⎪ x < 0, y < 0;⎧2⎪⎪x = y − 6,1) ⎨x + log1 x = y + log1 y, Рассмотрим f ( t ) = t + log 1 t; D(f)=(0; +∞).⎪222⎪⎩x > 0, y > 0.11f '(t ) = 1 −.
При t >f’(t) < 0; f(x) = f(y), x = y;t ln 2ln 2236х = х2 – 6; х2 – х – 6 = 0; х1 = -2, х2 = 3. Условию x >1ln 2удовлетворяет х = 3, у = 3.⎧2⎪⎪ x = y − 6,2) ⎨ x + log 1 ( − x ) = y + log 1 ( − y ) ,⎪22⎪⎩ x < 0, y < 0Рассмотрим f ( t ) = t + log 1 ( −t ) ; D(f) = (-∞; 0). f ' ( t ) = 1 −221;t ln 2f’(t) > 0; f(x) = f(y), x = y; х + х – 6 = 0;х1 = 2, х2 = -3; х < 0; х = -3, у = -3. Ответ: (-3; -3); (2; 2).⎧2 x 3 y = 24,6.132. ⎨ y x⎩2 3 = 54;⎧ 2x− y 4⎪ x− y = ,⎨39⎪⎩2 x 3 y = 24;⎧⎛ 2 ⎞ x − y ⎛ 2 ⎞2⎪⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ , ⎧ y = x − 2,x = 3,⎧6 x = 63 ,⎨⎝ 3 ⎠⎨ x x⎨⎝ 3⎠⎩2 3 = 24 ⋅ 9; ⎩ y = x − 2; y = 1.⎪2 x 3 y = 24;⎩Ответ: (3; 1).⎧ xy 3−= ,⎪6.133. ⎨ yx 2 х, у≠0;⎪ xy + x + y = 9,⎩{x−yy 3= , замена:x 2x= t , t>0;y1 31t − = ; 2t2 – 3t – 2 = 0; t1 = 2, t2 = − .
Т.к. t > 0, тоt 22t = 2;y=x= 2; х = 4у; 4у2 + 5у – 9 = 0; D = 169;y9⎞−5 ± 139⎛; у1=1, y2 = − ; х1=4; х2=-9. Ответ: (4; 1); ⎜ −9; − ⎟ .844⎠⎝16 ⎛ 16 ⎞⎧ xy = 16,6.134. ⎨ log2 yx= , ⎜ ⎟= 8;y⎩x⎝ y⎠log 216log 2 y16= 8;log 216=2 y;y⋅log 2 y2 y= 23 ; log2y(4 – log2y) = 3, замена log2y = t;2t – 4t + 3 = 0; t1 = 1; t2 = 3, тогда у1 = 2, у2 = 8; х1 = 8, х2 = 2.Ответ: (2; 8); (8; 2).237⎧x = y2 ,⎧log x = 2,6.135.
⎨ lg yyx > 0, y > 0, у ≠ 1; ⎨ 2lg y= 100;⎩ x = 100,⎩yу2lgy = 100, y = 10lgy, y > 0; (10lgy)2lgy = 102; 2(lg y)2 = 2; lg2y = 1;11. Ответ: (100; 10); (0,01; 0,1).у1 = 10; y2 = ; х1 = 100, x2 =10100⎧x2 y + 1= 2,⎪log6.136. ⎨ 2у + 1 > 0, x > 0.2⎪log x ⋅ log (1 + y )2 = 4,22⎩1⎧⎪2log 2 x + log 2 ( y + 1) = 3,Замена log2x = u, log2(1 + y) = v;2⎨⎪⎩log 2 x ⋅ log 2 (1 + y ) = 2;v⎧⎪2u + = 3, ⎧v = 6 − 4u,⎧v = 6 − 4u,⎨⎨ 2⎨22⎩6u − 4u = 2; ⎩2u − 3u + 1 = 0;⎪⎩uv = 2;12u2 – 3u + 1 = 0; u1 = 1, u2 = , тогда v1 = 2, v2 = 4;2⎧log x = 1,1) ⎨ 2⎩log 2 (1 + y ) = 2;{1⎧⎪log x = ,2) ⎨ 22⎩⎪log 2 (1 + y ) = 4;x = 2,y = 3;⎧ x = 2,⎨⎩ y = 15.Ответ: (2; 3); ( 2; 15) .⎧⎪ −−6.137. ⎨ x 2 + y 2 = 6,х > 0, y > 0;⎪⎩log 4 x + log 4 y = −3,11⎧ 1+= 6,⎪y⎨ x⎪ log xy = −3;⎩ 41⎧ x + y − 6 xy= 0,⎪⎪xy⎨⎪ xy = 1 ;⎪⎩6413+ y − = 0,48 y3⎧ 1+ y − = 0,4⎪⎪ 64 y⎨⎪x = 1 ;⎪⎩64 y31y = t , t > 0; t 2 − t + = 0; 8t2 – 6t + 1 = 0;48D111111= 1; t1 = , t2 = .
Тогда y1 = , y2 = , x1 = , x2 = .424416164Ответ:2381 ⎞1⎞⎛1⎛ 1;⎜ ;⎟ ; ⎜⎟⎝ 4 16 ⎠⎝ 16 4 ⎠.5⎧⎪( x + y ) 3 y − x = ,6.138. ⎨х + у > 0;27⎪⎩3log 5 ( x + y ) = x − y,5 x− y⎧5 x− y⎧⎪⎪( x + y ) = 27 ⋅ 3 ,⋅3 ,⎪( x + y ) =27⎨⎨5 x− y ⎞⎛⎪3log 5 ⎜ ⋅ 3 ⎟ = x − y; ⎪⎩3 − 3log 5 27 + ( x − y ) ⋅ 3log 5 3 = x − y.⎝ 27⎠⎩⎪3(1 – log527) = (x – y)(1 – log527); х – у = 3, тогда{x + y = 5,x − y = 3,х = 4, у = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
