Алгебра и нач анализа_Реш экз зад 11кл из Сборн заданий для экз_Дорофеев_Решения (991497), страница 26
Текст из файла (страница 26)
х2 + 4 ≥ |3x + 2| - 7х;2⎧⎪x ≥ − ,⎧3x + 2 ≥ 0,1) ⎨ 23⎨43270;x+−x−+x≥⎩⎪⎩ x 2 + 4 x + 2 ≥ 0;2⎧⎪x ≥ − 3 ,⎨⎪3 x + 2 − 2 x + 2 + 2 ≥ 0;⎩()(+)−2 − 2)-+2−3−2 + 2x ∈ ⎡⎣ −2 + 2; ∞ ;2⎧⎪x < − ,⎨32⎩⎪ x + 10 x + 6 ≥ 0;⎧3 x + 2 < 0,2) ⎨ 2⎩ x + 4 + 3x + 2 + 7 x ≥ 0;2⎧⎪x < − 3 ,⎨⎪3 x + 5 − 19 x + 5 + 19 ≥ 0;⎩()()+−5 − 19(x ∈ −∞; − 5 − 19 ⎤⎦ .(-+2 −5 + 19−3)Ответ: −∞; − 5 − 19 ⎤⎦ ∪ ⎡⎣ −2 + 2; ∞ .6.205. |x – 2| - x < 2x2 – 9x + 9;⎧ x − 2 ≥ 0,⎧ x ≥ 2,D < 0; х ≥ 2;1) ⎨⎨ 22⎩ x − 2 − x − 2 x + 9 x − 9 < 0; ⎩2 x − 9 x + 11 > 0;259⎧ x − 2 < 0,⎧ x < 2,2) ⎨D < 0; x < 2.⎨ 22⎩2 − x − x − 2 x + 9 x − 9 < 0; ⎩2 x − 7 x + 7 > 0;Ответ: (-∞; ∞).6.206. х2 – |5x – 3| – х < 2;⎧5 x − 3 ≥ 0,⎧ x ≥ 0,6,1) ⎨ 2⎨ 2⎩ x − 5 x + 3 − x − 2 < 0; ⎩ x − 6 x + 1 < 0;-+−3 − 8 0,6−3 + 8⎧5 x − 3 < 0,2) ⎨ 2⎩ x + 5 x − 3 − x − 2 < 0;-+-5⎧ x ≥ 0,6,⎨⎩( x − 3 + 8)( x − 3 − 8) < 0;++0,6 1)x ∈ ⎡⎣0,6; 3 + 8 ;⎧ x < 0,6,⎨ 2⎩ x + 4 x − 5 < 0;{x < 0,6,( x + 5)( x − 1) < 0;х ∈ (-5; 0,6).
Ответ: (−5; 3 + 8) .Параметры6.207.a= 3;2a − x{x ≠ 2a,a = 6a − 3x;{x ≠ 2a,3x = 5a;⎧ x ≠ 2a,⎪5⎨⎪⎩ x = 3 a.55Т.к. 2a = a только при а = 0, то решение уравнения - x = a335(а ≠ 0). Ответ: при а = 0 нет решения; при а ≠ 0: x = a .3aa6.208.= 3; О.Д.З. а – 2х ≠ 0; x ≠ . Тогда:a − 2x2a aaaа = 3а – 6х; 6х = 2а; x = .
Т.к. = только при а = 0, то x =3 233– решение уравнения при а ≠ 0; при а = 0 нет решений.aОтвет: при а = 0 нет решений; при а ≠ 0: x = .33a6.209.= 2; х ≠ 2а; а = 4а – 2х; 2х = 3а; x = a ;22a − x26032a = a при а = 0. При а = 0 нет решений.23Ответ: при а = 0 нет решений; при а ≠ 0: x = a .2aa6.210.= 2. Уравнение имеем смысл при x ≠ .a − 2x2a aaПри этом а=2а–4х; x = .
Т.к. = при а=0, то при а=0 реше4 24aний нет. Ответ: если а = 0, то решений нет, если а ≠ 0, то x = .46.211. |x + 2a| ⋅ x + 1 – a = 0.Так как х = 2 – корень уравнения, то |2 + 2a| ⋅ 2 + 1 – a = 0;{a ≥ −1,4 + 4a + 1 − a = 0или{a < −1,−4 − 4a + 1 − a = 0;⎧a ≥ −1,⎧a < −1,⎪⎪⎨a = − 5 ;⎨a = − 3 ; решений нет.⎪⎩⎪35⎩Ответ: таких значений а нет.26.212. 2 ≥ |x + 3a| + х , х = 3 не является решением.Найдем те значения а, при которых 3 – решение неравенства, т.е.2≥ |3 + 3а| + 9; |3 + 3a| ≤ -7, т.к.
|3 + 3a| ≥ 0; -7 < 0, то решений нет;х=3 не является решением при любых значениях а. Ответ: (-∞; ∞).6.213. 4 - |x – 2a| < x2, x = -3.Так как –3 – решение неравенства, то 4 - |-3 – 2a| < 9; |-3 – 2a| > -5,неравенство верно при любых значениях а.Ответ: (-∞; ∞).6.214. 3 - |x – 2a| > x2, x = -2. Так как х = -2 – решение, то а удовлетворяет неравенству: 3 - |-2 – 2a| > 4; |-2 – 2a| < -1. Так как |-2–2a|≥0, то неравенство не имеет решений. Ответ: решений нет.6.215. –2 ≤ |x + 3a| - x2, х = 2. Найдем значения а, при которых х = 2– решение неравенства, т.е. -2 ≤ |2 + 3a| - 4; |2 + 3a| ≥ 2;{2 + 3a ≥ 0,или2 + 3a ≥ 22⎧⎪a ≥ − ,⎨3⎪⎩a ≥ 0или{2 + 3a < 0,2 + 3a ≤ −2;2⎧⎪a < − 3 ,⎨⎪a ≤ − 4 ;⎪⎩3261а≥0или4a≤− ;34⎤⎛х = 2 решение неравенства при a ∈ ⎜ −∞; − ⎥ ∪ [ 0; ∞ ) .
Значит,3⎦⎝⎛ 4 ⎞х = 2 не является решением неравенства при а ∈ ⎜ − ; 0 ⎟ .⎝ 3 ⎠⎛ 4 ⎞Ответ: ⎜ − ; 0 ⎟ .⎝ 3 ⎠6.216. х2+4х–2|x–a|+2–а = 0, х = -1. Найдем, при каких значениях ах = -1 – корень уравнения: 1–4–2|-1–a|+2–а=0; 2|-1 – a| + 1 + а = 0;{{−1 − a ≥ 0,−2 − 2a + 1 + a = 0илиa ≤ −1,a = −1или{{−1 − a < 0,2 + 2a + 1 + a = 0;a > −1,- решений нет;a = −1откуда а = -1; х = -1 не является корнем при а ≠ -1.Ответ: (-∞; -1) ∪ (-1; ∞).6.217. |x – a| х + 1 – 2а = 0, х = -2. Так как х = -2 – корень, то аудовлетворяет уравнению: -2|-2 – a| + 1 – 2а = 0;⎡ −2 − a ≥ 0,решений нет;⎢ 4 + 2a + 1 − 2a = 0;⎢⎧a > −2,⎢ −2 − a < 0,3⎪⎢a=− .⎨a = − 3 ;4⎢ −4 − 2a + 1 − 2a = 0;⎪⎩4⎣{{3Ответ: при a = − .46.218. |2x + a| ⋅ (х2 + 1) + 3 – 2а = 0, х = 1.
Найдем значения а, прикоторых х = 1 является корнем. |2 + a| ⋅ 2 + 3 – 2а = 0;1){{2 + a ≥ 0,4 + 2a + 3 − 2a = 0;{a ≥ −2,7 = 0;решений нет;⎧a < −2,⎪⎨a = − 1 ; решений нет.⎪⎩4Значит, х = 1 не является решением уравнения при всех а ∈ R.Ответ: (-∞; ∞).2)2 + a < 0,−4 − 2a + 3 − 2a = 0;26211π ⎞⎛x ⎟ 8 − ax = 0, х = 2.6.219. ⎜ a − 3x 2 − cos4 ⎠⎝По условию х = 2 – корень, тогда а удовлетворяет уравнению:(a − 12) 8 − 2a = 0, которое равносильно совокупности:{{a − 12 = 0,8 − 2a ≥ 0a = 12,решений нет;a ≤ 4;или8 – 2а = 0;а = 4.Ответ: 4.11π ⎞⎛x ⎟ 11 − 3ax = 0, х = 2.6.220.
⎜ a − 3x 2 − sin4 ⎠⎝Так как х = 2 – корень уравнения, то а удовлетворяет уравнению:(a − 12 + 1) 11 − 6a = 0; (a − 11) 11 − 6a = 0;⎧ ⎡ a = 11,⎪⎢1111⎪⎢a = ,⎨⎣6 a= .6⎪ 11⎪a ≤ ;6⎩6.221. 2х6 – х4 – ах2 = 1. f(x) = 2х6 – х4 – ах2 – 1, D(f) = R.Функция четная, поэтому, чтобы данное уравнение имело трикорня, один из корней должен быть равен 0 ,(f(x), значит еслих≠0, то число корней четно). Проверка показывает, что х = 0 неявляется решением уравнения, значит, уравнение не может иметьтри корня. Ответ: нет.6.222.
2х8 – 3ах6 + 4х4 – ах2 = 5. Пусть f(x) = 2х8–3ах6+4х4 – ах2 – 5,D(f) = R. Так как функция f(x) четная, то если х0 – корень уравнения f(x) = 0, то –х0 также является корнем этого уравнения.Заметим, что х=0 не является корнем уравнения, значит, корнейчетное число. Таким образом, 5 корней уравнение иметь не может.Ответ: не может.6.223.
3х + 3-х = ах4 + 2х2 + 2. Пусть f(x) = 3х + 3-х – (ах4 + 2х2 + 2),D(f) = R. f(x) – четная функция. f(0) = 0, значит, х = 0 – кореньуравнения.Аналогично задаче 6.222 получим, что число корней нечетное.Ответ: данное уравнение имеем нечетное число корней.6.224. 4х – 4-х = х3 + 2ах2 .
Пусть f(x) = 4x – 4-x – x3 – 2ax. Заметим,что f(x) = –f(–x) и x=0 –является нулем функции f(x), значит f(x) –имеем нечетное число нулей.Доказано.⎧ ⎡ a = 11,⎪⎢⎨ ⎣11 − 6a = 0,⎩⎪11 − 6a ≥ 0;2636.225. log3(9x + 9a3) = x. Уравнение равносильно системе:⎧9 x + 9a 3 > 0, х9 + 9а3 – 3х = 0, замена t = 3x, t > 0; t2 – t + 9a3 = 0.⎨ x3x⎩9 + 9a = 3 ;Чтобы исходное уравнение имело ровно два корня, полученноеуравнения должно иметь два положительных корня. Это возможно, когда D > 0 и t1 ⋅ t2 > 0, t1 + t2 < 0 (теорема Виета).⎧a > 0,⎧t1 ⋅ t2 = 9a 3 > 0,⎛1 ⎞⎪⎪Ответ: ⎜⎜ 0; 3⎟.1⎨t1 + t2 = −1 < 0, то ⎨336 ⎟⎠⎪⎩a < 36 .⎪⎩ D = 1 − 36a 3 > 0,⎝6.226.
log2(4x – a) = x; 4х – а = 2х, 2х = t, t > 0; t2 – t – a = 0.Исходное уравнение будет иметь единственный корень, еслиуравнение t2 – t – a = 0 имеет единственный положительный.Уравнение имеет единственный корень при Д = 0;11 + 4а = 0; а = –1/4; t=1/2 > 0 – верно.Ответ: − .46.227. log2(4x + a3) + x = 0; 4х + а3 = 2-х, замена 2x = t, t > 0;1t 2 + a 3 = ; 1 – t3 = a3t.tРешим графическиИз графика видно, что ни при какомзначении а уравнение не можетиметь двух положительных корней.Ответ: решений нет.6.228. x – log3(2a – 9x) = 0; x = log3(2a – 9x); 3х = 2а – 9х.Замена: 3х = t, t > 0; t2 + t – 2a = 0.
Исходное уравнение не имееткорней, если:1) уравнение t2 + t – 2a = 0 не имеет корней, т.е. D < 0;2) оба корня уравнения t2 + t – 2a = 0 – неположительны.11) D = 1 + 8a; D < 0: 1 + 8a < 0; a < − ;81⎧1 + 8a ≥ 0, ⎧⎪⎪a ≥ − ,2) Используя теорему Виета: ⎨−1 ≤ 0,⎨8⎪⎩−2a ≥ 0;⎪⎩a ≤ 0.Таким образом, при а ≤ 0 уравнение не имеет решений.Ответ: (-∞; 0].2646.229. |x – 1| = ax + 2;1)2){{{{x ≥ 1,x − 1 = ax + 2;x < 1,1 − x = ax + 2;x ≥ 1,x(1 − a) = 3;x < 1,Рассмотрим первую систему:x(1 + a) = −1.3⎧ x ≥ 1,.⎨ x (1 − a ) = 3. При а = 1 решений нет; а ≠ 1, то x =1− a⎩Проверим х ≥ 1:3≥ 1;1− aПри а ∈ [-2; 1) x ={{1 − a > 0,3 ≥1− a{a < 1,.a ≥ −23.
Для второй системы:1− a1x < 1,;При а = -1 решений нет; а ≠ -1, то x = −x(1 + a) = −1.a +1−1< 1;a +1{{a + 1 > 0,a + 1 < 0,или;−1 < a + 1−1 > a + 1;{{a > −1,a < −1,илиa > −2a < −2;1.а ∈ (-∞; -2) ∪ (-1; ∞), x = −a +1Ответ: а ∈ (-∞; -2) ∪ [1; ∞), x = −13; а ∈ [-2; -1], x =;a +11− a13, x=.a +11− a6.230.
|x + 1| = 3 – ax. Решим графически:Из графика видно, что при а ∈ (-1; 1)решения два;а ∈ (-∞; -1] ∪ [1; ∞) – решений одно.Ответ: а ∈ (-1; 1) – корня два,а ∈ (-∞; -1] ∪ [1; ∞) – один корень.6.231.|x + 2| + 1 = a – 2x;Из графика видно, что при любом а,уравнение имеет один корень.Ответ: (–∞; ∞).а ∈ (-1; 1), x = −y321x-3-2-10123123-1-2y321x-3-2-10-1-2-32656.232. |x – 2| – 1 = а – 3х; |x – 2| = a + 1 – 3x;⎧ x ≥ 2,a+3x ≥ 2,⎪1)≥ 2, значит, а+3≥8; а ≥ 5;a+3 x=x − 2 = a + 1 − 3x; ⎨⎪ x =;44⎩{{⎧ x < 2,a −1x < 2,⎪< 2, значит, а–1<4; а < 5.a −1 x =− x + 2 = a + 1 − 3x; ⎪⎨ x =;22⎩Следовательно, при всех значения а решение единственное.Ответ: (-∞; ∞).2)Неравенства6.233. (2 x − 3) 3 x 2 − 5 x − 2 > 0.−13322⎧2x − 3 > 0,⎨ 2⎩3x − 5x − 2 > 0;⎧ 3⎪⎪ x > 2 ,⎨1⎪3( x − 2) ⎜⎛ x + ⎟⎞ > 0.3⎠⎪⎩⎝Ответ: (2; ∞).6.234.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
