Алгебра и нач анализа_Реш экз зад 11кл из Сборн заданий для экз_Дорофеев_Решения (991497), страница 27
Текст из файла (страница 27)
( 4 x − x 2 − 3) 5 x − 8 ≤ 0;1853⎧− ( x − 3)( x − 1) ≤ 0,⎧4 x − x 2 − 3 ≤ 0, ⎪8⎨⎨⎩5 x − 8 ≥ 0;⎪⎩ x ≥ 5 ;⎧( x − 3)( x − 1) ≥ 0,⎪⎧8 ⎫Ответ: [3; ∞) ∪ ⎨ ⎬ .8⎨⎩5 ⎭⎪⎩ x ≥ 5 .6.235. (6 x − 5) 2 x 2 − 5 x + 2 ≥ 0;12562⎧1 ⎫Ответ: [2; ∞) ∪ ⎨ ⎬ .⎩2⎭266⎧6x − 5 ≥ 0,⎨ 2⎩2x − 5x + 2 ≥ 0;⎧ 5⎪⎪ x ≥ 6 ,⎨1⎪2( x − 2) ⎛⎜ x − ⎞⎟ ≥ 0.2⎠⎪⎩⎝6.236. ( 3 x − x 2 − 2 ) 7 x + 4 < 0;⎧( x − 2 )( x − 1) > 0,⎧3 x − x − 2 < 0, ⎪4⎨⎨x7+4>0;⎩⎪⎩ x > − 7 .−471−43-122⎛ 4 ⎞Ответ: ⎜ − ; 1⎟ ∪ ( 2; ∞ ) .⎝ 7 ⎠6.237.
( 3 x + 4 ) −3 x − 2 x 2 − 1 < 0;4⎧⎪x < − ,⎧3 x + 4 < 0,⎨⎨32⎩ −3 x − 2 x − 1 > 0; ⎪ 2 x 2 + 3 x + 1 < 0;⎩4⎧⎪⎪ x < - 3 ,⎨1⎪ 2 ( x + 1) ⎜⎛ x + ⎟⎞ < 0.2⎠⎝⎩⎪−12Ответ: решений нет.6.238. (3x 2 − x − 2) 2 x − 1 ≥ 0.12f ( x) = (3x 2 − x − 2) 2 x − 1.- 1 +12⎡1⎞⎛⎞D ( f ) = ⎢ ; ∞ ⎟ ; f(x) = 0 при x = ; х = 1; ⎜ x = − ∉ D ( f ) ⎟ .23⎣2⎠⎝⎠Ответ: {1/ 2} ∪ [1; ∞ ) .6.239. (7 x + 2) 4 x − 3x 2 − 1 ≤ 0;13⎡1 ⎤f ( x) = (7 x + 2) 4 x − 3x − 1; D ( f ) = ⎢ ; 1⎥ ;⎣3 ⎦2+ 11⎛1 ⎞f(x) – непрерывна при x ∈ ⎜ ; 1⎟ .
Нули функции: x = ; х=1; х=–2/7.3⎝3 ⎠Ответ: х = 1/3; х = 1.16.240. (2 x 2 − 3x − 2) 3x + 1 > 0;−12−321⎧⎪⎪ x > − 3 ,⎧3 x + 1 > 0,⎨ 2⎨⎩ 2 x − 3x − 2 > 0; ⎪ 2 ( x − 2 ) ⎛ x + 1 ⎞ > 0.⎜⎟2⎠⎝⎩⎪Ответ: (2; ∞).2676.241.2 x 2 − 3 x + 1 > x 2 − 3x + 2;+ -11 +-12 - 1 ++1 - 2++Для второго;x 2 −3 x + 3>2⎧( x − 1)( x + 1) > 0,⎪⎪1⎞⎛⎨2 ( x − 1) ⎜ x − ⎟ ≥ 0,2⎠⎝⎪⎪⎩( x − 2 )( x − 1) ≥ 0.Для третьегонеравенства системы⎡ x < −1,Объединяя, получим ⎢⎣ x ≥ 2.6.242. 2⎧2x2 − 3x + 1 > x2 − 3x + 2,⎪ 2⎨2x − 3x + 1 ≥ 0,⎪ x2 − 3x + 2 ≥ 0;⎩Для первого;x2 − 2 x+5Ответ: (-∞; -1) ∪ [2; ∞).x 2 − 3 x + 3 > x 2 − 2 x + 5;;f ( x ) = x 2 − 3x + 3 − x 2 − 2 x + 5;⎧ x 2 − 3 x + 3 ≥ 0,D(f) = R..
х2 –3х + 3 = х2 – 2х + 5; х = -2.⎨ 2⎩ x − 2 x + 5 ≥ 0.Т.к. f(0) < 0; f ( −3) = 21 − 20 > 0, то+-2-Ответ: (-∞; -2).6.243. 3−x + 2 x+ 22≤ 3−x − x +52;⎧ x + 2 x + 2 ≥ x − x + 5,⎪ 2⎨ x + 2 x + 2 ≥ 0,⎪ x 2 − x + 5 ≥ 0;⎩22⎛1⎞6.244. ⎜ ⎟⎝3⎠x−22-52-42значит, х > 2.268⎛1⎞>⎜ ⎟⎝ 3⎠x<-2− x 2 + 2 x + 2 ≤ − x 2 − x + 5;⎧3x ≥ 3,⎪⎨ x ∈ R,⎪⎩ x ∈ R;х ≥ 1.; (а>1)x − 2 < x 2 + 3 x − 10;Ответ: [1; ∞).x 2 +3 x −10Для первого;Для второго;⎧ x − 2 ≥ 0,⎪ 2⎨ x + 3x − 10 ≥ 0,2⎩⎪ x − 2 < x + 3x − 10;⎧ x ≥ 2,⎪⎨( x − 2 )( x + 5 ) ≥ 0,Для третьего; ⎪( x − 2 )( x + 4 ) > 0.⎩Ответ: (2; ∞).⎛1⎞6.245. ⎜ ⎟⎝4⎠x+ 4⎛1⎞>⎜ ⎟⎝ 4⎠x2 +3 x + 4;-4x + 4 < x 2 + 3 x + 4;⎧ x + 4 < x 2 + 3x + 4,⎪⎨x + 4 ≥ 0⎪⎩ x 2 + 3x + 4 ≥ 0⎧ x( x + 2) > 0⎪⎨ x ≥ −4⎪⎩ x ∈ R⎛1⎞6.246.
21+ 2 x − 21 ⋅ ⎜ ⎟⎝2⎠0-2Ответ: [-4; -2) ∪ (0; ∞).2 x +3+ 2 ≥ 0;21+ 2 x − 21 ⋅ ( 22 x+3 ) + 2 ≥ 0; 21+ 2 x − 21 ⋅ ( 22 x +1 ) ⋅−1−1Замена 21+2х = t, t > 0 по свойству сте21пеней: t − t −1 + 2 ≥ 0, откуда4−1+ 2 ≥ 0.472032⎧ ⎛ 7 ⎞⎛ 3 ⎞3⎧4t 2 + 8t − 21 ≥ 0, ⎪4 ⎜ t + ⎟⎜ t − ⎟ ≥ 0,t≥ .⎨⎨ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠2⎩t > 0;⎪⎩t > 0.321+ 2 x ≥ . Логарифмируя по основанию 2, получим:2331⎛3 ⎞11 + 2 x ≥ log 2 ; 2 x ≥ log 2 − 1; x ≥ ⎜ log 2 − 1⎟ ; x ≥ log 2 3 − 1.2222⎝2 ⎠⎡1⎞Ответ: ⎢ log 2 3 − 1; ∞ ⎟ .⎣2⎠2 −3 x⎛1⎞6.247. 34−3 x − 35 ⎜ ⎟+ 6 ≥ 0; 32-3х > 0; 36-6х – 35 + 2 ⋅ 33-3х ≥ 0;⎝3⎠t = 33-3x, t > 0; t2 + 2t – 35 ≥ 0; (t + 7)(t – 5) ≥ 0; t ∈ (-∞; -7] ∪ [5; ∞).Так как t > 0, то t ∈ [5; ∞), т.е. 33-3х ≥ 5; 3 – 3х ≥ log35;11⎛⎤x ≤ 1 − log 3 5.Ответ: ⎜ −∞; 1 − log 3 5⎥ .33⎝⎦⎛1⎞6.248. 45+ 4 x − 15 ⎜ ⎟⎝4⎠3+ 4 x+ 8 ≥ 0; t = 44=4 x , t > 0;t 2 + 2t − 15 ≥ 0 ; (t − 3)(t + 5) ≥ 0 ; t ∈ ( −∞; −5] ∪ [3; ∞ ) .269Т.к.
t > 0, то t ∈ [3; ∞). Т.к. 44+4х ≥ 3; 4 + 4х≥log43; x ≥ ¼ log43 – 11Ответ: ⎡⎢ log 4 3 − 1; ∞ ⎞⎟ .4⎣⎠5− 4 x6.249. 5⎛1⎞− 2⎜ ⎟⎝5⎠3−4 x− 5 ≥ 0; (53-4х > 0); 58-8х – 2 – 5 ⋅ 53-4х ≥ 0;58-8х – 54-4х – 2 ≥ 0; (54-4х)2 – 54-4х – 2 ≥ 0;Замена t = 54-4x, t > 0.t2–t–2≥0; (t–2)(t+1) ≥ 0; t ∈ (-∞; -1] ∪ [2; ∞).Так как t > 0, то t ∈ [2; ∞);11⎛⎤54-4х ≥ 2; 4 – 4х ≥ log52; x ≤ 1 − log 5 2. Ответ: ⎜ −∞; 1 − log5 2 ⎥ .44⎝⎦+ -1- 2 +6.250. log0151( 6 x+1 − 36 x ) ≥ −2;56⎧6 x +1 − 36 x > 0,Замена t=6x, t>0;⎨ x +1x⎩6 − 36 − 5 ≤ 0.⎧6t − t 2 > 0,⎨ 2⎩−t + 6t − 5 ≤ 0;Откуда t ∈ (0; 1] ∪ [5; 6), значит,0 < 6х ≤ 1, и5 ≤ 6х < 6,х≤0log65 ≤ x < 1.6.251.
log16( 5x+1 − 25x ) ≤ −2.⎧t ( t − 6 ) < 0,⎨⎩( t − 5 )( t − 1) ≥ 0.Ответ: (-∞; 0] ∪ [log65; 1).5х+1 – 25х ≥ 6. Замена 5х = t (t > 0);⎧5 x ≥ 2,t2–5t + 6 ≤ 0; (t – 3)(t – 2) ≤ 0; t ∈ [2; 3], т.е. ⎨ x⎩5 ≤ 3;{x ≥ log 5 2,x ≤ log 5 3.Ответ: [log52; log53].6.252. log0112( 3x+2 − 9 x ) ≥ −6;89⎧3x+ 2 − 9 x > 0,xx⎪−6 ⎧9 − 9 ⋅ 3 < 0,⎨ x+ 2⎛ 1 ⎞ ⎨ xxx993−⋅+ 8 ≥ 0.39;−≤⎩⎜⎟⎪⎝ 2⎠⎩xЗамена t = 3 , t > 0.⎧t 2 − 9t < 0,⎨2⎩t − 9t + 8 ≥ 0;⎡ 3 x ≤ 1,Откуда t ∈ (0; 1] ∪ [8; 9), т.е.
⎢ ⎧3 x ≥ 8,⎢⎨⎢⎣ ⎩3 x < 9;Ответ: (-∞; 0] ∪ [log38; 2).270⎧t ( t − 9 ) < 0,⎨⎩( t − 1)( t − 8 ) ≥ 0.⎡ x ≤ 0,⎢ x ≥ log 3 8,⎢⎣⎢ x < 2.{6.253. log2(2 – 3x) > 4x + 1.; у1 = 4х + 1; у2 = log2(2 – 3x).2⎞⎛D ( y2 ) = ⎜ −∞; ⎟ ; у1 возрастает, у2 убывает.3⎠⎝Точка пересечения этих графиков (0; 1).Ответ: (-∞; 0).6.254. log2(2 + x) > 1 – x; y1 = log2(x + 2); y2 = 1 – x;D(y1) = (-2; ∞), D(y2) = R.
у1(х) возрастает.ху1-100122у2(х) убывает, у2(0) = 1, у2(1) = 0.; Ответ: (0; ∞).6.255. 9х – 2 ⋅ 3х < 3. Замена t = 3x, (t > 0). t2 – 2t – 3 < 0;(t – 3)(t + 1) < 0. t ∈ (-1; 3). Учитывая, что13t>0, получим t ∈ (0; 3), т.е. 0 < 3x < 3; x < 1.Ответ: (-∞; 1).6.256. 4х – 3 ⋅ 2х < 4; Замена t = 2x, (t > 0); t2 – 3t – 4 < 0; t∈ (–1;4).Учитывая, что t > 0 получим t ∈ (0;4) т.е. 0 < 2x < 4; x < 2.Ответ: (-∞; 2).22x +5 > 0;6.257.
log x5 (1 − x )⎡ ⎧ x > 1,⎢ ⎪⎪2⎢⎨ 2x + − 5 + 5x5⎢⎪> 0;⎢ ⎪⎩5 (1 − x )⎢⎢⎧⎢ ⎪0 < x < 1,⎢⎪⎢⎪ 2x + 2⎢ ⎪⎪5 > 0,⎢⎨⎢ ⎪ 5 (1 − x )⎢⎪2⎢⎪ 2x + 5 − 5 + 5x< 0;⎢⎪5 (1 − x )⎢⎣ ⎩⎪⎡ ⎧ x > 1,⎢ ⎪⎪2⎢⎨ 2x +5 > 1;⎢⎪⎢ ⎪⎩ 5 (1 − х )⎢⎢ ⎧0 < x < 1,2⎢ ⎪⎪2x +⎢⎨5< 1;⎢ ⎪0 <5 (1 − x )⎢⎣ ⎪⎩1-я система:23351⎡ ⎧ x > 1,⎢⎪ ⎛23⎢ ⎪⎨ 7 ⎜ x − ⎞⎟35 ⎠⎢⎪ ⎝⎢ ⎪ 5 (1 − x ) > 0;⎢⎩⎢⎧⎢⎪⎢⎪0 < x < 1,⎢⎪2⎢⎪ 2 x +5 > 0,⎢ ⎪⎨⎢ ⎪ 5 (1 − x )⎢⎢ ⎪⎪ 7 ⎛ x − 23 ⎞⎟⎢ ⎪ ⎜⎝35 ⎠< 0.⎢⎪51x−)⎢⎣ ⎩ (- нет решений2711501023351−2-я система:6.258. log x−14⎛ 23 ⎞x ∈ ⎜ 0; ⎟ .⎝ 35 ⎠4x + 1< 0.6( x − 1)Рассмотрим функцию f ( x) = logx104x +1и6( x −1)найдем значения х, при которых f(x)<0.;⎧⎪ x > 0,4x + 1⎪D(f) = (1; ∞). log x= 0;Найдем D(f): ⎨ x ≠ 1,6 ( x − 1)⎪ 4x + 1⎪ 6 x − 1 > 0.)⎩ (172+-4x + 17 ⎛7⎞= 1; 2х = 7; x = , f ⎜ ⎟ = 0.2 ⎝2⎠6 ( x − 1)f ( 2 ) = log 2Ответ: (3,5; ∞).3x + 26.259.
log x≥ 0. ;4 (1 − x )2−301D(f) = (0; 1). log x0272+27- 1317> 0; f ( 4 ) = log 2< 0.218f ( x ) = log x3x + 2.4 (1 − x )⎧⎪ x > 0,⎪Найдем D(f): ⎨ x ≠ 1,⎪ 3x + 2> 0;⎪⎪⎩ 4 (1 − x )⎧⎪ x > 0,⎪⎪ x ≠ 1,⎨2⎪ 3( x + )3 > 0.⎪⎩⎪ 4(1 − x)3x + 23x + 22= 0;= 1; x = ;4(1 − x)4(1 − x)71723⎛1⎞⎛3⎞f ⎜ ⎟ = log 1< 0; f ⎜ ⎟ = log 3< 0, т.е.2416⎝7⎠⎝7⎠77x ∈ ( 0; 2/7 ] . Ответ: ( 0; 2/7 ] .6.260. log x2x + 5≤0 ;4( x − 1)⎡⎧⎢ ⎪ x > 1,⎢⎪⎢ ⎪ 2 x + 5 ≤ 1,⎢ ⎨ 4 ( x − 1)⎢⎪ 2x + 5⎢⎪>0⎢ ⎪⎩ 4 ( x − 1)⎢⎢ ⎧⎪0 < x < 1,⎢⎨ 2x + 5⎢ ⎪ 4 ( x − 1) ≥ 1;⎣⎢ ⎩для первой системы:для второй системы:11⎡⎧⎢ ⎪ x > 1,⎢⎪⎢ ⎪ 2 ( x − 4,5 ) ≥ 0,⎢ ⎨ 4 ( x − 1)⎢⎪⎢ ⎪ 2 ( x + 2,5 )⎢ ⎪ 4 ( x − 1) > 0⎢⎩⎢⎧0 < x < 1,⎢ ⎪ 2 ( x − 4, 5 )⎢⎨≤ 0;⎢⎣ ⎪⎩ 4 ( x − 1)⎡⎧⎢ ⎪ x > 1,⎢⎪⎢ ⎪ −2 x + 9 ≤ 0,⎢ ⎨ 4 ( x − 1)⎢⎪ 2x + 5⎢⎪>0⎢ ⎪⎩ 4 ( x − 1)⎢⎢ ⎧⎪0 < x < 1,⎢ ⎨ −2 x + 9⎢ ⎪ 4 ( x − 1) ≥ 0;⎣⎢ ⎩014,51-2,514,5x ≥ 4.5;- решенийнетОтвет: [4,5; ∞).6.261.
log5 x −4 x2 4− x > 0;− x ⋅ log5 x −4 x2 4 > 0; x log 5 x−4 x2 4 < 0.f ( x) = x log 4 x−4 x2 4 .⎧5 x − 4 x 2 > 0,Область определения: ⎨2⎩5 x − 4 x ≠ 1;5⎞⎧ ⎛⎪4 x ⎜ x − ⎟ < 0,4⎠⎨ ⎝⎪ 2⎩4 x − 5 x + 1 ≠ 0.14х2 – 5х + 1 = 0: x1 = , х2 = 1. Решая неравенство, найдем4⎛ 5⎞⎛ 1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ 5⎞x ∈ ⎜ 0; ⎟ . D ( f ) = ⎜ 0; ⎟ ∪ ⎜ ; 1⎟ ∪ ⎜ 1; ⎟ . х = 0;⎝ 4⎠⎝ 4⎠ ⎝4 ⎠ ⎝ 4⎠x log 5 x −4 x2 4 = 0 - нет решений.
f(x) не обращается в 0 на D(f).⎛1⎞⎛1⎞⎛9⎞f ⎜ ⎟ > 0; f ⎜ ⎟ < 0; f ⎜ ⎟ < 0;⎝ 2⎠⎝8⎠⎝8⎠⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞Ответ: ⎜ 0; ⎟ ∪ ⎜ 1; ⎟ .⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠105- 4 +1 -42736.262. log −6 x−5 x2 6 x > 0;⎧−6 x − 5 x 2 > 1;⎨ x⎩6 > 1или1⎞⎧ ⎛⎪5 ⎜ x + ⎟ ( x + 1) < 0,⎨ ⎝5⎠⎪⎩ x > 0- решений нет.⎧0 < −6 x − 5 x 2 < 1,⎨ x⎩6 < 1.-1⎧ ⎛6⎞⎪5 x ⎜ x + 5 ⎟ < 0,⎠⎪ ⎝⎪ ⎛1⎞⎨5 ⎜ x + ⎟ ( x + 1) > 0,5⎠⎪ ⎝⎪ x < 0.⎪⎩−156500-1Итак, x ∈ ( −6 / 5; − 1) ∪ ( −1/ 5; 0 ) .−150Ответ: ( −6 / 5; − 1) ∪ ( −1/ 5; 0 ) .6.263. log 4+ x2 8 < 1. Т.к. 4 + х2 ≥ 4; 8 < 4 + x2; x2 > 4;х ∈ (-∞; -2) ∪ (2; ∞).Ответ: (-∞; -2) ∪ (2; ∞).6.264.
log x2 + 2 3 ≥ 1. Т.к. х2 + 2 ≥ 2,; х2 + 2 ≤ 3; х2 ≤ 1; х ∈ [-1; 1].Ответ: [-1; 1].6.265. log 7 x − log x1≥ 2;7основанию 7. log 7 x +log 7 x + log x 7 ≥ 2; перейдем в logx7 к1≥ 2, х ≠ 1, х > 0. Замена: log7x = t.log 7 x1(t − 1)2t + ≥ 2;≥ 0; t > 0, т.е. log7x > 0; x > 1. Ответ: (1; ∞).tt16.266. 2log 2 x − 2 > log x ; log2x + logx2 ≥ 2, x > 0, x ≠ 1.21u 2 − 2u + 1(u − 1)2− 2 ≥ 0;≥ 0;≥ 0; u>0.uuuТ.е. log2x > 0; x > 1. Ответ: (1; ∞).16.267. log x + log 4 x −1 ≤ −2; -logx4 – log4x ≥ -2; x > 0, x ≠ 1;4logx4 + log4x ≥ 2.
Замена log4x = t.Замена: log2x=u. u +274t 2 + 1 − 2t(t − 1)2≥ 0;≥ 0. Откуда t > 0. log4x > 0; x > 1.ttОтвет: (1; ∞).6.268. logx3 – 4 ≥ -4log3x; logx3 + 4log3x – 4 ≥ 0; x > 0, x ≠ 1.14t 2 − 4t + 1(2t − 1)2Замена log3x = t. + 4t − 4 ≥ 0;≥ 0;≥ 0; t > 0.tttlog3x > 0, т.е. х > 1.
Ответ: (1; ∞).86.269. log 8 log 1 ( x 2 − x − 6 ) ≥ 0. Т.к. > 1,3321⎧ 2⎪x − x − 6 ≤ ,log 1 ( x 2 − x − 6 ) ≥ 1; ⎨222⎩⎪ x − x − 6 > 0;⎧ ⎛1 + 3 3 ⎞⎛1− 3 3 ⎞⎪2 ⎜⎜ x −⎟⎜ x −⎟ ≤ 0,2 ⎟⎜2 ⎟⎠⎨ ⎝⎠⎝⎪ x − 3 x + 2 > 0.)()⎩(⎧2 x 2 − 2 x − 12 ≤ 1,⎨ x − 3 x + 2 > 0;)()⎩(1− 3 32-231+ 3 32⎡1 − 3 3⎞ ⎛ 1+ 3 3⎤Ответ: ⎢; − 2 ⎟⎟ ∪ ⎜⎜ 3;⎥.2 ⎦⎥⎣⎢ 2⎠ ⎝6.270. log 1 ( 2 x + 2 − 4 x ) ≤ −2.3−2⎛ 1 ⎞хх+22x+2 − 4 x ≥ ⎜⎟ ; 4 – 2 + 3 ≤ 0.⎝ 3⎠Замена 2х = t, t > 0. t2 – 4t + 3 ≤ 0; (t – 3)(t – 1) ≤ 0; t ∈ [1; 3].Т.е. 1 ≤ 2х ≤ 3; 0 ≤ х ≤ log23.Ответ: [0; log23].6.271. log 27 log5 ( x 2 − 2 x − 3) ≤ 0.41+ -2Равносильно log5(х2 – 2х – 3) ≥ 1; х2–2х–3 ≥ 5;х2 – 2х – 8 ≥ 0; (х + 2)(х – 4) ≥ 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
