Алгебра и нач анализа_Реш экз зад 11кл из Сборн заданий для экз_Дорофеев_Решения (991497), страница 22
Текст из файла (страница 22)
|cos α| ≤ 1;Ответ: ±π6+ π m, m ∈ Z .6.73. tgx (1 − 2sin x ) − 2cos x = 3; cos x ≠ 0;sin x − 2sin 2 x − 2cos 2 x − 3 cos x = 0;sin x − 3 cos x − 2 = 0; sin x − 3 cos x = 2;22213π⎞π π⎛sin x −cos x = 1; sin ⎜ x − ⎟ = 1; x − = + 2π k , k ∈ Z ;223⎠3 2⎝55Ответ: π + 2π k , k ∈ Z .x = π + 2π k , k ∈ Z .666.74.3 sin 2 x + 2sin 2 x − 1 = 2cos x;⎛π⎞⎛π⎞− cos ⎜ + 2 x ⎟ − cos x = 0; cos ⎜ + 2 x ⎟ + cos x = 0;⎝3⎠⎝3⎠⎛π 3 ⎞ ⎛π x ⎞2cos ⎜ + x ⎟ cos ⎜ + ⎟ = 0;⎝ 6 2 ⎠ ⎝ 6 2⎠⎛π 3 ⎞⎛π x ⎞илиcos ⎜ + ⎟ = 0;cos ⎜ + x ⎟ = 0⎝ 6 2⎠⎝6 2 ⎠π 3ππ x π+ x = + π k, k ∈ Z;+ = + π m, m ∈ Z ;6 2 26 22222x = π − π k, k ∈ Z ;x = π + 2π m, m ∈ Z .93322Ответ: π (1 + 3k ) ; π (1 + 3m ) , k, m ∈ Z.936.75.3 sin 2 x + 2cos 2 x − 1 = 2sin x;π⎞⎛3 sin 2 x + cos 2 x = 2sin x; sin ⎜ 2 x + ⎟ = sin x;6⎠⎝ππ2x + − x2x + + xπ⎞⎛66= 0;sin ⎜ 2 x + ⎟ − sin x = 0; 2sincos6⎠22⎝π ⎞⎛x π ⎞⎛3илиcos ⎜ x + ⎟ = 0;sin ⎜ + ⎟ = 012 ⎠⎝ 2 12 ⎠⎝2π3π πx= − + π n, n ∈ Z ;x = − + + π m, m ∈ Z ;212212 2π52Ответ: − + 2π n;π + π m, m ∈ Z .6183()6.76.
−ctgx 2cos x + 3 = 2sin x; sin x ≠ 0;−2cos 2 x − 3 cos x − 2sin 2 x = 0;2233 cos x = −2; cos x = −2 32 3> 1.- решений нет, т.к.33Ответ: решений нет.6.77.10 cos x − 4cos x − cos 2 x = 0;⎧10cos 2 x = 4cos x − cos 2 x,⎨⎩0 ≤ cos x ≤ 1;210cos x – 4cos x + cos2x = 0, 12cos2x – 4cos x – 1 = 0,D11= 4 + 12 = 16; t1 = ; t2 = − ;cos x = t; 12t2 – 4t – 1 = 0;426111πcos x = или cos x = − ; cos x = ; x = ± + 2π n, n ∈ Z .326210 cos x = 4cos x − cos 2 x ;Ответ: ±6.78.π+ 2π n, n ∈ Z .35 sin 2 x − 1 + 8sin x cos x = 0;5 sin 2 x = 1 + 8sin x cos x ;⎧ 5 sin 2 2 x − 4 sin 2 x − 1 = 0,⎨⎩ 0 ≤ sin 2 x ≤ 1;5 sin 2 x = 1 + 4sin 2 x ;⎧ ⎡ sin 2 x = 1,⎪⎪ ⎢1⎨ ⎢ sin 2 x = − ,5⎪⎣≤≤0sin2x1,⎪⎩значит, sin2x = 1;πππ+ 2π n; x = + π n, n ∈ Z .Ответ: + π n, n ∈ Z .2446.79.
4sin3x sin x + 2cos2x + 1 = 0; 2cos2x–2cos4x + 2cos2x + 1 = 0;224cos2x – 2(2cos 2x – 1) + 1 = 0; 4cos 2x – 4cos2x – 3 = 0; cos2x = y;1D= 4 + 12 = 16; y1 = − , y2 = 1,5;4y2 – 4y – 3 = 0;421) cos2x = 1,5 – корней нет, т.к. |cos y| ≤ 1;12π2) cos 2 x = − ; 2 x = ± π + 2π n, n ∈ Z .Ответ: .2336.80. 8cos6x cos2x + 2sin24x – 3 = 0;18 ⋅ ( cos 4 x + cos8 x ) + 2sin 2 4 x − 3 = 0; 3cos8x + 4cos4x – 2 = 0;23(2cos24x – 1) + 4cos4x – 2 = 0; 6cos24x + 4cos4x – 5 = 0; cos4x = y;2x =6y2 + 4y – 5 = 0;224D= 4 + 30 = 34;4y1 =−2 − 34−2 + 34; y2 =;661) cos 4 x =−2 − 34−2 − 34> 1;- нет корней, т.к.662) cos 4 x =−2 + 34134 − 2 π; x = ± arccos+ n, n ∈ Z .6462134 − 2- наименьший положительныйПри n = 0; x = arccos46корень.134 − 2 π0 < arccos< ,464Т.к.аеслиn=1и134 − 2 ππ134 − 2 π πx = − arccos+ , то< − arccos+ < , т.е.4624462 2134 − 2 π+x = − arccosне является наименьшим положитель462134 − 2arccos.4626.81.
sin4x + 2cos x = 1, |x| < 1; sin4x + 2cos2x – 1 = 0;sin4x + cos2x = 0; cos2x(2sin2x + 1) = 0;cos2x = 0или2sin2x = -1;ным корнем. Ответ:2x =x=x=ππ4π42+ π m, m ∈ Z ;2 x = ( −1)πx = ( −1)+2m, m ∈ Z ;при m = 0; x = −π4при m = -1; x = −k +1k +1π6π12π12+ π k, k ∈ Z;+π2k, k ∈ Z.при k = 0.ππОтвет: ± ; − .4126.82. 2sin2x + cos4x = 1, |x| < 1; cos4x = 1 – 2sin2x; cos4x = cos2x;2cos22x – 1 = cos2x; 2cos22x – cos2x – 1 = 0;⎡cos 2 x = 1,⎡ 2 x = 2π n,⎡ x = π n, n ∈ Z ,⎢⎢π2π1 ⎢+ 2π k ; ⎢ x = ± + π k , k ∈ Z .⎢cos 2 x = − ; ⎢ 2 x = ±33⎣2 ⎣⎣Условию |x| < 1 удовлетворяет только число х = 0 при n = 0.Ответ: 0.2256.83. sin x = x2 + 2x + 2.
Т.к. |sin x| ≤ 1, то |х2 + 2х + 2| ≤ 1;⎧⎪( x + 1)2 ≤ 0,⎧ x 2 + 2 x + 2 ≤ 1,х = -1. Проверкой убежда⎨ 2⎨2xx221;++≥−⎩⎪⎩( x + 1) + 2 ≥ 0;емся, что число –1 не является корнем уравнения.Ответ: корней нет.6.84. cos x = x2 – 2x + 2;2⎧ x 2 − 2 x + 2 ≥ −1, ⎧ x 2 − 2 x + 3 ≥ 0, ⎧⎪( x − 1) + 2 ≥ 0,х = 1.⎨ 2⎨ 2⎨2⎩ z − 2 x + 2 ≤ 1;⎩ x − 2 x + 1 ≤ 0; ⎪⎩( x − 1) ≤ 0;Проверкой убеждаемся, что 1 не является корнем данного уравнения. Ответ: корней нет.6.85. 8sin x = x2 – 10x + 33; |8sin x| ≤ 8, значит, -8≤х2–10х + 33 ≤ 8;22⎪⎧( x − 5 ) + 8 ≥ −8, ⎪⎧( x − 5 ) + 16 ≥ 0,-8 ≤ (х – 5)2 + 8 ≤ 8; ⎨х = 5.⎨22⎪⎩( x − 5 ) + 8 ≤ 8; ⎪⎩( x − 5 ) ≤ 0;2При х = 5 имеем 8sin x < 0, а х – 10х + 33 > 0.
Ответ: нет корней.6.86. 2cos x = -x2 + 12x – 37.Так как |cos x| ≤ 1, то |2cos x| ≤ 2;+ -2 ≤ -х2+12х – 37 ≤ 2; -2 ≤ -(х – 6)2 – 1 ≤ 2;+-1 ≤ -(х – 6)2 ≤ 3; -3 ≤ (х – 6)2 ≤ 1;57⎧⎪( x − 6 )2 ≥ −3,⎨2⎩⎪( x − 6 ) ≤ 1;22⎪⎧( x − 6 ) + 3 ≥ 0, ⎪⎧( x − 6 ) ≥ −3,⎨ 2⎨xx − 7 ) ≤ 0;−5()(12350;−+≤xx⎪⎩⎩⎪5 ≤ x ≤ 7. Если х ∈ [5; 7], cos x > 0, а значит, и 2cos x > 0;-х2 + 12х – 37 < 0, так как –х2 + 12х – 37 = -(х – 6)2 – 1.Это означает, что данное уравнение не имеет корней.Ответ: нет корней.πx = x 2 − 2 x + 2; 1.
х2 – 2х + 2 = (x – 1)2 + 1;2Видно что равенство (1) может иметь место только при х = 1.6.87. sinsinπ2= 1; – верно.πОтвет: 1.x = 12 x − 37 − x 2 .212х – 37 – х2 = -1 – (х2 – 12х + 36 = -1 – (х – 6)2.6.88. sin226Значит, 12х – 37 – х2 ≤ -1. Так как sinπ≤ 1, то единственным2корнем уравнения может быть х = 6. Проверкой убеждаемся, чтох = 6 не является корнем уравнения.
Ответ: нет корней.6.89. 4− x+12− 7 ⋅ 2− x = 4; 2 ⋅ 4-х – 7 ⋅ 2-х – 4 = 0. Замена t = 2-x, t > 0;12t2 – 7t - 4 = 0; D = 81; t1 = 4; t2 = − ; 2-x = 4; х = -2. Ответ: -2.26.90. 36 x−3 = 2 ⋅ 27x−23+ 1; 27 2 x −1 = 2 ⋅ 27x−23+ 1;11t2 2⋅ 27 2 x = 2 ⋅ ⋅ 27 x + 1; замена t = 27x, t > 0;− ⋅ t − 1 = 0;27927 922t2 – 6t – 27 = 0; t1 = 9, t2 = -3; 27х = 9; 33х = 32; x = . Ответ: .336.91.
43 x2+x− 8 = 2⋅8x2 +x3;64x2 +t2 – 2t – 8 = 0; t1 = 4, t2 = -2; 8x3x2 +x3− 8 − 2 ⋅8= 4; 23 xx2 +x3+x= 22 ;223х2 + х = 2; 3х2 + х – 2 = 0; х1 = -1, x2 = .3x+= 0; 8x2 +x3= t ; t > 0;Ответ: -1;2.326.92. 26 x + 8 3 = 5; 26х + 4 ⋅ 23х – 5 = 0; 23х = t, t > 0;Ответ: 0.t2 + 4t – 5 = 0; t1 = -5, t2 = 1; 23х = 1; х = 0.6.93.
64х + 22+3х – 12 = 0; 82х + 22 ⋅ (23)х – 12 = 0; 8х = t, t > 0;11t2 + 4t – 12 = 0; t1 = -6, t2 = 2; 8х = 2; 23х = 2; x = . Ответ: .336.94. 4 x −2 + 16 = 10 ⋅ 2 x−2 ; замена t = 2t2 – 10t + 16 = 0; t1 = 2, t2 = 8;x−21) 2x−2= 2;x − 2 = 1; х – 2 = 1; х1 = 3;2) 2x−2= 8;x − 2 = 3; х – 2 = 9; х2 = 11., t > 0;Ответ: 3; 11.6.95. 42|x|-3 – 3 ⋅ 4|x|-2 – 1 = 0, замена t = 4|x|, t > 0;1 2 3⋅ t − t − 1 = 0; t2 – 12t – 64 = 0; t1 = -4, t2 = 16;64164|x| = 16; |x| = 2; x = ±2.Ответ: ±2.2276.96.
8х + 18х = 2 ⋅ 27х (18х ≠ 0);2xxx23 x33 x⎛2⎞⎛ 3⎞⎛2⎞+ 1 = 2 ⋅ x 2 x ; ⎜ ⎟ + 1 = 2 ⎜ ⎟ ; замена t = ⎜ ⎟ ,2 x ⋅ 32 x2 ⋅3⎝3⎠⎝ 2⎠⎝3⎠2 32t > 0; t + 1 = ; t + 1 – 2 = 0, t = 1 – корень уравнения.tt3 – t – 2 = (t – 1)(t2 + t + 2); t2 + t + 2 = 0; D = -7 < 0 – решений нет;x⎛2⎞t = 1; ⎜ ⎟ = 1; х = 0. Ответ: 0.⎝3⎠6.97. 2х3 = –18 – х; 2х3 + 18 + х = 0; х = -2;32х + 18 + х = (х + 2)(2х2 – 4х + 9).D= 4 − 18 < 0 - решений нет.Решим 2х2 – 4х + 9 = 0;4Ответ: -2.6.98.
х3 + 33 = -2х; х3 + 2х + 33 = 0; х = -3 – корень уравнения.х3 + 2х + 33 = (х + 3)(х2 – 3х + 11);х2 – 3х + 11 = 0; D = 9 – 44 = -35 < 0. Значит, корней нет.Ответ: -3.6.99. х5 + 2х3 = 48; х5 + 2х3 – 48 = 0, х = 2 – корень уравнения.х5 + 2х3 – 48 = (х – 2)(х4 + 2х3 + 6х2 + 12х + 24);х4 + 2х3 + 6х2 + 12х + 24 = х2(х2 + 2х + 1) + (4х2 + 12х + 9) ++ 15 + х2 = х2 + х2(х + 1)2 + (2х + 3)2 + 15 > 0. Следовательно, уравнение х4 + 2х3 + 6х2 + 12х + 24 = 0 корней не имеет.Ответ: 2.6.100.
х5 + 4х = -40; х5 + 4х + 40 = 0, х = -2 – корень уравнения.х5 + 4х + 40 = (х + 2)(х4 – 2х3 + 4х2 – 8х + 20);х4 – 2х3 + 4х2 – 8х + 20 = (х4 – 2х3 + х2) + 2х2 + х2 – 8х + 16 + 4 == х2(х – 1)2 + 2х2 + (х – 4)2 + 4 > 0. Следовательно, уравнениеОтвет: –2.х4 – 2х3 + 4х2 – 8х + 20 = 0 корней не имеет.6.101. 2х + х = 3; у1 = 2х; у2 = 3 – х.Ответ: 1.6.102. 2х = 6 – х.Ответ: 2.33x +1x +16.103. 2 + x = − ; 2 = − x − .Ответ: –2.2216.104. 2 x = − − xОтвет: –1.2(6.105. 15 xx2 + x−2)15(2282+ x−2x −4)x−4= 1;= 1, откуда ( x 2 + x − 2 ) x − 4 = 0;⎡ ⎧ ⎡ x = −2,⎢ ⎨⎪ ⎢ x = 1,⎢⎪⎣⎢⎩ x − 4 ≥ 0,⎣⎢ x = 4;⎡ ⎧ x 2 + x − 2 = 0,⎢ ⎨ x − 4 ≥ 0,⎢⎩⎢⎣ x = 4;х = 4.Ответ: 4.6.106.
(0,7 x−4 )x 2 −2 x −15= 1. ( x − 4) x 2 − 2 x − 15 = 0;⎡ ⎧ x = 4,⎢ ⎨ x 2 − 2 x − 15 ≥ 0,⎢⎩2⎢⎣ x − 2 x − 15 = 0;Ответ: -3; 5.6.107. (17x 2 + 2 x −8 x +3)х2 – 2х – 15 = 0; х1 = -3, х2 = 5.= 0. При данном условии решений нет. Воз-можно, условие должно быть таким: (17x 2 + 2 x −8 x + 3)= 1.x 2 + 2 x − 8 ( x + 3) = 0;⎡ ⎧ x = −3,⎢ ⎨ x 2 + 2 x − 8 ≥ 0,х2 + 2х – 8 = 0; х1 = -4, х2 = 2.⎢⎩2+−=x2x80;⎢⎣Ответ: -4; 2.23⎧ 1⎪⎪ 2 x − 3 y + 3x − 2 y = 4 ,11; v=;6.108. ⎨. Заменим u =42x − 3y3x − 2 y⎪ 3+= 1.⎩⎪ 2 x − 3 y 3x − 2 y3⎧⎪u + 2v = ,⎨4⎪⎩3u + 4v = 1;⎧2 x − 3 y = −2,⎪⎨3 x − 2 y = 8 ;5⎩⎪3⎧⎪u = 4 − 2v,⎨9⎪ − 2v = 1;⎩41⎧u=− ,⎪2⎨ 5⎪v = ;⎩⎪ 83y − 2⎧⎪x = 2 ,⎨3⎪ (3 y − 2) − 2 y = 8 ;5⎩⎪ 23y − 2⎧⎪x = 2 ,⎨5⎪ y = 23 ;5⎩⎪ 244⎧⎪ x = 25 ,⎨⎪ y = 46 .25⎩⎪⎛ 44 46 ⎞Ответ: ⎜ ;⎟.⎝ 25 25 ⎠22910⎧ 1⎪⎪ x + y − x − y = 1,11; v=;6.109.
⎨. Заменим u =x+ yx− y⎪ 1 + 2 = − 3.5⎩⎪ x + y x − y⎧u − 10v = 1,⎪⎨u + 2v = − 3 ;⎪⎩5⎧u = 1 + 10v,⎪⎨12v = − 8 ;⎪⎩51⎧u=− ,⎪3⎨⎪v = − 2 ;⎪⎩15⎧ x + y = −3,⎪⎨ x − y = − 15 ;2⎩⎪⎧ y = −3 − x ,⎪⎨ 2 x = − 21 ;2⎩⎪9⎧⎪y = 4,⎨⎪ x = − 21 .4⎩⎛ 21 9 ⎞Ответ: ⎜ − ; ⎟ .⎝ 4 4⎠6.110.⎧4 x 2 − 8 xy + 4 y 2 = 9 x 2 y 2 , ⎧−8 xy = 4 x 2 y 2 ,⎧2x − 2 y = 3xy,⎨ 2⎨ 222 2 ⎨222 222 2⎩4x + 4 y = 5x y .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
