Алгебра и нач анализа_Реш экз зад 11кл из Сборн заданий для экз_Дорофеев_Решения (991497), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Ответ: (4; 1).6.139.{2 x − sin x = 2 y − sin y,x + 2 y = 9.Пусть f(t) = 2t – sin t, D(f) = R, f’(t) = 2 – cos t, f’(t) > 0.Равенство f(x) = f(y) возможно лишь при х = у. 3у = 9; у = 3, х = 3.Ответ: (3; 3).6.140.{3x + cos x = 3 y + cos y,3x − y = 6.Пусть f(t) = 3t + cos t, D(f) = R, f’(t) = 3 – sin t, f’(t) > 0.Равенство f(x) = f(y) возможно лишь при х = у.3х – х = 6; х = 3, у = 3. Ответ: (3; 3).⎧⎪ x + y − 1 = 1,6.141. ⎨⎪⎩ x − y + 2 = 2 y − 2;⎧ x + y − 1 = 1,⎪2⎨ x − y + 2 = 4 y − 8 y + 4,⎪⎩2 y − 2 ≥ 0;⎧ x = 2 − y,⎪ 2⎨4 y − 6 y = 0,⎪⎩ y ≥ 1;{⎧⎡ y = 0,⎪ ⎢ x = 2;⎪⎢⎪⎪ ⎢ ⎧ y = 3 ,⎨⎢⎪2⎪⎢⎨1⎪⎢⎪ x = ,2⎪ ⎣⎢ ⎩⎪⎩ y ≥ 1;⎧ x + y = 2,⎪2⎨ x = 4 y − 7 y + 2,⎪⎩ y ≥ 1;13x= , y= .22⎛1 3⎞Ответ: ⎜ ; ⎟ .⎝ 2 2⎠239⎪⎧ x − y + 5 = 3,6.142. ⎨⎪⎩ x + y − 5 = −2 x + 11;⎧ x − y + 5 = 9,⎪2⎨ x + y − 5 = 4 x − 44 x + 121,⎪⎩11 − 2 x ≥ 0;⎧⎪ y = x − 4,⎪ 2⎨ 4 x − 46 x + 130 = 0,⎪11⎪x ≤ ;⎩22х2 – 23х + 65 = 0; D = 9; х1 = 5, x2 =1313 11, но> ; х = 5, у = 1.22 2Ответ: (5; 1).⎧⎪ x + 3 y + 1 = 2,6.143.
⎨⎪⎩ 2 x − y + 2 = 7 y − 6;⎧ x + 3 y + 1 = 4,⎪2⎨2 x − y + 2 = 49 y − 84 y + 36,⎩⎪7 y − 6 ≥ 0;⎧⎪ x = 3 − 3 y,⎪2⎨6 − 6 y − y + 2 = 49 y − 84 y + 36,⎪6⎪y ≥ ;7⎩⎧⎪ x = 3 − 3 y,⎪2⎨49 y − 77 y + 28 = 0,⎪6⎪y ≥ ;7⎩11 ± 32249у – 77у + 28 = 0; 7у – 11у + 4 = 0; D = 9; y1,2 =;1446у1 = 1; y2 = - неравенству y ≥ не удовлетворяет; у = 1, х = 0.77Ответ: (0; 1).⎪⎧ y − x − 1 = 1,6.144. ⎨⎪⎩ x − 2 y + 3 = 3 y − 2 x − 1.Замена: 3у – 2х = u, y – x = v, тогда х – 2у = v – u.⎪⎧ v − 1 = 1,⎨⎪⎩ v − u + 3 = u − 1;⎧ v = 2,⎪2⎨ v − u + 3 = u − 2u + 1,⎪⎩u − 1 ≥ 0;⎧v = 2,1 ± 17⎪ 22.⎨u − u − 4 = 0, u – u – 4 = 0; D = 17; u1,2 =2⎪⎩u ≥ 1;Т.к. u ≥ 1, то u =2401 + 17, тогда2⎧ y − x = 2,⎪1 + 17⎨;⎪⎩3 y − 2 x =2⎧ y = x + 2,⎪⎨ 1 + 17− 6;⎪⎩ x =2⎧−7 + 17,y=⎪⎪2⎨⎪ x = −11 + 17 .⎪⎩2⎛ −11 + 17 −7 + 17 ⎞Ответ: ⎜⎜;⎟⎟ .22⎝⎠Модули6.145.
|2x – 3| = 3 – 2x; 2х – 3 ≤ 0; х ≤ 1,5.6.146. |4 – 5x| = 5x – 4; 5x – 4 ≥ 0; x ≥ 0,8.26.147. |3x – 5| = 5 – 3х; 5 – 3х ≥ 0, x ≥ 1 .376.148. |7 – 4x| = 7 – 4х; 7 – 4х ≥ 0, x ≥ .46.149. |5x – 13| - |6 – 5x| = 7;1) 5x < 6: -5x + 13 – 6 + 5x = 7; 7 = 7; x < 1,2;Ответ: (-∞; 1,5].Ответ: [0,8; ∞).2⎤⎛Ответ: ⎜ −∞; 1 ⎥ .3⎦⎝7⎤⎛Ответ: ⎜ −∞; ⎥ .4⎦⎝2) 6 ≤ 5х ≤ 13: -5х + 13 + 6 – 5х = 7; 5х = 6; x = 1,2;3) 5х > 13: 5х – 13 + 6 – 5х = 7; -7 = 7 – неверно, решений нет.Ответ: ( −∞;1,2] .6.150.
|3x – 8| - |3x – 2| = 6;1){⎧3 x − 8 ≤ 0,⎪2) ⎨3 x − 2 ≥ 0,⎪⎩−3 x + 8 − 3 x + 2 = 6;3){{3x − 2 < 0,−3x + 8 + 3x − 2 = 6;{3x − 2 > 0,3x − 8 − 3 x + 2 = 6;3x < 2,6 = 6;2x< ;32 ≤ 3x ≤ 8,3x = 2;2x= ;3{3x > 2,- неверно, решений нет.−6 = 62⎤⎛Ответ: ⎜ −∞; ⎥ .3⎦⎝6.151. |16 – 9x| - |9x – 5| = 11;1){9 x − 5 < 0,16 − 9 x + 9 x − 5 = 11,{9 x − 5 < 0,11 = 11;5x< ;92412)3){{5 ≤ 9 x ≤ 16,16 − 9 x − 9 x + 5 = 11;{5 ≤ 9 x ≤ 16,9 x = 5;5x= ;9⎧ 16⎪x > ,- неверно, решений нет.⎨9⎪⎩−11 = 119 x > 16,−16 + 9 x − 9 x + 5 = 11;5⎤⎛Ответ: ⎜ −∞; ⎥ .9⎦⎝6.152. |7x – 12| - |7x – 1| = 1;1)2)3){{{7 x < 1,−7 x + 12 + 7 x − 1 = 1;1 ≤ 7 x ≤ 12,−7 x + 12 − 7 x + 1 = 1;7 x < 1,- неверно, решений нет;11 = 11 ≤ 7 x ≤ 12,7 x = 6;6x= ;7⎧ 12⎪x > ,⎨7 - неверно, решений нет.⎪⎩−11 = 17 x > 12,7 x − 12 − 7 x + 1 = 1;Ответ:{{6.76.153.
x2 – 6|x| - 2 = 0; Пусть t = x ; t 2 − 6t − 2 = 0t1 = 11 + 3; t2 = 3 − 11 < 0; x = 11 + 3 Ответ:6.154. х2 – 4|x| - 1 = 0;11 + 3; − 11 − 3.t = x ; t 2 − 4t − 1 = 0; t = 2 ± 5x =2+ 5Ответ: 2 + 5; − 2 − 5.6.155.x⎧ x > 0,+ x = x 2 + 1; 1) ⎨ 2x⎩ x − x = 0;⎧ x > 0,⎪⎨ ⎡ x = 0, х = 1;⎢⎩⎪ ⎣ x = 1;⎧ x < 0,⎧ x < 0,D < 0 – решений нет.2) ⎨⎨ 22⎩−1 + x = x + 1; ⎩ x − x + 2 = 0;Ответ: 1.x6.156.
−2 − 2 x = x 2 + 2;x242⎧ x > 0,1) ⎨2⎩−2 − 2 x = x + 2;⎧ x > 0,— нет решений;⎨ 2⎩ x + 2 x + 4 = 0, D < 0,⎧ x < 0,⎪⎨ ⎡ x = 0, х = -2. Ответ: -2.⎪⎩ ⎢⎣ x = −2;6.157. 5|4x-6| = 253x-4; 5|4x-6| = 566x-8; |4x – 6| = 6x – 8;1⎧4 x − 6 ≥ 0,⎪x ≥ 1 ,1)⎨2 - решений нет;4 x − 6 = 6 x − 8; ⎪⎩ x = 1;⎧ x < 0,2) ⎨2⎩2 − 2 x = x + 2;⎧ x < 0,⎨ 2⎩ x + 2 x = 0;{{1⎧⎪x < 1 ,Ответ: 1,4.⎨2 х = 1,4.⎪⎩ x = 1, 4;6.158. 3|3x-4| = 92x-2; 3|3x-4| = 34x-4; |3x – 4| = 4x – 4;1⎧3x − 4 ≥ 0,⎪x ≥ 1 ,1)⎨3 - нет решений;3x − 4 = 4 x − 4; ⎪⎩x = 02)4 x − 6 < 0,−4 x + 6 = 6 x − 8;{1⎧x <1 ,11⎪3x =1 .Ответ: 1 .⎨77⎪x = 11 ;⎪⎩76.159.
9|3x-1| = 38x-2; 32|3x-1| = 38x-2; 2|3x – 1| = 8x – 2;2){3 x − 4 < 0,−3 x + 4 = 4 x − 4;⎧3 x − 1 ≥ 0,1) ⎨⎩ 2 ( 3 x − 1) = 8 x − 2;1⎧⎪x ≥ ,⎨3 - решений нет;⎪⎩ x = 01⎧⎪x < 3 ,22Ответ:.x= .⎨77⎪x = 2 ;⎪⎩76.160. 25|1–2x| = 54-6x; 52|1–2x| = 54–6x; 2|1 – 2x| = 4 – 6x;2){1){1⎧⎪x ≤ ,⎨2 - решений нет;⎪⎩ x = 12){1⎧⎪x > ,⎨2⎩⎪ x = 0,6;3x − 1 < 0,−6 x + 2 = 8 x − 2;1 − 2 x ≥ 0,2 − 4 x = 4 − 6 x;1 − 2 x < 0,4 x − 2 = 4 − 6 x;3x= .5Ответ: 0,6.2436.161. |sin x| = sin x + 2cos x;0 ≤ sin x ≤ 1,1) 0 ≤ sin x ≤ 1,{2) {sin x = sin x + 2 cos x;π4π4+ 2π k ;π{−1 ≤ sin x < 0,− sin x = cos x;+ 2π k , k ∈ Z . Ответ: −6.162. tgx = tgx −x=cos x = 0;− 1 ≤ sin x < 0,− sin x = sin x + 2 cos x;x=−{{2+ 2π k , k ∈ Z ;− 1 ≤ sin x < 0,tgx = − 1;π+ 2π k , k ∈ Z .21;cos x⎧tgx ≥ 0,⎪1) ⎪⎨1⎪tgx = tgx − cos x ;⎪⎩tgx < 0,⎧tgx ≥ 0, - решений нет.⎪⎨ 1 =0⎩⎪ cos x{⎧ tgx < 0,tgx < 0,⎪1⎨ sin x = 1 ;2sin10;x−=;tgxtgx−=−⎪⎩⎪⎩cos x255x = π + 2π k , k ∈ Z .
Ответ: π + 2π k , k ∈ Z .66⎧2) ⎪⎨6.163. |cos x| = cos x – 2sin x;1)2){{{0 ≤ cos x ≤ 1,cos x = cos x − 2sin x;0 ≤ cos x ≤ 1,sin x = 0;−1 ≤ cos x < 0,− cos x = cos x − 2sin x;х = 2πn, n ∈ Z;{−1 ≤ cos x < 0,cos x = sin x;3π3π+ 2π k , k ∈ Z . Ответ: 2πn, −+ 2π k , n, k ∈ Z.4416.164. ctgx = ctgx +;sin xx=−⎧ ctgx ≥ 0,1) ⎪⎨1⎪⎩ ctgx = ctgx + sin x ;⎧2) ⎪⎨ctgx < 0,1⎪⎩ − ctgx = ctgx + sin x ;⎧ ctgx ≥ 0,⎪⎨ 1 = 0 - нет решений;⎪⎩ sin x{ctgx < 0,2 cos x + 1 = 0;22x = π + 2π n, n ∈ Z .
Ответ: π + 2π n, n ∈ Z .332446.165. cos x = |cos x|(x + 1,5)2; cos x ≥ 0;⎧ cos x ≥ 0,⎪1) cos x = cos x(x + 1,5)2; ⎨⎪ ⎡ cos x = 0,⎪ ⎢ ( x + 1,5 )2 = 1;⎪⎩ ⎣π⎡⎢ x = 2 + π n, n ∈ Z ,⎢ x = − 0,5.⎣cos x < 0– решений нет.2. cosx < 0; cosx = –cosx (x + 1,5)2; ⎧⎨2⎩ ( x + 1,5)π+ π n, n ∈ Z .Ответ: -0,5;26.166. |cos x| = cos x(x – 2)2; cos x ≥ 0; cos x = cos x(x – 2)2;⎧ cos x ≥ 0,⎪⎪ ⎡ cos x = 0,⎨ ⎢ x − 2 = 1,⎪⎢⎪⎣⎩ x − 2 = −1;⎧ cos x ≥ 0,⎪ ⎡ cos x = 0,⎨⎪ ⎢ ( x − 2 )2 = 1;⎩⎣π⎡⎢ x = 2 + π n, n ∈ Z ,⎢ x = 1.⎣cosx < 0; –cosx = cosx (x – 1)2; (x – 1) = –1 — решений нет.πОтвет: 1; + π n, n ∈ Z .2{6.167.
cos x = |sin x|; 1) 0 ≤ sin x ≤ 1,cos x = sin x;{2) −1 ≤ sin x < 0,cos x = − sin x;6.168.π4π4+ 2π k , k ∈ Z ;+ 2π k , k ∈ Z . Ответ: ±π4+ 2π k , k ∈ Z .3 sin x = cos x ;0 ≤ cos x ≤ 1,1) ⎧⎨⎩ 3 sin x = cos x;cosx ≠ 0; x =π6⎧ 0 ≤ cos x ≤ 1,⎨⎩ 3tgx = 1;⎧ 0 ≤ cos x ≤ 1,⎪⎨ x = π + π n, n ∈ Z ;⎪⎩6+ 2π n, n ∈ Z ;−1 ≤ cos x < 0,2) ⎧⎨⎩ 3 sin x = − cos x;x=x=−x=5π+ 2π k , k ∈ Z .6⎧ − 1 ≤ cos x < 0,⎨⎩ 3tgx = −1;Ответ:π6+ 2π n;⎧ − 1 ≤ cos x < 0,⎪⎨x = − π + π k;⎪⎩65π+ 2π k , n, k ∈ Z.626.169.
2sin x = |sin x|;0 ≤ sin x ≤ 1,1) ⎧⎨2⎩ 2sin x − sin x = 0;⎧0 ≤ sin x ≤ 1,⎨sin x ( 2sin x − 1) = 0;⎩245sinx = 0 или sinx = ½ ; x = πn;kπ+ π k, k ∈ Z6⎧ −1 ≤ sin x < 0,⎨⎩sin x ( 2sin x + 1) = 0;−1 ≤ sin x < 0,2) ⎧⎨2⎩ 2sin x + sin x = 0;1n +1 πsin x = − ; x = ( −1)266.170. 2cos2x = |sin x|;⎪⎧0 ≤ sin x ≤ 1,1) ⎨2⎪⎩2 (1 − sin x ) = sin x;⎧ 0 ≤ sin x ≤ 1,⎪⎧−1 − 17⎪ ⎪sin x =,⎨⎪4⎨⎪117−+⎪ ⎪sin x =;⎪⎩4⎩⎪+ π n; Ответ: π k ; ±6+ π k, k ∈ Z17 − 1+ π n;4n⎪⎩ 2 (1 − sin x ) = − sin x;π⎧0 ≤ sin x ≤ 1,⎨2⎩2sin x + sin x − 2 = 0;x = ( −1) arcsin⎧ −1 ≤ sin x < 0,2) ⎪⎨2⎧ −1 ≤ sin x < 0,⎪⎡⎪ ⎢ sin x = 1 − 17 ,⎨⎢4⎪⎢1 + 17⎪ ⎢ sin x =;⎪⎣4⎩x = ( −1) ⋅⎧ −1 ≤ sin x < 0,⎨2⎩ 2sin x − sin x − 2 = 0;x = ( −1) arcsink1 − 17+ π k;4⎛ 17 − 1 ⎞Ответ: ± arcsin ⎜⎜⎟⎟ + π n; n ∈ Z.⎝ 4 ⎠6.171.
2cos2x = |cos x|;⎧ 0 ≤ cos x ≤ 1,⎪⎪ ⎡ cos x = 0,⎨⎢⎪ ⎢ cos x = 1 ;⎪⎩ ⎣2x ≤ 1,1) ⎧⎨ 0 ≤ cos2⎩ 2 cos x = cos x;x < 0,2) ⎨⎧ −1 ≤ cos2⎩ 2 cos x + cos x = 0;Ответ:246π2+ π k; ±π3π⎡⎢x = 2 + π k,k ∈ Z ,⎢⎢ x = ± π + 2π n, n ∈ Z ;⎢⎣3⎧ −1 ≤ cos x < 0,⎪⎪ ⎡ cos x = 0,⎨⎢⎪ ⎢ cos x = − 1 ;⎪⎣2⎩+ π n; n, k ∈ Z .2x = ± π + 2π l ;36.172. 3tgx = 3 sin x ;⎪⎧0 ≤ sin x ≤ 1,⎨ 3 sin x 3 − cos x = 0;⎪⎩⎧0 ≤ sin x ≤ 1,1) ⎨⎩3tgx = 3 sin x;(⎧ −1 ≤ sin x < 0,2) ⎨⎩3tgx = − 3 sin x;нет решений.6.173.)⎧ 0 ≤ sin x ≤ 1,⎪ sin x = 0, х=πk;⎨⎡⎪⎢⎩ ⎣ cos x = 3;⎪⎧ −1 ≤ sin x < 0,⎨ 3 sin x 3 + cos x = 0;⎪⎩()⎧ −1 ≤ sin x < 0,⎪ sin x = 0,⎨⎧⎪ ⎨⎩cos x = − 3⎩Ответ: πk, k ∈ Z.3ctgx = 3 cos x ;⎪⎧0 ≤ cos x ≤ 1,⎨ 3 cos x 1 − 3 sin x = 0;⎪⎩⎧0 ≤ cos x ≤ 1,1) ⎨⎩ 3ctgx = 3cos x;⎧ 0 ≤ cos x ≤ 1,⎪⎪ ⎡ cos x = 0,⎨⎢⎪ ⎢ sin x = 3 ;3⎩⎪ ⎢⎣()⎧ 0 ≤ cos x ≤ 1,⎪⎡π⎪ x = + π n, n ∈ Z ,2⎨ ⎢⎢⎪⎢3k=x( −1) arcsin + π k , k ∈ Z ;⎪⎢3⎩⎣π⎡⎢ x = 2 + π n, n ∈ Z ,⎢⎢ x = arcsin 3 + 2π k , k ∈ Z ;⎢⎣3⎪⎧ − 1 ≤ cos x < 0,⎨ 3 cos x 1 + 3 sin x = 0;⎪⎩⎧ −1 ≤ cos x < 0,⎩ 3ctgx = −3cos x;2) ⎨⎧ −1 ≤ cos x < 0,⎪⎪ ⎡ cos x = 0,⎨⎢⎪ ⎢ sin x = − 3 ;3⎩⎪ ⎣⎢Ответ:π2(x = π + arcsintgx ≥ 0,1) ⎧⎨23+ 2π m , m ∈ Z333+ 2π k ; π + arcsin+ 2π m; n, m, k ∈ Z.33+ π n; arcsin6.174.
2sin 2 x =)3tgx ;⎩ 2sin x = 3tgx;π⎧⎪π n ≤ x < 2 + π n,⎨⎪sin x sin 2 x − 3 = 0;⎩()247π⎧⎪⎪π n ≤ x < 2 + π n,⎨ ⎡ sin x = 0,⎪⎢⎩⎪ ⎣ sin 2 x = 3;π⎧⎪π n ≤ x < + π n, ; x = πn, n ∈ Z⎨2⎪⎩ x = π m;⎧tgx < 0,2) ⎨2⎩2sin x = − 3tgx;⎧π⎪ + π k < x < π ( k + 1) ,⎨2⎪sin x sin 2 x + 3 = 0;⎩()⎧π⎪⎪ 2 + π k < x < π ( k + 1) ,- решений нет.⎨ ⎡sin x = 0,⎪⎢⎪⎩ ⎣sin 2 x = − 3Ответ: πn, n ∈ Z.6.175. 2cos 2 x = ctgx ;⎧ctgx ≥ 0,1) ⎨2⎩2cos x − ctgx = 0;π⎧⎪⎪π n < x ≤ 2 + π n, n ∈ Z ,⎨ cos x = 0,⎪⎡⎢⎩⎪ ⎣ sin 2 x = 1;ctgx < 0,2) ⎧⎨2⎩ 2 cos x + ctgx = 0;π⎧⎪π n < x ≤ + π n, n ∈ Z ,2⎨⎪⎩cos x ( sin 2 x − 1) = 0;π⎧⎪π n < x ≤ 2 + π n, n ∈ Z ,⎪⎪⎡π⎨ ⎢ x = + π m, m ∈ Z ,2⎪⎢⎪⎢ x = π + π l, l ∈ Z ;4⎩⎪ ⎢⎣⎧π⎪ + π k < x < π ( k + 1) , k ∈ Z ,⎨2⎩⎪ cos x ( sin 2 x + 1) = 0;⎧π⎪⎪ 2 + π k < x < π ( k + 1) , k ∈ Z ,⎨⎪ ⎡cos x = 0,⎢⎩⎪⎣sin 2 x = −1;Ответ:6.176.
4π2+ π m; ±|x-2|sinx=2π4+ π n, n ∈ Z .π+ π k ; n ∈ Z.4; 22|x-2|sinx = 2x|sinx|; 2|x – 2|sin x = x|sin x|;x|sinx|⎧ x − 2 > 0,⎪1) ⎨0 < sin x ≤ 1,⎪⎩(2 x − 4)sin x = x sin x;248x=-⎧ x > 2,⎪⎨0 < sin x ≤ 1,⎪sin x ( 2 x − 4 − x ) = 0;⎩⎧ x > 2,⎪⎨0 < sin x ≤ 1, - нет решений;⎪⎩ x = 4⎧⎪⎪⎧ x − 2 ≥ 0,⎧ x ≥ 2,⎪⎪ x ≥ 2,⎪⎪2) ⎨−1 ≤ sin x ≤ 0,⎨−1 ≤ sin x ≤ 0, х=πn;⎨−1 ≤ sin x ≤ 0,⎪( 2 x − 4) sin x = − x sin x; ⎪sin x ( 2x − 4 + x ) = 0; ⎪⎡sin x = 0,⎩⎩⎪⎢⎪⎢ x = 11 ;3⎩⎪⎣⎧ x − 2 < 0,⎪3) ⎨− < sin x ≤ 1,⎪( 4 − 2 x ) sin x = x sin x;⎩⎧ x < 2,⎪⎨0 < sin x ≤ 1,⎪sin x ( 4 − 2 x − x ) = 0;⎩⎧ x − 2 < 0,⎪4) ⎨−1 ≤ sin x < 0,⎪( 4 − 2 x ) sin x + x sin x = 0;⎩1Ответ: πn, n ∈ Z; 1 .36.177.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
