Алгебра и нач анализа_Реш экз зад 11кл из Сборн заданий для экз_Дорофеев_Решения (991497), страница 28
Текст из файла (страница 28)
x ∈ (-∞; -2] ∪ [4; ∞).Ответ: (-∞; -2] ∪ [4; ∞).- 4 +6.272. log12 log 1 ( x 2 + 3x − 4 ) ≤ 0;112⎧log 1 ( x 2 + 3x − 4 ) ≤ 1,⎪ 2⎨2⎪log 1 ( x + 3x − 4 ) > 0;⎩ 21⎧ 2⎪ x + 3x − 4 ≥ ,⎨22⎪⎩ x + 3 x − 4 < 1;275⎧ ⎛ −3 + 3 3 ⎞⎛ −3 − 3 3 ⎞⎪2⎜⎜ x +⎟⎜ x +⎟ ≥ 0,2 ⎟⎜2 ⎟⎠⎪ ⎝⎠⎝⎨⎪⎛ x − −3 + 29 ⎞⎛ x − −3 − 29 ⎞ < 0;⎟⎜⎟⎟⎪⎜⎜⎟⎜22⎠⎝⎠⎩⎝−3 − 3 3 −3 + 3 322−3 + 292−3 − 292⎛ −3 − 29 −3 − 3 3 ⎤ ⎡ −3 + 3 3 −3 + 29 ⎞;;Ответ: ⎜⎜⎟⎟ .⎥∪⎢2222⎝⎦⎥ ⎣⎢⎠6.273. log5 log 9 ( x 2 − 4 x + 3) ≤ 0;163 134 4⎧log 9 ( x 2 − 4 x + 3) ≤ 1,⎪ 16⎨2⎪log 9 ( x − 4 x + 3) > 0;⎩ 16+2− 22+ 29⎧ 2⎪x − 4x + 3 ≥ ,16⎨⎪⎩ x 2 − 4 x + 3 < 1;⎧16 x 2 − 64 x + 39 ≥ 0,⎨ 2⎩ x − 4 x + 2 < 0;⎧ ⎛3 ⎞⎛ 13 ⎞3 ⎤ ⎡13⎪16⎜ x − ⎟⎜ x − ⎟ ≥ 0,⎛⎞Ответ: ⎜ 2 − 2; ⎥ ∪ ⎢ ; 2 + 2 ⎟ .4 ⎠⎝4⎠⎨ ⎝4⎦ ⎣ 4⎝⎠⎪( x − (2 − 2))( x − (2 + 2)) < 0.⎩6.274.
min(1 + 2х, 2 + х) > -1.{1 + 2 x > −1,2 + x > −1;{2 x > −2,x > −3;{x > −1,x > −3;т.е. х > -1. Ответ: (-1; ∞).6.275. min(3 – 2х, 1 – х) < 1.{{⎡⎢⎢⎢⎢⎣3 − 2 x ≤ 1 − x,3 − 2 x < 1;3 − 2 x > 1 − x,1 − x < 1;{{⎡⎢⎢⎢⎢⎣x ≥ 2,x > 1;таким образом, х ∈ (0; ∞). Ответ: (0; ∞).x < 2,x > 0;{{6.277. max(3 – 2х, 1 – х) > 1.{3 − 2 x < 1,1 − x < 1;6.276. max(3 – 2х, 1 – х) < 1.⎡⎢⎢⎢⎣⎢Ответ: (-∞; 1).276{3 − 2 x ≥ 1 − x,3 − 2 x > 1;3 − 2 x < 1 − x,1 − x > 1;x > 1,Ответ: (1; ∞).x > 0.{{⎡⎢⎢⎢⎣⎢x ≤ 2,x < 1;x > 2,x < 0;x < 1.Возрастание, убывание, экстремумы,наибольшие и наименьшие значения6.278.
y = 2 x 2 + 5 x − 7; [3; 4].2х2 + 5х – 7 ≥ 0; 2( x + (7 / 2))( x − 1) ≥ 0;−72- 1 +−721+D(f): x ∈ ( −∞; − 7 / 2] ∪ [1; ∞ ) .54x + 5; y’ = 0 при x = − —42 2 x2 + 5 x − 7не входит в D(f).на [3; 4] у монотонно возрастает, следова-y' =-+тельно, max y ( x) = y (4) = 45 = 3 5; min y ( x) = y (3) = 26.[3;4][3;4]Ответ: max y ( x ) = 3 5; min y ( x ) = 26.[3;4][3;4]1 2x + 3x + 5, [2; 5].2-3+1D(y) = R, т.к. x 2 + 3 x + 5 > 0 при всех х.2x+3y' =; у’ = 0 при х = -3. Т.о., на [2; 5] у возрастает,1 22 x + 3x + 526.279.
y =следовательно, унаиб. = у(5) =Ответ: унаиб. =65/ 2; унаим. = у(2) =13.65/ 2; унаим. = 13.1, [-1; 3]. D(y): − x 2 + x + 3 > 0;41 2x4х2 – 4х – 12 < 0; (х + 2)(х – 6) < 0; D(y) = (-2; 6).x⎞⎛3⎜1 − ⎟12⎠⎝y' = −; y' = 0 при х = 2.32⎛1 ⎞⎜⎜ 3 + x − x 2 ⎟⎟4 ⎠⎝36663y ( 2 ) = ; y ( −1) =; y ( 3) =; унаиб. =; унаим. = .2271576.280. y =33+ x −2776.281. y = −141y ,(x) − 2y(x)y '( x) =32x2 − x − 11⎞⎛D(y): 2х2–х–1>0; 2 ( x − 1) ⎜ x + ⎟ > 0;2⎠⎝1 +3( 4x − 1)2( 2x2 − x − 1)3унаиб. = у(3) = −, [2; 3].1⎞⎛D ( y ) = ⎜ −∞; - ⎟ ∪ (1; ∞ ) .2⎠⎝1; y’=0 при x = .
на [2; 3] у(х) возрастает.433; унаим. = у(2) = −.1456.282. y = 4 x 2 − x − 3.3−+ 4y ,(x)3−- 4-1 +1 +Область определения: 4х2 – х – 3 ≥ 0;3⎤⎛ 3⎞⎛4( x −1) ⎜ x + ⎟ ≥ 0; D( y ) = ⎜ −∞; − ⎥ ∪ [1; ∞) .4⎦⎝ 4⎠⎝8x − 1;y' =2 4x2 − x − 3y(x)y’(x) = 0 при x =1 ⎛1⎞⎜ ∉ D( y)⎟ .8 ⎝8⎠3⎤⎛Ответ: возрастает при х ∈ [1; ∞); убывает при х ∈ ⎜ −∞; − ⎥ .4⎦⎝6.283. y=log2(2x2–3x–2); D(y): 2x2 – 3x – 2 > 0; ( x − 2)( x + 1/ 2) > 0;1⎞⎛D ( y ) = ⎜ −∞; − ⎟ ∪ ( 2; ∞ ) .2⎠⎝y' =4x − 3; y' =( 2 x2 − 3x − 2 ) ln 2312+ 4 - 2 +−2783⎞⎛4⎜ x − ⎟4⎠⎝;1⎞⎛2 ( x − 2 ) ⎜ x + ⎟ ln 22⎠⎝у(х) возрастает на (2; ∞);у(х) убывает на ( −∞; − (1/ 2 ) .Ответ: возрастает на (2; ∞); убывает на( −∞; − (1/ 2) ) .6.284.
y = −32x2 − x − 11⎞⎛; D(y): 2х2–х – 1 > 0; 2 ( x − 1) ⎜ x + ⎟ > 0;2⎠⎝D ( y ) = ( −∞; − 1/ 2 ) ∪ (1; ∞ ) .3(4x − 1)1; y’=0 при x = .y' =42( 2 x2 − x − 1)31y ,(x) − 2-141 +y(x)Ответ: возрастает на (1; ∞); убывает на ( −∞; − 1/ 2 ) .5;y ,(x) -2x 2 − 3x − 10+2D(y): х – 3х – 10 > 0; (х – 5)(х + 2) > 0;y(x)D(y) = (-∞; -2) ∪ (5; ∞).−5(2 x − 3)3y' =; y’ = 0 при x = ∉ D ( y ) .22( x 2 − 3 x − 10)36.285. y =325 -6.286. y = log0,5(2x2 – 3x – 2); D(y): 2x2–3x–2 > 0;2 ( x − 2 )( x + 1/ 2 ) > 0;11⎞⎛D ( y ) = ⎜ −∞; − ⎟ ∪ ( 2; ∞ ) .2⎠⎝y ,(x)3−+ 2 - 4 + 2 -y(x)4 ( x − 3/ 4 )4x − 3y' =; y' =;2 ( x − 2 )( x + 1/ 2 ) ln 0,5( 2 x2 − 3x − 2 ) ln 0,5Ответ: возрастает на ( −∞; − 1/ 2 ) ; убывает на (2; ∞).6.287. Пусть х см – длина стороны основания, тогда (3 – х) см –длина бокового ребра.V(x) = x2(3 – x) = 3x2 – x3, x ∈ [0; 3]; V’(x) = 6x – 3x2 = 3x(2 – x);V(x) = 0 при х = 2, х = 0; V(0) = 0; V(3) = 0; V(2) = 4.Ответ: ребра 2 см; 2 см и 1 см, V = 4 см3.6.288.
Пусть х см – сторона основания (x > 0). Т.к. V = 4 см3, то4боковое ребро равно 2 см.0 - 2 +x⎛ 4⎞P ( x ) = ⎜ 2 + x ⎟ ⋅ 2, D(y) = (-∞; 0) ∪ (0; ∞).⎝x⎠8 ⎞⎛P ' ( x ) = 2 ⎜1 − 3 ⎟ ; Р'(х) = 0 при х = 2; х = 2 – точка минимума.х ⎠⎝Р(2) = 6. Ответ: ребра: 2 см; 2 см; 1 см; Р = 6 см.2796.289. Пусть х см – сторона боковой грани, x > 0. Тогда стороныоснования х см и (6 – х) см.V(x) = x2(6 – x), x ∈ [0; 6]; V’(x) = 12x – 3x2 = 3x(4 – x);V’(x) = 0 при х = 4. х = 0; V(0) = 0; V(6) = 0; V(4) = 32.Ответ: ребра: 4 см; 4 см; 9 см; V = 32 см3.6.290.
Пусть х см – длина ребра боковой грани, x > 0.0,5Стороны основания: х см и 2 см.0 - 1 +x0,5 ⎞1⎛P ( x) = ⎜ x + 2 ⎟ ⋅ 2 = 2x + 2 ;x ⎠x⎝2 2( x − 1)( x 2 + x + 1)=; P'(x) = 0 при х = 1;x3x3х = 1 – точка минимума. Pmin = 3 см.Ответ: ребра: 1 см; 1 см; 0,5 см; Р = 3 см.6.291. y = xln x – x ln5, [1; 5]. Найдем y’ = ln x + 1 – ln5;y’=0: ln x=ln5–1 ; x = 5/e. Так как ln5 > 1, то решений нет; y’(x) < 0,P '( x ) = 2 −yнаим = у (5 / e) = (5 / e) ( ( ln 5 − 1) − ln 5 ) = −(5 / e).Ответ: yнаим= –5/е.6.292.
y = (1/ 2) x ln x − x ln 2; [1; 4];D(y) = (0; ∞). y ' ( x ) = (1/ 2)ln x + (1/ 2) − ln 2;y’(x) = 0: (1/ 2)ln x + (1/ 2) − ln 2 = 0; ln x = ln(4 / e); x = (4 / e).y’(x) > 0: x > 4 / e; y’(x) < 0: x < 4 / e. Значит, 4 / e — точка мини-мума.
унаим. = y ( 4 / e ) = −(2 / e). Ответ: −(2 / e).1111 16.293. y = x ln x − x ln 9, [1; 3]; y ' ( x ) = ln x + − ln 9;3633 611 133y’(x) = 0: ln x + − ln 9 = 0; ln x = ln ; x = ;33 6ee333y’(x)>0 при x > ; y’(x)<0 при x < . Значит, - точка минимума.eeeln 3 1 ln 311⎛ 3⎞ 2 3 1− −= − . Ответ: − .унаим. = y ⎜ ⎟ = ln − ln 9 =eeeee⎝ e ⎠ 3e e 2e6.294.
y = 2x ln x – x ln 49, [1; 7];y’(x) = 2 + 2ln x – ln 49;y’(x) = 0 при 2 + 2ln x – ln49 = 0; ln x + 1 – ln7 = 0; x = 7 / e;y’(x) > 0 при x > 7 / e; y’(x) < 0 при x < 7 / e.Значит, 7 / e точка минимума.280714⎛ 7 ⎞ 14унаим. = y ⎜ ⎟ = ( ln 7 − ln e ) − ln 49 = − .ee⎝e⎠ eОтвет: −14.e6.295. y = 2 3 cos x + 2sin x − 2 x + 1; y ' = −2 3 sin x + 2cos x − 2;y’(x)=0: −2 3sin x + 2cos x − 2 = 0;−2π311−sin x + cos x = ;222−2π4π- 3 + 0 - 3 + 2π⎡ x = 2π k ,ππ⎛π⎞ 1cos ⎜ + x ⎟ = ; x + = ± + 2π k , k ∈ Z .
⎢2π+ 2π k , k ∈ Z .⎢x = −33⎝3⎠ 23⎣2π2π+ 2π k , k ∈ Z . Ответ: −+ 2π k , k ∈ Z .Точки минимума: x = −336.296. y = 3 sin 2 x + cos 2 x + 10 − 2 x;Преобразуем у(х): y ( x) = 2sin(2 x + π / 6) + 10 − 2 x;D(y) = R. y '( x ) = 4cos(2 x + π / 6) − 2;π⎞ 1ππ⎛y’(x) = 0: cos ⎜ 2 x + ⎟ = ; 2 x + = ± + 2π k , k ∈ Z .6⎠ 263⎝ππx = + π k или x = − + π k , k ∈ Z .124ππ+ π k, k ∈ Z.Точки максимума: x = + π k , k ∈ Z .
Ответ:1212π6.297. y = 2 3 sin x − 2cos x − 2 3x + 11;π⎞⎛y ( x ) = 4sin ⎜ x − ⎟ − 2 3x + 11;6⎠⎝0- 3 + 2ππ⎞π⎞3⎛⎛y ' ( x ) = 4cos ⎜ x − ⎟ − 2 3; y'(x) = 0: cos ⎜ x − ⎟ =;6⎠ 26⎠⎝⎝πππ= ± + 2π k , k ∈ Z . x = + 2π k или х = 2πk, k ∈ Z.663Точки максимума: х = 2πk, k ∈ Z. Ответ: 2πk, k ∈ Z.6.298. y = 3 cos 2 x − sin 2 x + 2 3 x − 3;x−⎛π⎞y ( x ) = 2sin ⎜ − 2 x ⎟ + 2 3 x − 3;⎝3⎠⎛π⎞y ' ( x ) = −4cos ⎜ − 2 x ⎟ + 2 3;⎝3⎠281π⎞3ππ⎛y'(x) = 0: cos ⎜ 2 x − ⎟ =; 2 x − = ± + 2π k , k ∈ Z .3⎠ 236⎝π13π 3ππ0 + 12 - 4 + 12 - 4 + 2πx=π4+ π k или x =π12+ π k, k ∈Z.πТочки минимума: x = + π k, k ∈Z.4Ответ: π / 4 + π k , k ∈ Z .6.299. y = 1 + 4sin x – 2x, [0; π].y’(x) = 4cos x – 2;y’(x) = 0: cos x = 1/ 2; x = ±π / 3 + 2π k , k ∈ Z .Промежутку [0; π] принадлежит точка π / 3;у(0) = 1; у(π) = 1 – 2π; y (π / 3) = 1 + 2 3 − (2π / 3); унаим. = 1 – 2π.6.300.
y = -3 + 4sin x + 2x, [π; 2π]. y’(x) = 4cos x + 2;y’(x) = 0: cos x = −(1/ 2); x = ± (2π / 3) + 2π k , k ∈ Z .Данному отрезку [π; 2π] принадлежит точка x = 4π / 3.у(π) = -3 + 2π; у(2π) = -3 + 4π; y ( 4π / 3) = −3 + (8π / 3) − 2 3;max y ( x ) = 4π − 3.[π ;2π ]Ответ: max y ( x ) = 4π − 3.[π ;2π ]Примерное оформление варианта по курсу «В»1.8x2 − 2 x − 11 ⎞⎛1⎞⎛< 0; 8 x 2 − 2 x − 1 = 8 ⎜ x − ⎟⎜ x + ⎟ ;x2 ⎠⎝4⎠⎝( x − 1/ 2 )( x + 1/ 4 )1−4012x< 0;Ответ: ( −∞; − 1/ 4 ) ;2.( 0; 1/2) .log23 – log2(2 – 3x) = 2 – log2(4 – 3x);34- уравнение равносильно системе:log 2= log 22 − 3x4 − 3x4⎧ 3,=⎪⎪ 2 − 3x 4 − 3x−>230,x⎨⎪ 4 − 3 x > 0;⎪⎩x = −4 / 3.282⎧12 − 9 x = 8 − 12 x,⎪⎨3 x < 2,⎪⎩3 x < 4;Ответ: −4 / 3.⎧3 x = −4,⎪⎨x < 2 ;⎪⎩33.
3tg 2 x − 3 = 0; tg 2 x =x=π12+πn2, n ∈ Z . Ответ:3π; 2 x = + π n, n ∈ Z ;36π πn12+2,n ∈ Z.4. По заданным условиям задача неоднозначна, выполним один из возможных вариантов.35. f(x)=3x4–1. F ( x ) = x5 − x + C.53Ответ: F ( x ) = x5 − x + C.56. y = sin x, y = sin2x; sin x = sin2x; sin x – 2sin x cos x = 0;sin x(1 – 2cos x) = 0;1πsin x = 0; cos x = ; x = πk, k ∈ Z; x = ± + 2π n, n ∈ Z .32πАбсциссы общих точек: πk, ± + 2π n, k, n ∈ Z.37.
у = х + 1, у = ех. Пусть х0 – абсцисса точки касания;укас = e x0 + e x0 ( x − x0 ). e x0 = 1; e x0 − e x0 ⋅ x0 = 1 (1);х0 = 0; при х0 = 0 равенство (1) верно, значит, прямая у = х + 1 является касательной к графику функции у = ех в точке с абсциссойОтвет: является.х0 = 0.8.cos x ≥ 1 + 2x;cos x ≤ 1 ⎫⎬ для любых действительных х, зна1 + 2 x > 1⎭чит, неравенство решений не имеет.
Ответ: решений нет.9.1⎧1⎪x + y = −2,⎨⎪ y2 − 3 = 1 .⎪⎩x2 41⎧⎪a + y = − 2 ,⎨⎪ y 2 − 3a 2 = 1 ;4⎩Пусть 1/ x = a , где х ≠ 0, а ≠ 0 (*).1⎧⎪ y = − 2 − a,⎨⎪ − 3a 2 + 1 + a + a 2 = 1 ;44⎩1⎧⎪ y = − 2 − a,⎪⎨ ⎡ a = 0,⎪⎢1⎪⎢a = ,2⎩⎣учитывая (*), получим х = 2; y = −1. Ответ: (2; –1).283y = log0,5(2x2 – 3x – 2), D( y ) = (−∞; − 1/ 2) ∪ (2; ∞) .10.y,-y−+122y' =4x − 3;(2 x 2 − 3 x − 2)ln1/ 2y’ = 0: x = 3/ 4 - не принадлежит D(y).Ответ: убывает на (−∞; − 1/ 2) , возрастает на (2; ∞).Вариант экзаменационного заданияпо курсу «Математика»1.( х + 11)(2 х − 5)≤ 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
