makarytchev-gdz-8-2001 только 1-677 (988796), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Поусловию задачи х1-х2=2, а по теореме Виета получим: х1+х2=12.Затем получим систему уравнений: х1 − х2 = 2, х1 + х2 = 12.Сложим эти уравнения, получим: 2х1=14, откуда х1=7. Вычтемпервое уравнение из второго, получим: 2х2=10, откуда х2=5. Значит,q=x1 ⋅ x2=7 ⋅ 5=35.Ответ: 35.№583.Обозначим через х1 и х2 – корни квадратного уравнения. Тогдаимеем систему: х1 − х2 = 6, х1 + х2 = −1.Находим: 2х1=5, 2х2=-7, т.е. х1=2,5; х2=-3,5.Значит, с=x1 ⋅ x2=2,5 ⋅ -(3,5)=-8,75.Ответ: -8,75.№584.a) 3x2+113x-7=0; x2+113 7x- =0;33D>0, по теореме Виета:x1 ⋅ x2=-7<0, следовательно, у уравнения два корня, причем3противоположных знаков.б) 5x2-291x-16=0; x2-291 16x- =0;55D>0, по теореме Виета:x1 ⋅ x2=-16<0, следовательно, у уравнения два корня, причем5противоположных знаков.№585.а) имеет два корня противоположных знаков;б) имеет два положительных корня;в) не имеет корней;г) имеет два положительных корня;д) не имеет корней;е) имеет два корня противоположных знаков.№586.а) имеет два положительных корня;б) имеет два корня противоположных знаков;в) имеет два положительных корня;г) имеет два корня противоположных знаков;д) имеет два положительных корня;е) имеет два корня противоположных знаков.УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ№587.а) (3x+1)2=3x+1; 9x2+6x+1=3x+1;9x2+3x=0; 3x(3x+1)=0; x(3x+1)=0;13x1=0; 3x2+1=0; 3x2=-1; x2=- ;б) (3x+1)2=3(x+1); 9x2+6x+1=3x+3;9x2+3x-2=0;D=32-4 ⋅ 9 ⋅ (-2)=81;− 3 ± 81 − 3 ± 9=;2⋅918−3 + 9 1= ;x1=183−3 − 92=− ;x2=183x=в) (3x+1)2=(2x-5)2; 9x2+6x+1=4x2-20x+25;5x2+26x-24=0;D1=132-5 ⋅ (-24)=169+120=289;− 13 ± 289 − 13 ± 17=55−13 + 17 4= ;x1=55x=x2=−13 − 17= −6 ;5г) (3x+4)2=4(x+3); 9x2+24x+16=4x+12;9x2+20x+4=0;D1=102-4 ⋅ 9=64;− 10 ± 64 − 10 ± 8=99−10 + 82=− ;x1=99−10 − 8= −2 ;x2=9x=д) 4(x+3)2=2x+6); 4(x+3)2=(2x+6)(2x+6);4(x+3)2=2 ⋅ 2(x+3)2; 4(x+3)2=4(x+3)2 при любом х;е) (6x+3)2=(x-4)2; 36x2+36x+9=x2-8x+16;35x2+44x-7=0;D1=222-35 ⋅ (-7)=484+245=729;− 22 ± 729 − 22 ± 27=3535−22 + 275 1== ;x1=3535 7−22 − 27492=−= −1 ;x2=35355x=№588.Обозначим за (8х) м – первый катет треугольника, (15х) м – второйкатет.
По теореме Пифагора квадрат длины гипотенузы равен суммедлин квадратов катетов. Запишем уравнение:(8х)2+(15х)2=6,82; 64х2+225х2=46,24;289х2=46,24; х2=46,24=0,16; х= ± 0,16 ;289х1= 0,16 =0,4; тогда 8х=8 ⋅ 0,4=3,2 м – длина первого катета,15х=15 ⋅ 0,4=6 м – длина второго катета.х2=- 0,16 =-0,4 не подходит, так как длина катета не может бытьменьше нуля. Площадь прямоугольного треугольника равнаполовине произведения длин его катетов: S=Ответ: 9,6 м2.3,2 ⋅ 6 19,2==9,6 (м2).22№589.Обозначим за (12х) см – длину неизвестного катета, (13х) см –длину гипотенузы.
По теореме Пифагора квадрат длины гипотенузыравен сумме длин квадратов катетов. Запишем уравнение:(13х)2=(12х)2+152; 169х2=144х2+225;25х2=225; х2=9; х= ± 9 ;х1=3; х2=-3 – не подходит, так как длина катета не может бытьменьше нуля.13х=3 ⋅ 13=39 см – длина гипотенузы,12х=3 ⋅ 12=36 см – длина искомого катета.Найдем периметр: Р=15+39+36=90 см.Ответ: 90 см.§ 10. Дробные рациональные уравнения24. Решение дробных рациональных уравнений№590.a)y2y;=y+3 y+3y2y−=0;y+3 y+3y2 − y= 0 ; y2-y=0; y(y-1)=0;y+3y1=0; y2-1=0; y2=1;Оба корня не обнуляют знаменатель.б)x22x −4=5x − 62x −4x2 − 5x + 6;x2x −4= 0 ; x2-5x+6=0;x2 − 4D=52-4 ⋅ 1 ⋅ 6=25-24=1;5 ± 1 5 ±1=;225 +1= 3;x1=25 −1=2.x2=2x=2−5x − 6x2 − 4=0;х=2 не подходит, т.к.
при х=2 знаменатель обращается в ноль,поэтому данное уравнение имеет только один корень х=3.в)2x2− 7x + 6=;2− xx−22x2 − 7 x + 6−=0;x−22−x2x2 7 x − 6−= 0 ; 2x2-7x+6=0;x−2 x−2D=72-4 ⋅ 2 ⋅ 6=49-48=1;7 ± 1 7 ±1=;447 +1x1== 2;47 −1 6 31x2== = =1 .44 22x=х=2 не подходит, т.к. при х=2 знаменатель обращается в ноль,поэтому данное уравнение имеет только один корень х=1г)y2 − 6 y5;=y −55− yy2 − 6 y5+=0;y −5y −51.2y2 − 6 y5−=0;y −55− yy2 − 6 y + 5=0;y −5y2-6y+5=0;D1=32-1 ⋅ 5=9-5=4; y=3 ± 4 =3 ± 2;y1=3+2=5; y2=3-2=1.y=5 не подходит, т.к. при y=5 знаменатель обращается в ноль,поэтому данное уравнение имеет только один корень y=1.2 x − 2 3x + 42 x − 2 3x + 4;−=0;=x+7x −1x+7x −1( 2x − 1)( x − 1) − (3x + 4)( x + 7)=0;( x + 7)( x − 1)д)2 x 2 − 2 x − x + 1 − (3x 2 + 21x + 4 x + 28)=0;( x + 7)( x − 1)2x2-3x+1-3x2-25x-28=0; -x2-28x-27=0;x2+28x+27=0; D1=142-1 ⋅ 27=196-27=169;x=-14 ± 169 =-14 ± 13;x1=-14-13=-27;x2=-14+13=-1;е)2y + 3 y − 5−=0;2 y −1 y + 32y + 3 y − 5=;2 y −1 y + 3(2y+3)(y+3)-(2y-1)(y-5)=0;2y2+6y+3y+9-(2y2-10y-y+5)=0;2y2+9y+9-2y2+11y-5=0;1520y+4=0; 4(5y+1)=0; 5y+1=0; 5y=-1; y=- ;y=-11является корнем уравнения, т.к.
при y=- общий знаменатель55дробей не обращается в ноль.ж)5y + 1 y + 2−= 0;y +1y5y + 1 y + 2=;y +1yy(5y+1)-(y+1)(y+2)=0; 5y2+y-(y2+2y+2+2)=0;5y2+y-y2-3y-2=0; 4y2-2y-2=0; 2y2-y-1=0;D=12-4 ⋅ 2 ⋅ (-1)=1+8=9;1± 9 1± 3=;2⋅241+ 3y1==1;41− 321y2==− =− .4421При y1=1 и y2=- общий знаменатель не обращается в ноль,2y=поэтому оба числа являются корнями уравнения.1 + 3x 5 − 3x1 + 3x 5 − 3x;−=0;=1 − 2x 1 + 2x1 − 2x 1 + 2x(1 + 2 x )(1 + 3x ) − (1 − 2 x )(5 − 3x )= 0;1 − 4x 2з)1+3x+2x+6x2-(5-3x-10x+6x2)=0;18x-4=0;2(9x-2)=0; 9x=2; x=x=2.922является корнем уравнения, т.к.
при x= общий знаменатель99дробей не обращается в ноль.и)x − 1 2x − 1−=0;2x + 3 3 − 2xx − 1 2x − 1+=0;2x + 3 2x − 3( 2x − 3)( x − 1) + (2 x − 1)(2 x + 3)4x 2 − 9=0;(2x-3)(x-1)+(2x-1)(2x+3)=0;6x2-x=0; x(6x-1)=0;x1=0;166x2-1=0; 6x2=1; x2= .1общий знаменатель дробей не обращается в ноль,61поэтому х1=0 и x2= являются корнями уравнения.6При х=0 и x=№591.a)2x − 5−4 = 0;x+52x-5-4x-20=0; -2x-25=0;2x+25=0; 2x=-25; x=x=-122 x − 5 − 4( x + 5)= 0;x +52511=-12 ; x=-1222211является корнем уравнения, т.к. при x=-12 знаменатель22не обращается в ноль.1212x=x;− = 0;7−x7−x 112 − x (7 − x )= 0 ; 12-7x+x2=0; x2-7x+12=0;7−xD=72-4 ⋅ 1 ⋅ 12=1;б)7 ± 1 7 ±1=;227 −1=3;x1=27 +1= 4;x2=2x=x1=3 и х2=4 являются корнями уравнения, поскольку при этихзначениях х знаменатель не обращается в ноль.в)x 2 − 4 3 + 2x=;42x2-4-6-4x=0; x2-4x-10=0;x 2 − 4 3 + 2x−=042D1=(-2) 2-1 ⋅ (-10)=4+10=14;x1,2=2 ± 14 ;1010x −1= x −1 ;−= 0;2x − 32x − 3110 − ( 2x − 3)( x − 1)= 0 ; 10-(2x-3)(x-1)=0;2x − 3г)10-(2x2-2x-3x+3)=0;2x2-5x-7=0;D=52-4 ⋅ 2 ⋅ (-7)=25+56=81;5 ± 81 5 ± 9=;2⋅245+91=3 ;x1=425−9= −1 .x2=41При x1= 3 и х2=-1 общий знаменатель не обращается в ноль,2x=поэтому оба числа являются корнями уравнения.д)8=3x+2;x8 − x (3x + 2)=0;x8-x(3x+2)=0; 3x2+2x-8=0;D1=12-3 ⋅ (-8)=1+24=25;− 1 ± 25 − 1 ± 5=;331−1 + 5x1==1 ;33−1 − 5x2== −2 ;31При x1=1 и х2=-2 общий знаменатель не обращается в ноль,3x=поэтому оба числа являются корнями уравнения.е)x 2 + 4x 2x=;x+23x 2 + 4x 2x−=0;x+233( x 2 + 4 x ) − 2 x ( x + 2)= 0 ; 3(x2+4x)-2x(x+2)=0;3( x + 2)x2+8x=0; x(x+8)=0;x1=0;x2=-8;x1=0 и х2=-8 являются корнями уравнения, поскольку при этихзначениях х знаменатель не обращается в ноль.2 x 2 − 5x + 3=0;2x2-5x+3=0;10 x − 5D=(-5)2-4 ⋅ 2 ⋅ 3=25-24=15 ± 1 5 ±1=;x=2⋅245 +11=1 ;x1=425 −1=1.x2=411x1=1 и х2=1 являются корнями уравнения, поскольку при x=1 и22ж)х=1 общий знаменатель не обращается в ноль.з)4x 3 − 9x= 0 ; 4x3-9x=0;x + 1,5x(4x2-9)=0; x(2x-3)(2x+3)=0;x1=0;3;23x3=- ;23x=- не подходит, так как при этом значении знаменатель дроби2x2=обращается в ноль; значит, уравнение имеет два корня: х1=0, х2=т.к.
при х=0 и х=3знаменатель дроби не обращается в ноль.2№592.a)x22x +1x2 − 7x2 + 1x1=0;=7x2x +1;x22x +1= 0 ; x2-7x=0; x(x-7)=0;−7x2x +1=0;3,2x2=7.Оба значения являются корнями уравнения, т.к. x+1>0 при всех х.б)y22y − 6yy22y − 6y+=4(3 − 2 y);y (6 − y )y22y − 6y−4(3 − 2 y)=0;y(6 − y)4(3 − 2 y)= 0 ; y2+4(3-2y)=0;y ( y − 6)y2+12-8y=0; y2-8y+12=0;D1=(-4)2-1 ⋅ 12=16-12;y=4± 4= 4±2;1y1=4+2=6;y2=4-2=2.y1=6 не подходит, т.к. при y=6 знаменатель обращается в ноль, а приy=4 знаменатель в ноль не обращается, один корень y=4.в)x−2 x +3;=x+2 x−4(x-4)(x-2)-(x+2)(x+3)=0;x2-2x-4x+8-x2-3x-3x-6=0;11x=2; x=x=x−2 x +3−=0;x+2 x−42.1122является корнем уравнения, поскольку при x=общий1111знаменатель дробей не обращается в ноль.8y − 59y8y − 59y−= 0;;=yy+2yy+2(8y-5)(y+2)-y ⋅ 9y=0; 8y2+16y-5y-10-9y2=0;г)y2-11y+10=0;D=(-11) 2-4 ⋅ 1 ⋅ 10=81;11 ± 81 11 ± 9=;2211 − 9=1;y1=211 + 9= 10 .y2=2y=При y=1 и y=10 общий знаменатель не обращается в ноль, поэтомуоба числа являются корнями уравнения.д)x2 + 32x +1=2;x2 + 3x2 +1−2 = 0;x2+3-2(x2+1)=0;-x2+1=0; x2-1=0; (x-1)(x+1)=0;1) x-1=0;x1=1;2) x+1=0;x2=-1.Оба значения являются корнями уравнения, т.к.
x>0 при всех х.е)3x2 + 2=1;x3x2 + 2−1= 0 ; 3x-(x2+2)=0;xx2-3x+2=0;D=(-3)2-4 ⋅ 1 ⋅ 2=9-8=1;3 ±1;23 −1=1;x1=23 +1=2.x2=2x=При х=1 и х=2 общий знаменатель дробей не обращается в ноль,поэтому оба числа являются корнями уравнения.ж) х+2=15;4x + 1x+215−= 0;14x + 1(x+2)(4x+1)-15=0;4x2+9x-13=0;D=92-4 ⋅ 4 ⋅ (-13)=81+208=289;− 9 ± 289 − 9 ± 17=;2⋅48−9 − 1726=−= −3,25 ;x1=88−9 + 17= 1.x2=8x=Оба числа являются корнями уравнения, т.к. при х=1 и х=3,25общий знаменатель не обращается в ноль.з)x 2 − 5 7 x + 10=;x −199(x2-5)-(x-1)(7x+10)=0;9x2-45-(7x2+10x-7x-10)=0;2x2-3x-35=0;x 2 − 5 7 x + 10−=0;x −19D=(-3)2-4 ⋅ 2 ⋅ (-35)=9+280=289;3 ± 289 3 ± 17=;2⋅243 + 17=5;x1=43 + 1714= − = −3,5 .x2=44x=Оба числа являются корнями уравнения, т.к. при х=5 и х=-3,5общий знаменатель не обращается в ноль.№593.a)3x + 1 x − 1−=1;x+2 x−23x + 1 x − 1−−1 = 0 ;x+2 x−2(3x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)-(x+2)(x-2)=0;3x2-6x+x-2-x2-2x+x+2-x2+4=0;x2-6+4=0;D1=(-3)2-1 ⋅ 4=5;x1,2=3 ± 5 .Оба числа являются корнями уравнения, т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
