makarytchev-gdz-8-2001 только 1-677 (988796), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Решение задач с помощью квадратных уравнений№556.Пусть n и (n+6) – данные натуральные числа.По условию, произведение этих чисел равно187. Составимуравнение:n(n+6)=187; n2+6n-187=0;D1=32-1 ⋅ (-187)=9+187=196; n=− 3 ± 196=-3 ± 14;1n1=-3-14=-17 (не подходит, поскольку не натуральное);n2=-3+14=11; тогда n+6=11+6=17.Ответ: 11, 17.№557.Пусть x и (x-2) – данные числа.По условию, их произведение равно120. Составим уравнение:x(x-2)=120; x2-2x=120; x2-2x-120=0;D1=12-1 ⋅ (-120)=1+120=121; x=1 ± 121=1 ±11 ;11) x1=1+11=12, x-2=10;2) x2=1-11=-10, x-2=-12.Обе пары чисел удовлетворяют условию задачи.Ответ: 1) 12 и 10; 2) –10 и –12.№558.Пусть x см и (x+4) см соответственно – ширина и длинапрямоугольника. По условию задачи площадь S=60 см2. Составляемуравнение: x(x+4)=60; x2+4x-60=0;D1=22-1 ⋅ (-60)=64; x=− 2 ± 64= −2 ± 8 ;1x1=-2+8=6;x2=-2-8=-10 – не подходит.Значит x+4=10; периметр P=2 ⋅ (6+10)=32 (см).Ответ: 32 см.№559.Пусть x м и (x+10) м– ширина и длина участка.

Площадь участка поусловию задачи равна 1200 м2. Составляем уравнение:x(x+10)=1200; x2+10x-1200=0;D1=52-1 ⋅ (-1200)=1225;x=-5 ± 1225 =-5 ± 35;x1=-5-35=-40 – не подходит;x2==-5+35=30;Значит x+10=40, а длина изгороди, т.е. периметр участкаP=2 ⋅ (30+40)=140 м.Ответ: 140 м.№560.Пусть a м и b м– длина и ширина прямоугольника. Периметрпрямоугольника по условию равна 62 м, а его площадь – 120 м2. Таккак P=2(a+b), S=ab, то получаем систему уравнений:62 = 2(a + b),210 = ab;31 = a + b,210 = ab;a = 31 − b,31b − b 2 − 210 = 0;a = 31 − b,210 = (31 − b)b;a = 31 − b, 2b − 31b + 210 = 0;Решим второе уравнение:D=312-4 ⋅ 1 ⋅ 210=961-840=121; b=31 ± 121 31 ± 11=;2231 + 11=21; значит, a1=31-b1=10;231 − 11b2==10; значит a2=31-b2=21.2b1=Ответ: 21 м, 10 м.№561.Пусть катеты данного треугольника равны a см и b см.

Суммакатетов по условию равна 23 см, т.е. a+b=23, а площадьтреугольника равна 60 см2, т.е.1ab=60. Получаем систему2уравнений:a + b = 23,ab = 120;a = 23 − b,(23 − b)b = 120;a = 23 − b, 2b − 23b + 120 = 0;Решаем второе уравнение:D=232-4 ⋅ 1 ⋅ 120=529-480=49; b=23 ± 49 23 ± 7=;22b1=15; значит a1=23-b1=8;b2=8; значит a2=23-b2=15.Ответ: 8 см и 15 см.№562.Пусть n и (n+1) – данные натуральные числа. Произведение этихчисел по условию больше их суммы на 109.

Составляем уравнение:n(n+1)-109=n+(n+1); n2+n-109=n+n+1;n2-n-110=0;D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-110)=441; n=1 ± 441 1 ± 21=;221 + 21=11;21 − 21n2==-10; - не подходит, т.к. не натуральное. Значит n=11,2n1=n+1=12.Ответ: 11, 12.№563.Пусть x см и (х+3) см – ширина и длина оставшейся части листа,тогда длина стороны квадрата будет равна (х+3) см. Площадьпрямоугольной части листа по условию задачи равна 70 см2.Составляем уравнение:х(х+3)=70; х2+3х-70=0;D=32-4 ⋅ 1 ⋅ (-70)=289; x=− 3 ± 289 − 3 ± 17=;22−3 + 17=7; значит х+3=10.2−3 − 17x2==-10 – не подходит, т.к. длина не может быть2x1=отрицательной.Ответ: 10 см.№564.Пусть х см и (х+120) см – сторона квадрата и длина доскипрямоугольной формы.х см120 смПлощадь доски прямоугольной формы по условию задачи равна4500 см2.

Составляем уравнение:х(х+120)=4500; х2+120х-4500=0;D1=602-1 ⋅ (-4500)=3600+4500=8100;x=− 60 ± 8100=-60 ± 90;1x1=-60+90=30;x2=-60-90=-150 – не подходит, т.к. –150<0.Ответ: 30 см.№565.Пусть х см и (х+14) см – ширина и длина прямоугольника.х см34 см(х+14) смВоспользуемся теоремой Пифагора:x2+(x+14) 2=342;x2+x2+28x+196=1156;2x2+28x-960=0; x2+14x-480=0;D1=72-1 ⋅ (-480)=49+480=529; x=x1=-7-23=-30 – не подходит;− 7 ± 529=-7 ± 23;1x2=-7+23=16; значит х+14=30.Ответ: 16 см и 30 см.№566.Обозначим за х см - длину гипотенузы, тогда (х-3) см и (х-6) см –длины катетов. Составляем уравнение, исходя из теоремыПифагора:x2=(x-3) 2+(x-6) 2; x2=x2-6x+9+x2-12x+36;x2-18x+45=0;D1=92-1 ⋅ 45=81-45=36; x=9 ± 36 = 9 ± 6 ;x1=15;x2=3 – не подходит.Ответ: 15 см.№567.Обозначим за х и (х+8) количество рядов и количество мест в ряду.По условию в кинотеатре 884 места.

Составим уравнение:х(х+8)=884;x2+8x-884=0; D1=42-1 ⋅ (-884)=16+884=900=302;x=-4 ± 30;x1=-4+30=26;x2=-4-30=-34 – не подходит.Ответ: 26.№568.Пусть n, (n+1) и (n+2) – данные целые числа. Сумма их квадратов поусловию задачи равна 869. Составим уравнение:n2+(n+1) 2+(n+2) 2=869; n2+n2+2n+1+n2+4n+4=869; 3n2+6n-864=0;n2+2n-288=0; D1=12-1 ⋅ (-288)=289;n=-1 ± 289 = −1 ± 17 ;n1=-1-17=-18; значит n+1=-17;n+2=-16;n2=-1+17=16; значит n+1=17, n+2=18.Ответ:-18, -1, -16; или 16, 17, 18.УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ№569.a)б)8a 3 − 279 − 12a + 4a2=(2a − 3)(4a 2 + 6a + 9)( 2a − 3)2=4a 2 + 6a + 9;2a − 3ax − 2 x − 4a + 8 x (a − 2) − 4(a − 2) (a − 2)( x − 4) x − 4===.3a − 6 − ax + 2 x 3(a − 2) − x (a − 2) (a − 2)(3 − x ) 3 − x№570.( a + b) −b = ( a +2a)2 ab + 2b + 1b+ b)( a +b− b2 ab + 2b + 1)=( a + 2 b ) a ; подставляем a=5 и b=2 и находим:2 ab + 2b + 1( a + 2 b) a = ( 5 + 2 2) 52 ab + 2b + 12 5⋅ 2 + 2 ⋅ 2 +1()=1;5 (2 2 + 5 )( x − y ) + 4 xy = x − 2б)=(5 5 +2 2)2 5⋅ 2 + 5⋅ 5=5 5+2 22x + xy + 1x + 2 xy + yx + xy + 1x + 2 xy + yx + xy + 1xy + y + 4 xyx + xy + 1=; подставляем х=4 и y=6 и находим:=4 + 2 4⋅6 + 64 + 4 ⋅ 6 +1=10 + 2 ⋅ 2 65+2 6=(25+2 65+2 6№571.a)х ( х − 3) х− =0;62x(x-3)-3x=0;x2-6x=0; x(x-6)=0;1) x1=0;2) x-6=0; x2=6;б)х ( х + 1) 8 + х х ( х + 1) 8 + х  2++= 2 ; 12 = ⋅ 12 ;3434  1)= 2.12 х ( х + 1) 12(8 + х )+= 24 ;344x(x+1)+3(8+x)=24; 4x2+4x+24+3x=24;4x2+7x=0; x(4x+7)=0;x1=0; 4x2+7=0; 4x2=-7; x2=-73= −1 .44№572.Искомая точка должна удовлетворять следующим двум уравнениям:1) y=0; 13x-2,6=y; 13x=2,6; x=2,6=0,2; (0,2;0);13Искомая точка должна удовлетворять следующим двум уравнениям:2) x=0; y=13 ⋅ 0-2,6; y=-2,6; (0;-2,6).Ответ: (0,2;0); (0;-2,6).21.

Теорема Виета№573.a) x2-37x+27=0; D=372-4 ⋅ 1 ⋅ 27=1369-108=1261;D>0, значит, уравнение имеет два корня; x1+x2=37; x1 ⋅ x2=27;б) y2+41y-371=0; D=412-4 ⋅ 1 ⋅ (-371)=1681+1484=3165;D>0, значит, уравнение имеет два корня.По теореме Виета:y1+y2=-41; y1-y2=-371;в) x2-210x=0; x1+x2=210; x1 ⋅ x2=0;г) y2-19=0; y1+y2=0; y1 ⋅ y2=-19;2x 2 910− x − =0;222д) 2x2-9x-10=0;922D=   -4 ⋅ 1 ⋅ (-5)=81161+20=>0, значит, уравнение имеет 2 корня.44По теореме Виета:x1+x2=9; x1 ⋅ x2=-5;2е) 5x2+12x+7=0; x2+652D1=   −127x+ =0;557 36 351=−=;5 25 25 25По теореме Виета:x1+x2=-12=-2,4; x1 ⋅ x2=1,4;5ж) –z2+z=0; z2-z=0; z1+z2=1; z1 ⋅ z2=0;з) 3x2-10=0; x2-10=0;3Уравнение имеет 2 корня и по теореме Виета:x1+x2=0; x1 ⋅ x2=-10.3№574.a) x2-2x-9=0; D1=12-1 ⋅ (-9)=10; x=1 ± 10 ;x1=1- 10 ; x2=1+ 10 .Произведем проверку:x1+x2=1- 10 +1+ 10 =2;x1 ⋅ x2=(1- 10 )(1+ 10 )=1-10=-9;434=0;3б) 3x2-4x-4=0; x2- x −432 4 3D=   -4 ⋅ 1 ⋅  −  =16 16 16 + 48 64+==;93994644 8±±9 = 3 3;x= 3224 8+1 12 4x1= 3 3 = ⋅ = =2;22 3 24 8−1 442x2= 3 3 =  −  = − = − .22 363Произведем проверку: 2 3x1+x2=2+  −  =4;3 2 3x1 ⋅ x2=2 ⋅  −  = −4;3в) 2x2+7x-6=0; x2+7x-3=0;2722D=   -4 ⋅ 1 ⋅ (-3)=x=−x1=x2=49 12 49 + 48 97;+==4144797797±− ±24 = 22 ;22−−797+22 = − 7 + 97 ;24797−22 = − 7 − 97 .24Произведем проверку:− 7 + 97 − 7 − 97797 797147+=− +− −=− =− ;44444442  − 7 + 97   − 7 − 97  = − 97 + 7  ⋅  97 − 7  =⋅x 1 ⋅ x 2= 4444  x1+x2=( 97 ) − 7−2297 − 4948=−= −3 ;1616169г) 2x2+9x+8=0; x2+ x+4=0;292=−2D=   -4 ⋅ 1 ⋅ 4=x=−8181 − 64 17=-16=;444917±24 = − 9 ± 17 .24x1=− 9 + 17;4x2=− 9 − 17.4Произведем проверку:− 9 + 17 − 9 − 17+=44 − 9 + 17   − 9 − 17⋅x 1 ⋅ x 2=  44 x1+x2= 17 − 9 =−×4 ( 17 ) − 92162=−− 9 + 17 − 9 − 17189=− =− ;442 17 + 9 × = −4 17 − 81=4.16№575.a) x2-15x-16=0; D=152-4 ⋅ 1 ⋅ (-16)=225+64=289;15 ± 289 15 ± 17=;2215 + 17x1==16;215 − 17x2==-1.2x=Произведем проверку:x1+x2=16+(-1)=15;x1 ⋅ x2=16 ⋅ (-1)=-16;б) x2-6x-11=0; D1=32-1 ⋅ (-11)=20;x= 3 ± 20 = 3 ± 2 5 ;x1=3+2 5 ;x2=3-2 5 .Произведем проверку:x1+x2=3+2 5 +3-2 5 =6;x1 ⋅ x2=(3+2 5 )(3-2 5 )=32-(2 5 )2=9-20=-11;в) 12x2-4x-1=0;x2-4111x- =0; x2- x- =0;12 123 121321 1 1 4= + = ;12 9 3 9D=   -4 ⋅ 1 ⋅  −141 2±±39= 3 3 ;x=221 2+1x1= 3 3 = ;221 21−−1x2= 3 3 = 3 = − .226Произведем проверку:x1+x2=1  1 1 1 1+ −  = − = ;2  6 2 6 31  12  6x 1 ⋅ x 2= ⋅  −  = −()(1;12)г) x2-6=0; x − 6 x + 6 =0;1) x- 6 =0; x= 6 ;2) x+ 6 =0; x=- 6Произведем проверку:x1+x2= 6 - 6 =0;x1 ⋅ x2= 6 ⋅ (- 6 )=-6;д) 5x2-18x=0; x(5x-18)=0;1) x1=0;2) 5x-18=0; 5x=18; x2=183=3 .55Произведем проверку:33553x1 ⋅ x2=0 ⋅ 3 =0;541е) 2x2-41=0; x2- =0;2 x − 41  x + 41  =0;2 2 x1+x2=0+ 3 = 3 ;1) x-4141=0; x1=;222) x+4141=0; x2=.22Произведем проверку:x1+x2=4141=0;22x 1 ⋅ x 2=41 41  41⋅ −=- .2 22 №576.a) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2-9х+20=0, тогда х1+х2=9;х1 ⋅ х2=20, откуда х1=2; х2=5.б) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2+11х-12=0, тогда х1+х2=-11;х1 ⋅ х2=-12, откуда подберем х1=1; х2=-12.в) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2+х-56=0, тогда х1+х2=-1;х1 ⋅ х2=-56, откуда подберем х1=7; х2=-8.г) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2-19х+88=0, тогда х1+х2=19;х1 ⋅ х2=88, откуда подберем х1=11; х2=8.№577.a) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2+16х+63=0, тогда х1+х2=-16;х1 ⋅ х2=63, откуда х1=-7; х2=-9.б) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2+2х-48=0, тогда х1+х2=-2;х1 ⋅ х2=-48, откуда подберем х1=6; х2=-8.№578.Поскольку x1=7, то (по теореме Виета): х1 ⋅ х2=-35, 7 ⋅ х2=-35; х2=-5.х1+х2=7+(-5)=2; р=-2.Ответ: х2=-5, р=-2.№579.Поскольку x1=12,5, то (по теореме Виета): х1+х2=13; х1 ⋅ х2=q;12,5+х2=13; х2=13-12,5=0,5; q=12,5 ⋅ 0,5=6,25.Ответ: х2=0,5, q=6,25.№580.1524=0.524 8 24 32424= ;Поскольку x1=8; то х1 ⋅ х2= ; 8 ⋅ х2= ; х2= : =5 1 40 555333 143 1х1+х2=8+ =8 ; 8 =- b;=- b; откуда555 55543 143 ⋅ 5b=- : ==-43.5 55 ⋅13Ответ: х2= ; b=-43.55x2+bx+24=0; x2+ bx+№581.33сx+ =0; x2-3,3x+0,1c=0;1010поскольку x1=5,3, то x1+x2=3,3; x1 ⋅ x2=0,1c;10x2-33x+c=0; x2-5,3+x2=3,3; x2=3,3-5,3; x2=-2;5,3 ⋅ (-2)=-10,6=0,1c; c=-106.Ответ: x2=-2; c=-106.№582.Обозначим через х1 и х2 – корни квадратного уравнения.

Характеристики

Список файлов книги