makarytchev-gdz-8-2001 только 1-677 (988796), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

соответствующие корни первого и второгоb − b 2 − 4ac=уравнений взаимно обратны, ч.т.д. Для Другой пары корнейдоказательство проводится аналогичным образом.№648.a) a2+7a+6=a+1a2+6a+5=0;D1=32-1 ⋅ 5=9-5=4;a=-3 ± 4 = −3 ± 2 ;a1=-3+2=-1;a2=-3-2=-5;б) 3x2-x+1=2x2+5x-4;x2-6x+5=0;D1=32-1 ⋅ 5=4;x=3 ± 4 = 3 ± 2 ;x1=3+2=5;x2=3-2=1.№649.Обозначим за n – первое число, (n+1) – второе число, (n+2) – третьечисло, (n+3) – четвертое число, (n+4) - пятое число. По условиюзадачи составим уравнение:n2+(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2+(n+4)2;n2+n2+2n+1+n2+4n+4=n2+6n+9+n2+8n+16;3n2+6n+5=2n2+14n+25;3n2+6n+5-2n2-14n-25=0;n2-8n-20=0;D1=42-1 ⋅ (-20)=16+20=36;n=4 ± 36 =4 ± 6;n1=10;n2=-2;1) если n=10: n+1=11; n+2=12; n+3=13; n+4=14;2) если n=-2; n+1=-1; n+2=0; n+3=1; n+4=2.Ответ: 10,11,12,13,14 или –2,-1,0,1,2.№650.Обозначим за 2n – первое четное число, (2n+2) – второе четноечисло, (2n+4) – третье четное число.

По условию задачи составимуравнение:(2n)2+(2n+2)2=(2n+4)2;4n2+4n2+8n+4-4n2-16n-16=0;3n2-8n-12=0;n2-2n-3=0;D1=(-1)2-1 ⋅ (-3)=4;n=1 ± 4 =1 ± 2;n1=3;n2=-1;1) если n=3: 2n=2 ⋅ 3=6; 2n+2=8; 2n+4=10;2) если n=-1; 2n=2 ⋅ (-1)=-2; 2n+2=0; 2n+4=2.Ответ: 6,8,10 или –2,0,2.№651.Обозначим ширину прямоугольника за х м, тогда длинапрямоугольника равна (х+5) м. Площадь прямоугольника S=1800м2.Составляем уравнение:x(x+5)=1800;x2+5x-1800=0;D=52-4 ⋅ 1 ⋅ (-1800)=25+7200=7225;− 5 ± 7225 − 5 ± 85=;22−5 + 85= 40 ;x1=2−5 − 85= −45 не подходит по смыслу; х+5=45.x2=2x=Ответ: ширина площадки 40 м, длина 45 м.№652.Обозначим за n – первое натуральное число, а (n+1) – второенатуральное число. Тогда составляем уравнение:(2n+1)2-112=n2+(n+1)2;4n2+4n+1-112=n2+n2+2n+1;4n2+4n-111-2n2-2n-1=0;2n2+2n-112=0;2(n2+n-56)=0;n2+n-56=0;D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-56)=1+224=225;− 1 ± 225 − 1 ± 15=;22−1 + 151) n1== 7 и n+1=8.2−1 − 152) n2== −8 (не подходит по условию задачи);2n=Ответ: 7 и 8.№653.Обозначим за b - ширину прямоугольника, т.е.

сторону первогоквадрата, тогда a - длина прямоугольника, т.е. сторона второгоквадрата. По условию задачи сумма площадей квадратов равна:S1+S2=116 см2, периметр прямоугольника Р=28 см. Имеем:Р=2(a+b);S1=a2; S2=b2;28=2(a+b); 14=a+b; a=14-b;a2+b2=116; (14-b)2+b2=116;196-28b+b2+b2=116; 2b2-28b+80=0;b2-14b+40=0;b1=10; b2=4;a1=14-b1=4; a2=14-b2=10.Ответ: стороны прямоугольника 10 см и 4 см.№654.Обозначим за l см – искомую ширину рамки, тогда длина и шириналиста соответственно равны (12+2 l ) см и (18+2 l ) см.Фотокарточка вместе с рамкой по условию задачи занимаетплощадь 280 см2. Составляем уравнение:(12+2 l )(18+2 l )=280;2 ⋅ 2(6+ l )(9+ l )=280;(6+ l )(9+ l )=70; 54+6 l +9 l + l 2 =70;l 2 +15 l +54-70=0; l 2 +15 l -16=0;l1 =1; l 2 =-16<0 (не подходит по смыслу задачи).Ответ: 1 см.№655*.Обозначим за n – число команд.

Тогда (n-1) – количество матчей,сыгранных каждой командой, а всего сыгранооткудаn (n − 1)матчей,2n (n − 1)=36; n2-n-72=0.2По теореме Виета находим корни уравнения: n1=-8 (не подходит посмыслу задачи), n2=9.Ответ: 9 команд.№656*.Обозначим за N – число участников, каждый участник сыграл (N-1)партию, а всего сыграноN ( N − 1)=45 партий. Значит, N(N-1)=90,2откуда: N1=10; N2=-9 (не подходит по смыслу задачи).Ответ: 10 шахматистов.№657*.Обозначим за a м и b м длину и ширину ящика соответственно.Площадь боковых стенок 0,5(2a+ab)=(a+b) м2; площадь дна (ab) м2.Получаем систему уравнений:ab + 1,08 = a + b,a = 2b;2b2+1,08=3b; 2b2-3b+1,08=0;D=32-4 ⋅ 2 ⋅ 1,08=0,36;b=3 ± 0,36 3 ± 0,6=;443 + 0,6= 0.9 ;43 − 0,6b2== 0,6 ;4b1=b1=0,9, a1=1,8, V1=a1 ⋅ b2 ⋅ 0,5=0,81(м2);b2=0,6, a2=1,2, V2=a2 ⋅ b2 ⋅ 0,5=0,36 (м2).Ответ: 0,81 м2 или 0,36 м2.№658*.Обозначим за a и b - длина и ширину листа соответственно, гдеa=1,5b.

Так как сторона вырезанного квадрата равна 8 см, то объемполучаемой коробки равен: 8(a-16)(b-16)=8(1,5b-16)(b-16) см3.Составляем уравнение:8(1,5b-16)(b-16)=6080;3b2-80b-1008=0;D1=(-40)2-3 ⋅ (-1008)=1600+3024=4624;40 ± 4624 40 ± 68=;3340 − 6828b1=(не подходит);=−3340 + 68b2== 36 ;3a=1,5 ⋅ 36=54.b=Ответ: 36 см – ширина листа, 54 см – длина листа.№659.a) x2-5 2 x+12=0;()2D= − 5 2 − 4 ⋅ 1 ⋅12 =2;x=5 2± 2;2x1=5 2− 2 4 2==2 2;22x2=5 2+ 2 6 2==3 2;22Произведем проверку:1) x1+x2=5 2 ; 3 2 +2 2 =5 2 ;2) x1 ⋅ x2=12; 3 2 ⋅ 2 2 =6б) x2+2 3 x-72=0;D 1=( 2 ) =12.2( 3 ) -1 ⋅ (-72)-75;2x=- 3 ± 75 =- 3 ± 3⋅ 25 =- 3 ± 5 3 ;x1=- 3 +5 3 =4 3 ;x2=- 3 - 3 =-6 3 .Произведем проверку:1) x1+x2=-2 3 ; -6 3 +4 3 =-2 3 ;()2) x1 ⋅ x2=-72; − 6 3 ⋅ 4 3 =-24в) y2-6y+7=0;D1=(-3)2-1 ⋅ 7=2;y1,2=3 ± 2 .Произведем проверку:1) y1+y2=6; 3+ 2 +3- 2 =6;( 3 ) =-72.2( )22) y1 ⋅ y2=7; (3+ 2 ) ⋅ (3- 2 )=9- 2 =7.г) p2-10p+7=0;D1=(-5)2-1 ⋅ 7=18;p1,2=5 ± 18 = 5 ± 9 ⋅ 2 = 5 ± 3 2 .Произведем проверку:1) p1+p2=10; 5+3 2 +5-3 2 =10.2) p1 ⋅ p2=7; (5+3 2 ) ⋅ (5-3 2 )=25-9№660*.a) 2x2+ba-10=0;x1=5;x2+bx-5=0; по теореме Виета:2x1 ⋅ x2=-5;x2=-1; по теореме Виета:x1+x2=4=-b; b=-8;2б) 3x2+bx+24=0;x1=3;( 2 ) =25-18=7.2x2+bx+8=0; по теореме Виета:3x1 ⋅ x2=8;83x2=- ; по теореме Виета:x1+x2=-b8b 17=3+ ; - = ; b=-17;33 3 3в) (b-1)x2-(b+1)x=72;x1=3;b +172x−=0; по теореме Виета:b −1b −172x1 ⋅ x2=;b −124x2=; по теореме Виета:b −1b +124x1+x2==3;b −1b −1x2-3b-3-24=b+1; b=14;x2=-24;13г) (b-5)x2-(b-2)x+b=0;1;2b−2bx2=0; по теореме Виета:+b−5 b−5bx1 ⋅ x2=;b−52bx2=; по теореме Виета:b−5b−2 12bx1+x2== +;b−5 2b−51b-5+4b=2b-4; b= ;312⋅1x2= 3 = − .17−53x1=№661*.D=b2-4 ⋅ 7 ⋅ (-23)=b2+644>0 при всех b, поэтому данное уравнениеимеет 2 корня при любых значениях b;и так как произведениекорней равно -23<0 (по теореме Виета), то знаки этих корней7противоположны.№662*.Если x1 – корень уравнения, тогда должно выполняться равенство12 х12 +70x1+a2+1=0, а это невозможно, поскольку при x1>0 его леваячасть положительна.

Следовательно, данное уравнение не имеетположительных корней.№ 663.3x2+bx+10=0; по теореме Виета:10b1 13, x1+x2=- ; по условию, x1-x2=4 = .333 31313bx1=x2+ ; 2x2+ =- ;333b + 13x2=;613 b + 13 26 − b − 13 13 − bx1= −;==3666(13 − b)(13 + b) 10;=363x 1 ⋅ x 2=b2-169=120;b2=289;b2= ±17 .№664.5x2-12x+c=0; по условию задачи: x1=3x2;по теореме Виета:x1+x2=с12, x1 ⋅ x2= ;5539 сс 272712; x2= ; x1= ; =x1x2; =; c=.555 55 25527Ответ:.53x2+x2=№665*.4x2+bx-27=0; по теореме Виета:b27, x1 ⋅ x2=;44х27по условию задачи: 1 =-3; x1=-3x2; -3 х 22 =;х24x1+x2=-9;4391) x2= ; x1=- ;22392) x2=- ; x1= ;22х 22 =3292 3 9+  =-12. 2 2b=-4(x1+x2); b1=-4  −  =12; b2=-4  −Ответ: b=12 или b=-12.№666*.5x2+13x-6=0; по теореме Виета:x1+x2=-136, x1 ⋅ x2=- ;55х12 + х 22 =(x1+x2)-2x1x2=169 12 169 + 60 229 916+==== 9,162552525 100Ответ: 9,16.№667*.2x2-5x+с=0; по теореме Виета:x1+x2=5с, x1 ⋅ x2= ;22х12 - х 22 =(x1+x2)(x1-x2)=2x1=2,6; x1=1,3; x2=1,2;5(x1-x2)=0,25; x1-x2=0,1;2c=2x1x2=2 ⋅ 1,3 ⋅ 1,2=3,12.Ответ: 3,12.№668*.4x2+bx+с=0; по условию: х1=0,5, х2=с;по теореме Виета:x1+x2=-bс, x1 ⋅ x2= ;444x1x2=c; 2c=c; c=0;4x2+bx=0; x(4x+b)=0; x1=0; x2=0,5;4x2+b=0; 2+b=0; b=-2.Ответ: b=-2, c=0.№669*.По теореме Виетаx1+x2=-b, x1 ⋅ x2=c;по условию:x1=b, x2=c, откуда:bc=c; bc-c=0;c(b-1)=0; c ≠ 0, b=1; b+c=-b; 1+c=-1; c=-2.Ответ: b=1, c=-2№670*.Пусть х1 и х2 – корни данного уравнения.

По теореме Виетаполучаем:х12 + х 22 =(x1+x2)2-2x1x2=p2-2q.№671*.По теореме Виетаx1+x2=-2k, x1 ⋅ x2= ;33по условию задачи:х2=-2х1.32x1 + x 2 = − 3 ,22 x2x1- =- ; 1 =- ;23333x = − x ;1 2344x1=-2; x2= ; k=3x1x2=3 ⋅ (-2) ⋅ =(-2) ⋅ 4=8.33Ответ: -8.№672*.По теореме Виетаx1+x2=8, x1 ⋅ x2=k;по условию задачи:3х1+4х2=29;24-3x2+4x2=29; x2=5, следовательно, x1=3; k= x1 ⋅ x2=15.Ответ: 15.К ПАРАГРАФУ 10№673.x + 1 20x + 1 20+= 4;+− 4 = 0;6x −16x −1( x + 1)( x − 1) + 120 − 4 ⋅ 6( x − 1)= 0;6( x − 1)a)(x-1)(x+1)+120-24x+24=0; x2-24x+143=0;D1=(-12)2-1 ⋅ 143=1;x=12 ± 1 =12 ± 1;x1=12-1=11;x2=12+1=13;x + 1521x + 1521−= 2;−−2 = 0;4x+24x+2( x + 1)( x − 1) + 120 − 4 ⋅ 6( x − 1)= 0;6( x − 1)(x+2)(x+15)-4 ⋅ 21-8(x+2)=0;б)x2+9x-70=0;D=92-4 ⋅ 1 ⋅ (-70)=81+280=361;x=− 9 ± 361 − 9 ± 19=;22−9 + 19=5;2−9 − 19x2== −14 ;2128в)−=1;x −1 x +1128−−1 = 0 ;x −1 x +11630+= 3;x − 3 1− x1630+−3 = 0;x − 3 1− xx1=12(x+1)-8(x-1)-(x-1)(x+1)=0;12x+12-8x+8-x2+1=0; x2-4x-21=0;D1=(-2)2-1 ⋅ (-21)=4+21=25;x=2 ± 25 = 2 ± 5 ;x1=2-5=-3;x2=2+5=7;г)16(1-x)+30(x-3)-3(x-3)(1-x)=0;16+14x-90-3x+3x2+9-9x=0;3x2+2x-65=0;D1=12-3 ⋅ (-65)=1+195=196;− 1 ± 196 − 1 ± 14=;331−1 + 14 13x1===4 ;333−1 − 14x2== −5 ;33128+=д);1 − x 1 + x 1 − x23128+−= 0;1 − x 1 + x (1 − x )(1 + x )x=3(1+x)+1-x-28=0;2(x-12)=0;x=12;е)53205320−−=0;−=;x − 2 x + 2 x2 − 4 x − 2 x + 2 x2 − 45(x+2)-3(x-2)-20=0;2x-4=0;x-2=0; x=2 не подходит, так как при х=2 обращается в нользнаменатель одной из дробей, следовательно, уравнение не имееткорней;ж)x +2 x+329+;=x + 1 x − 2 ( x + 1)( x − 2)x +2 x +329+−=0;x + 1 x − 2 ( x + 1)( x − 2)(x-2)(x+2)+(x+1)(x+3)-29=0;x2-4+x2+3x+x+3-29=0;2(x2+2x-15)=0; x2+2x-15=0;D1=12-1 ⋅ (-15)=16;x=-1 ± 16 = −1 ± 4 ;x1=-1+4=3;x2=-1-4=-5;з)x + 2 x +14−;=x + 3 x − 1 ( x + 3)( x − 1)x + 2 x +14−−= 0;x + 3 x − 1 ( x + 3)( x − 1)(x-1)(x+2)-(x+1)(x+3)-4=0;-3(x+3)=0; x=-3 не подходит, так как при х=-3 обращается в нользнаменатель одной из дробей, следовательно, уравнение не имееткорней.№674*.a) y=x=2x − 5= 0 ; 2x-5=0; 2x=5;x +35=2,5.2Искомая точка – (2,5;0).б) y=( x − 4)(3x − 15)=0;x −9(3x-15)(x-4)=0;1) 3(x-5)=0; x-5=0; x1=5;2) x-4=0; x2=4.Искомые точки – (5;0) и (4;0).в) y=x 2 − 5x + 6= 0;x−2x-5x+6=0; (x-2)(x-3)=0;x1=3; x2=2 не подходит, так как при х=2 обращается в нользнаменатель дроби; искомая точка – (3;0);x 3 − 7 x 2 + 12 x= 0;x −3г) y=x-7x+12x=0; x(x-7x+12)=0;1) x1=0;2) x-7x+12=0; (x-4)(x-3)=0;x1=4; x2=3 не подходит, так как при х=3 обращается в нользнаменатель дроби; искомые точки – (0;0) и (4;0).№675.a) y=1)5x − 7x2 + 15x − 72x +1;=-6;5x − 7x2 + 1+6-0;5x-7+6x2+6=0; 6x2+5x-1=0;D=52-4 ⋅ 6 ⋅ (-1)=25+24=49;− 5 ± 49 − 5 ± 7=;2⋅612−5 + 7 1x1== ;126−5 − 7x2== −1 ;125x − 7x=2)3)x2 + 15x − 7x2 + 1=0; 5x-7=0; x==0,8;72=1 ;555x − 7 4- =0; 5(5x-7)-4(x2+1)=0;x2 + 1 54x2-25x+39=0;D=(-25)2-4 ⋅ 4 ⋅ 39=625-624=1;25 ± 1 25 ± 1=;2⋅4825 − 1 24==3;x1=8825 + 1 261==3 ;x2=8845x − 75x − 7 144) 2=0,56; 2- =0;x +1x + 1 25x=25(5x-7)-14(x2+1)=0;-14x2+125x-189=0;14x2-125x+189=0;D=1252-4 ⋅ 14 ⋅ 189=12625-10584=5041;125 ± 5041 125 ± 71=;2 ⋅ 1428125 + 71 196==7;x1=2828125 − 71 2713==1 ;x2=281414x=б) y=1)x 2 − 2x + 6;x+4x 2 − 2x + 6x 2 − 2x + 6 3= 1,5 ;− =0;x+4x+422x2-4x+12-3(x+4)=0;2x2-7x=0; x(2x-7)=0;x1=0;x2=2)71=3 ;22x 2 − 2x + 6x 2 − 2x + 6= 3;−3 = 0 ;x+4x+4x2-2x+6-3(x+4)=0; x2-5x-6=0;(x+1)(x-6)=0;x1=-1;x2=6;3)x 2 − 2x + 6x 2 − 2x + 6=7;−7 = 0;x+4x+4x2-2x+6-7x-28=0; x2-9x-22=0;D=(-9)2-4 ⋅ 1 ⋅ (-22)=81+88=169;9 ± 169 9 ± 13=;229 + 13x1== 11 ;29 − 13x2== −2 .2x=№676.a) 2x+3=34;x −5(2x+3)(x-5)-34=0;2x(x-5)+3(x-5)-34=0;2x2-7x-49=0;D=(-7)2-4 ⋅ 2 ⋅ (-49)=49+392=441;7 ± 441 7 ± 21=;447 + 21= 7 ; y1=2 ⋅ 7+3=17;x1=47 − 21141= − = −3 ; y2=2 ⋅ (-3,5)+3=-4.x2=442x=Искомые точки пересечения: (7;17) и (-3,5;-4).б)x 2 − 5xx 2 − 5x=2x;-2x=0; x2-5x-2x2-6x=0;x +3x +3x2+11x=0; x(x+11)=0;x1=0; y1=0;x2=-11; y2=2 ⋅ (-11)=-22.Искомые точки пересечения: (0;0) и (-11;-22).№677*.a)2 x + 1 3( 2x − 1)8−+= 0;2 x − 1 7(2 x + 1) 1 − 4 x 22 x + 1 3(2 x − 1)8−+=0;2 x − 1 7(2 x + 1) (1 − 2 x )(1 + 2 x )7(2x+1)2-3(2x-1)2-56=0;7(4x2+4x+1)-3(2x-1)2-56=0;7(4x2+4x+1)-3(4x2-4x+1)-56=0;16x2+40x-52=0; 4x2+10x-13=0;D1=52-4 ⋅ (-13)=77;− 5 ± 77;4y13б) 2− 2+= 0;y − 9 y + 3y 6 y + 2 y 2x1,2=y13−+= 0;( y − 3)( y + 3) y( y + 3) 2 y(3 + y)2y2-2(y-3)+3(y-3)=0;2y2+y-3=0;D=12-4 ⋅ 2 ⋅ (-3)=25;− 1 ± 25 − 1 ± 5=;44−1 + 5= 1;y1=4−1 − 561= − = −1 ;y2=4422y − 182y + 1в);+= 22214 y + 7 y 12 y − 3 6 y − 3yy1,2=2y − 182y + 1+−=0;7 y(2 y + 1) 3(4 y 2 − 1) 3y( y − 1)3(2 y − 1) 2 + 56 y − 7( 2 y + 1) 23 ⋅ 7 y( 4 y 2 − 1)=0;3(4y2-4y+1)+56y-7(4y2+4y+1)=0;12y2-12y+3+56y-28y2-28y-7=0;16y2-16y+4=0;4y2-4y+1=0; (2y-1)2=0;2y=1; y=11не подходит, так как при y= общий знаменатель22дробей обращается в ноль, значит, корней нет.313−=;x 2 − 9 9 − 6x + x 2 2x 2 + 6x313−−=0;2( x − 3)( x + 3) (3 − x )2 x ( x + 3x )г)3 ⋅ 2 x ( x − 3) − 2 x ( x + 3) − 3( x − 3) 22 x ( x − 3) 2 ( x + 3)=0;6x(x-3)-2x(x+3)-3(x2-6x+9)=0;6x2-18x-2x2-6x-3x2+18x-27=0;6x2-2x2-3x2-6x-27=0;x2-6x-27=0;D1=(-3)2-1 ⋅ (-27)=36;x= 3 ± 36 = 3 ± 6 ;x1=3+6=9;x2=3-6=-3 не подходит, так как при x=-3 общий знаменатель дробейобращается в ноль, значит, только один корень х=9;д)9 x + 123x − 64−12x + 4 x + 16=1;x−49x + 122( x − 4)( x + 4 x + 16)−12x + 4 x + 16−1=0;x−49x+12-x+4-x2-4x-16=0;-x2+4x+12+4-16=0;x2-4x=0; x(x-4)=0;x1=0;x2=4 не подходит, так как при x=4 общий знаменатель дробейобращается в ноль, значит, только один корень х=0;е)338y + 1−1y+3=;2y + 1 4y2 − 2y + 132( 2 y + 1)(4 y − 2 y + 1)−1y+3− 2=0;2y + 1 4y − 2y + 13-(4y2-2y+1)-(2y+1)(y+3)=0;3-4y2+2y-1-2y2-6y-y-3=0;6y2+5y+1=0;D=52-4 ⋅ 6 ⋅ 1=1;−5 ± 1 −5 ± 1;=2⋅61241−5 + 1y1==− =− ;12123611−5 − 1y2== − = − не подходит, так как при y=- общий121222y=знаменатель дробей обращается в ноль, значит, только один кореньy=-1;33211;+=x 3 − 2 x 2 − x + 2 ( x − 1)( x − 2) x + 13211+−= 0;( x − 2)( x 2 − 1) ( x − 1)( x − 2) x + 1ж)3211+−=0;( x − 2)( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x − 2) x + 132+x+1-(x-2)(x-1)=0;x2-4x-31=0;D1=(-2)2-1 ⋅ (-31)=35;x1,2=2 ± 35 ;з)111++=0;3( x − 4) 2( x 2 + 3) x 3 − 4 x 2 + 3x − 12111++ 2=023( x − 4) 2( x + 3) x ( x − 4) + 3( x − 4)111++=03( x − 4) 2( x 2 + 3) ( x − 4)( x 2 + 3)2(x2+3)+3(x-4)+6=0;2x2+3x=0; x(2x+3)=0;x1=0;2x2+3=0; x2=-31= −1 .22.

Характеристики

Список файлов книги