Методичка - Введение в Теорию вероятностей (987776), страница 5
Текст из файла (страница 5)
О, х<0, Итак, Р4(х)=Р[Р,<х[= «, Он«~а, 1, х>а. Функция Р4(х) показана на рис. 3.7. С помощью функции распределения можно определять вероятности Р[с е В') попадания в различные множества В веще- Рнс згл Фу н н роснрелеле н ственной оси. случайной нелнчнны а крннеро З а) Пусть В = (а, Ь) — промежуток, где левая точка входит в В, а правая не входит. Нетрудно видеть, что Р[~ е [а Ь)1 ы Р[а н ф < Ь[ = Г~(Ь)- Г~(а) .
(3.19) Действительно, рассмотрим событие ~ < Ь. Его можно представить в виде суммы двух несовместных событий: [с < Ь[ = [г < а[ с 2 [а < с < Ь). Определим вероятность этого события: Р4(Ь) = Р4 (а) + Р1 а < с < Ь[, откуда следует (3.19). Ь) Пусть В = О[а;, Ь!), 2 где промежутки [а„,Ь,) не пересекаются.
Тогда, очевидно, Р[Ц е В[ = 2.[Г4(Ь2)-Р8(а,.)], (3.20) с) Пусть В = (х.) — изолированная точка. Тогда Р[ч=хо~)= 1пп Р[ге(хо,хо+а))= 1нп ~Г4(хо+а)-Р4(хо)1= 0<с-+О 0<с-+О (3.2!) = Р4(хо+0)-Р4(хо). где Р4(хо+0) — предел справа в точке хо функции Р4(х) (рис. 3 8). Следствие. Если функция Р)(х) непрерывна в точке хо, то Р'!»=хо~ =0; если Г~(х) разрывна в хм то Р!»=Хо~ аО.
Свойства функций распределения 1. Значения функции распределения находятся в диапазоне от 0 до 1: 0 < Р»(х) ~1. Это свойство очевидно, поскольку Р»(х) — зто некоторая вероятность. 2. Ул(х) — неубывающая функция, т.е. если х2 > Х1, то Рл(хз) ~ Р»(х!), Действительно, рассмотрим событие !»< х2), которое можно представить в виде суммы двух несовместных событий: !» < х2 ~ = (» < к! ~ и (х! <» < х2 ~ . Определив вероятность слева и справа, получим: Р»(х2) =Р»(х!)+Р(х! <» <Х2~ ~ Р~(х!).
3. Рс(х) непрерывна слева в любой точке: !пп Р (х-е) = Г(х). о<л о 3.7. Дискретные и непрерывные случайные величины Х! Х2 †. Хл "" Р! Р2 —. Рл " (3.22) где рл = Р !» = х„~ . Ясно, что 2.'Р. =1. л (3.23) Вероятность попадания случайной величины» в достаточно произвольное числовое множество В, В е В1, огозеделяется очевидным образом: 30 Определение 1. Случайная величина» называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно. Такую случайную величину можно задать ее значениями и соответствующими вероятностями: РГ!»и В~ = ,'~„рь, ИкклВ т.е.
суммируются вероятности тех значений хь, которые находятся в В. Определение 2. Случайная величина называется иелрерманой, если в любой точке х существует ллотность вероятности р»(х), понимаемая как предел отношения вероятности попадания в интервал малой длины (х, х+Ьх) к длине интервала: Р(к,х+ Ьк) р (х)= 1вп ьк-+о Ьх (3.25) это означает, что Р!»и(х х+Ьх)~ =р»(х)ЬХ+о(Ьх) .
(3.26) Ясно, что вероятность попадания в достаточно произвольное числовое множество В определяется как предел суммы 2,'(р(х;)Ьхг+о(Ьх;)) слагаемых вида (3.26), что в пределе дает интеграл: Р!»иВ~= ! Р»(х)л!х. (3.27) клВ 1 Р4(х)с(Х 1 (3.28) поскольку 1= Р(»е(-лз,ле)~ = ~ Р»(х)((х, Если случайная величина» непрерывна, то плотность распределения р»(х) и функция распределения Р~(х) связаны следующим образом: ИР»(х) Рг(к) = —. (3.29) л!х Очевидно Это следует из (3.27), т. к. 31 Рл(х) = РГ!»<к~ = Р!» и(-лз,х)~ = 1 Рл(ХЗЫХ', что после дифференцирования по х дает (3.29). Под интегралом буква х обозначена со штрихом, чтобы отделить х — верхний предел — от х'— переменной интегрирования.
— х и [а„Ь1 1 рс(х)= Ь-а 0 ха[а,Ь). Короткое обозначение О, х<а, Рис. Зда Плотность нормельиото распределении Рг(х) = Р[с<к~ = 1 р~(хсУЫ = х-а — а<х<Ь, Ь-а* х > Ь. Ф(х) = 1 -о ехр(-х' /2о )с)х'. /2к (3.32) (3.33) Ф (х) =1 — ехр(-х' /2о. )с)х', ° к 2 2 О /2яп (3.34) 33 32 3.8. Некоторые основные законы распределения случайных величин 1) Равномерпвгй закон распределения. Говорят, что случайная величина ~ распределена равномерно на от:- резке [а, Ь[, если плотность равна Р,-Я [а, Ь). Нетрудно видеть, что функция распределения имеет вид Соответствующие графики показаны на рис. 3.
9, 2) Нормальный (гауссовский) закон распределения. ) Говорят, что случайная величина ф распределена по нормальному закону с параметрами а и с!г, если плотносп распределения имеет вид ! ! Ртт(к) ! р[х/а,о ) — ехр[-(х-а) /2о ).(3.30) 1 2 2 ! ! Коротко обозначается Р, - /)/(а, о ).
Это распределение играет важнейшую роль в теории вероятностей и математической стаРнс.З.Р. Пиотиость и фгининн тнстике. По свойству плотности прн любых р*ииомериого роснрелсиснни Я[а, в1 м 1 р(х)а,п )ест=1. График этой функции показан на рис. 3.10. Нетрудно видеть, что максимум по х находится в точке х = а: р (х)а,о )!к =О, а точки перегиба находятся при х! = а-о и х2 = а+о на расстоянии и от точки х = а: р"(х!а,о) [,- к„=О. Параметр а управляет расположением кривой плотности, а параметр о управляет ее шириной. Особую роль играет стандарт- ре(к) о <о ное нормалвное распределение Ю(0, 1), а = О, а = 1; плотность этого распределения (рис. 3.11): „2 1 рс(х)= — е 2 (3.31) /2 як Соответствующая функция распределения называется функцией стандартного нормального распре- деленинг Эта функция табулирована.
Свойства нормального распределения 1. Верно соотношение Ф(х) = 1 — Ф(-х), оно справедливо в силу четности подннтегральной функции в (3.32). 2. Часто приводятся таблицы функции е е е причем Ф (-х) = — Ф (х) . Между функциями Ф(х) и Ф (х) имеется связь: Ф(х) = — '+Ф (х) . (3.35) 3. Функция произвол вного нормалвного распределения вмрансается через Ф(х). действительно, пусть Р, - /)/(а, оз). Функция распределения ее к г — — х-! Рт(х)=Р[с<к) = 1 (т/2яо ~ ехр[-(к-а) /2о )с/к. Введя новую переменную и = (х — а) 7 о, получим: (х-а)/о Рю(х)= ) (ч'2к) е" ююимФ вЂ” . о (3.36) Зто соотношение означает, что вероятности любых собьютий, связанньюх с нормальной случайной величиной, определяюпюся с помощью функции Ф(х).
Например, вероятность попадания на интервал: е з — ее зз РЮхю <~ <хз~ =Г~(хз)-РЮ(хю) =Ф вЂ” 1-Ф вЂ”, (3 37) т.е. вероятность равна функции Ф( ) в правой точке (нормированной) минус функции Ф() и левой «ючке (нормированной), 4.
Вероятный диапазон значений Во-первых, в силу (3.37) Ряс.3.12. Экспоиеицинльный закоию плотность н функция распределении Рнс.3.11. Стацаартиый нормальный закоию плотность и функции распрснелеиня Р Юга — 2о < Р < а + 2о)) = Ф(2) — Ф(-2) = О 975- 0025 = О 95 это означает, что вероятность попадания в интервал ематематическое ожидание + 2оэ весьма велика. Во-вторых„ Рюа — Зо < ~ < а+За~ = Ф(З)-Ф(-3) и 0,997, т.е. попадание в интервал вмотематическое ожидание х Зо л практически достоверно. 5. Отметим без доказательства„что сумма двух нормальных случайных величин является нормальной величиной. 6.
В терминах нормального закона теоремм Муавра — Лапласа приобретают весьма простую формулировку: при болыиом числе испытаний биномиальное распределение Вю(п, р) приближаеюпся к нормальному Х(а, оз) при а = пр и ою = прф 3) Показаюпедьююьюй (экспоненциол оный) закон распределения. Говорят, что случайная величина г, распределена по показаюневьююому закону с параметром а, если плотность распределения имеет внд р(х!а)=ае х>0 а>О Функпия распределения х р4(х)= )ю ае тЖ=1-е "', к~О, Рю(х)=0, х<0.
к Рнс 3.14. Плотность логарнфмическииормельного распределении Рнс.3.13. Прямср функции распределения случайной исличииы смешсинопю тяпа ю е и аког -югою е е У Ряс. 3.15. Плотность примера 3 35 34 Графики Р(х~ а) и Рл(х) показаны на рис. 3.12. Это распределение появляется во многих прикладных задачах, а именно везде, где имеет место простейший поток точек, интервал между «соседними» точками потока подчиняется этому закону, например время между появлением двух радиоактивных частиц, время между двумя вызовами на АТС, время между двумя отказами сложной машины, время между двумя случаями травматизма на большом заводе и т.д.
Замечание. Случайные величины не исчерпываются двумя типами: дискретными и непрерывными. Весьма часто рассматриваются случайные величины смешанного типа, например случайная величина г„функция распределения которой (рис. 3.13) О, х<0 Рс+х/2, 0 <х <1 1, х>1. Вид Рл(х) говорит нам о следуюшем (см. следствие раздела 3.6): Й= )=Рс; Р[4= )и = — 1(1)= -(Рс+)/2), поскольку в точках 0 и 1 разрыв'. Остальная вероятность (1 — ро — Р)) распределена равномерно на интервале (О, 1), причем Р[0<ч<1~ = Р(1) — 1пп Р(0+а) =Р(1) — Р(0+) =(1 — рс — Р)) =Уг . 0<»-ло 2' 3.9. Преобразование случайных величин Пусть задана случайная величина с с известным законом распределения. Она подвергается преобразованию ч =Ль) результатом которого является случайная величина ц.
Требуется определить закон распределения для преобразованной случайной величины. Пусть Ь, дискретна; это означает, что ее можно задать, перечислив ее значения и соответствуюшие вероятности (т. е, ряд распределения): х), хэ,...,хь,... Р(х)),Р(хз),...,Р(хл),... Определим функцию распределения для тр Рч(у) = Р[0 = У(~) < у) = ~„, Р(хл) (3 38) «»<Плл)<у 36 Рч(у) = Р[/(~) < у~ = Р~Р < /' '(у)~ = Рй(/ '(у)) . (3 40) Если известно, что ц непрерывна, то можно определить ее плотность дифференцированием (3.40): Рч(у) =,~, Рч(у) = Рг.(/ (у)),,/ (у). Пример 1, Логари4мич если-нормальное распределение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
