Методичка - Введение в Теорию вероятностей (987776), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Типичная зависимость вероятности Р(/«) от 4 показана на рис. 3.3. 0,5 0,5 0,5 0,4 0,4 0,4 О,З о,з 0,3 0,2 0,2 од 0,1 О,1 0 2 4 б 8 10 0 2 4 б 8 1О 0 2 4 б 8 1О Рис. ЗЗ. Бином«ильи«с росирелс«нине Пример. Бросается монета и = 1О раз. Определить вероятность появления ровно 5 гербов. Пусть г, — количество выпадающих гербов. По (3.4) РД 5) С10з '-ь — 222.
102 '2 1024 4. Наивероатнейшее значение числа успехов — это число успехов л«, вероятность которого максимальна, т.е. р,„= шах рз. ок/« Нетрудно показать, чо целое л«удовлетворяет следующим условиям: лр — «1 Б и ь лр + р; заметим, что длина интервала, в котором находится ле, равна р + «у = 1. Приближенно (3.6) 3.3. Теоремы Муавра — Лапласа о ««нормальном» приближении бвномиальвого закона Локальная теорема Муавра-Лапласа. Пусть г, - В/(л, р), причем О < р < 1; обозначим /« -ир хь =— (З.ба) — «нормированное» значение А. Если и -+ «о, /е-ь «о, хе -+ х, то 1 ехр(-.х /2) Р(г, = Ц = С„р «/" -+ ж «р(х), (3.7) 4лр«/ «/2я,/пр«/ где Ч«(х) = ехр( — х /2)/' /2яп. Это утверждение является следствием более 0,5 общей теоремы (центральной пре- 0,4 дельной теоремы), которая будет обсуждаться ниже.
График функции «р(х) ,3 показан на рис. 3.4. Интегральная теорема Муавра— Лапласа следует из локальной теоремы. При тех же условиях при большом и (п -+ «а) вероятность того, что число «е о з 4 успехов будет находиться в некотором диапазоне, определяется следующим соотношением: 22 23 (," - ~8> ь Р(Ан ся /сз) =Р(ૠ— яЬ)-+~ ехр(-х /2) (Й ~~рд „2я = Ф(Ь) — Ф(а), ~-лр А -лр ' ехр(-/ /2) 2 где а= —, Ь= 2, Ф(х)= / й. ,(л/ь/ ~лр9 /2 ля Действительно, с учетом (3.7) н (З.ба): Р а< — >Ь = 2; Р(«=Ц= 1 ехр( — хь /2) -ГЧВ ! „.,ь- Р„.я*,.ь4 РО края (3.8) Поскольку 1 Лха = хя — х/, ! = —, ~/орсу последнее равенство можно записать как ехр(-хь /2) Ь ехр(-х /2) а<зз ЯЬ о что и требовалось показать.
Функция Ф(х) табулирована н носит название функции распределения сзнандарзиного нормального закона. Теоремой можно пользоваться для вычисления вероятностей, если ирй >25. Если О,1 < р < 0,9, то условие применимости ослабляется: лрй >5. Пример. Монета бросается большое число и раз.
Покажем, что Ь,— количество гербов — окажется в пределах —" а ~Я с вероятностью 0,95. 2 Полагаем„что вероятность герба р = —. Имеем по (3.8) 1 2 Р—" — /и <Ь,> — +~/л =Р а< — <Ь Ф(2) — Ф(-2) ~0,95, а= а=Я '~и ")(Я~ =-2; Ь=(л+'~" 2' Если бросаем и = 100 раз, то с вероятностью 0,95 число успехов будет находиться в диапазоне 50 ~ 1О (т.е. а 20%); если бросаем л = 10 000 раз — то вдиапазоне5 000а 100 (т.е.
х2%). 3.4. Теорема Пуассоыа о приближеыии быномнального распределении пуассоновским Теорема, Пусть л -+ со, р -+ О, лр -+ а. Тогда а Р(~=А! =Сара(1-р) Ь ь а е а. л-мо /~ ! (3.9) Покажем справедливость этою утверждения. Во-первых, С„/ф — — +1. (3.10) Действительно, с учетом (3.9) л(и — 1)(л-2)...(л-я+1) и ! 2 Ь 1 и /!! ,р п л "' л,.р ' Во-вторых, (3.11) и тогда, учитывая (3.10) н (3.11), при л -+ со получаем: С„р (1-р) -+л'- р е -+о что и требовалось показать. Заметим, что сумма величин справа в (3.9) равна 1: ~о Ь вЂ” е а=1.
Ь=О Ь! Говорят, что случайная величина 4 нодчннлеи/ся закону Пуассона, если множеством ее значений являются целые неотрицательные числа О, 1,2, ..., А,..., причем а Р(~=Ц= — е ~, (3.12) А! Теорема утверждает, что если р мало, а л велико, то вероятность получить /~ успехов приближенно равна Ь Р = (~ = Ц = С„р 9 и — е чо. (лр) /г! где а, а > Π— параметр распределения; коротко записывается: с - Ро(а) (примеры показаны на рис.
3.5). 0,5 0,5 0,5 0,4 О,4 О,е О.З о,з о,з О,2 0,2 0.2 О,! О,! О,1 0 2 4 б 8 1О О 2 4 б 8 1О 0 2 4 б 8 1О Рнс. ЗЗЬ Раснреяеленне Пуассона Случайные величины, распределенные по закону Пуассона, встречаются в реальном мире весьма часто, например количество радиоактивных или космических частиц, зарегистрированных за фиксированный промежуток времени, количество вызовов на телефонной станции, количество сбоев сложного устройства, количество травм на большом заводе и т.д. Теорема Пуассона объясняет, почему закон Пуассона часто встречается: если есть много источников, каждый нз которых может дать событие с малой вероятностью, то общее количество событий, по теореме Пуассона, будет подчиняться приближенно по этому закону. 3.5.
Однородный пуассоповскнй поток случайных точек Этот поток называют также нроствйиснм. Пусть на вещественной оси возникают случайные точки (удобно представлять временную ось; в случайные моменты появляются точки). Сделаем некоторые предположения относительно механизма появления случайных точек. 1. Отсутствие нослвдвйствия: будем считать, что появление точек на непересекающихся интервалах — независимые случайные события.
2. Стационарность: вероятностный механизм появления точек не изменяется при сдвиге во времени, т.е. вероятность появления к точек на интервале (х, х + /) зависит только от длины этого интервала: Рь(х,х+/) = Рь(/). (3.13) 3. Ординарность: появление кратных точек невозможно или, что то же самое, вероятность появления более одной точки на интервале малой длины Ьг есть величина о(6/): Р 1(/Х/) = о(дх), т.е. 1пп > = О.
Р 1(Лг) Ос-ааа Л! Р(г,=й!= — в (ХТ)' /с! (3.1 5) Действительно, разобьем интервал длины Т на большое число и частей малой длины Л/ = Т/и. На каждом интервале длины /е/ может появиться одна точка нли не появиться. В силу предположения 1 имеем н независимых испытаний с вероятностью (3.14) появления точки. Вероятность /с событий Р(р =Ц =С„'/~8(Л/)[1-Р1(1/)] '.
(3.16) Поскольку при н-ась /!(Л/)-ьО и нР1(Щ=п(Л2 ьоМ1-4)Т, н 1ну/ по теореме Пуассона вероятность (3.16) стремится к вероятности (3.15). Замечание. Покажем, что свойство 4 следует из первых трех, т.е. что вероятность появления одной точки на интервале малой длины Ь/ про- порциональна длине интервала с точностью до о(ду). Действительно, ве- роятность непоявления точек на интервале длины / + в в силу предполо- жения! можно записать так: Ра(/+ в) = Рс(/) Ре(в), где Р,(/) — вероятность появления О точек на интервале длины к Этому соотношению удовлетворяет только экспонента Ро(/) =в™, где Х > О, знак минус следует из того, что Рс(/) — вероятность, т.е, величина, не превосходящая 1. Вероятность появления одной точки на интервале малой длины ЛО очевидна: Л(~г) =1-РО(д )-Р, ( ) (3.18) 4.
/((/и) = ХЛ/+ о(ду), (3.14) т,е. вероятность появления одной точки на интервале малой длины 6/ пропорциональна длине интервала (с точностью до о(6/)). Коэффициент А называется параметром потока. Выполнение этого свойства можно не требовать, т.к. оно следует нз предыдуших (см.
замечание ниже). Обозначим г, количество точек за время Т. Если перечисленные свойства выполняются, то случайная величина г, распределена по закону Пуассона с параметром а = Х Т, т.е. 26 При малом г = Лу (3.17) Ро(М) =1 — ХЬу+о(Лг); подставляя это в (3.18) и учитывая свойство 3, получаем (3.14). З.б. Функции распределении н нх свойства Имеется универсальный способ задания случайной величины — с помощью функции распределения. Определение. Для произвольной случайной величины г, и любого х, о < х < о, рассмотрим функцию РЦХ), равную вероятности принять значение, строго меньшее х: Рс(х) = Р[г, < х[; эта функция назьааагся функцией распределения случайной величины Г .
Пример 1, Пусть ~ — случайная величина, принимающая 3 значения рз х1 хз, хэ с вероятностями р1, рз, рэ. рз Р1 Ясно, что ее функция распределения яв- 0 «, «2 «2 ляется кусочно-постоянной со скачками в точках х1 хз «3 равнымн соответст --- — л, р,, р, О .
зу>. е Уз ~ скачков функция Г4(х), очевидно, равна нижнему значению. р Пример 2. Бросается точка «наудачу» ~! $ на отрезок 10, а); результатом этого опы- 0 «, «, хз та является число — случайная величина Ь. Зафиксируем х, хе 10, а) и рассмотрим случайное событие Рнс. 3.6. Функннн распределенно лнскрссной случайной нслнчнны оно состоит в попадании точки в промежуток (о, х).
В соответствии с геометрическими вероятностями вероятность А, равна отношению длин отрезков (О, х) и [О, а1: Р[с<х[=-". Если в качестве х зафиксировать отрицательное число, то Р[с <х)= 0; 28 если же в качестве х взять число, большее а„то, очевидно, Р(с <х) = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
