Методичка - Введение в Теорию вероятностей (987776), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Р(АВ) (2.2) Р(А) Из формул (2.1) и (2.2) получаем соотношение Р(АВ) = Р(А) Р(В ! А) = Р(В) Р(А ! В), (2.3) которое носит название формулы умножения вероятностей. Она означает: вероятность произведения событий равна произведению вероятности одного на условную вероятность другого. Обобщение для вероятности произведения и событий: . Р(А|А»-А.) = Р(А1) Р(Аз! А~) Р(А»! А~ Аз) ...Р(А„! Аь.. Аьч), где очередной множитель с номером й есть условная вероятность А» при условии одновременною осуществления всех предыдущих. 14 15 2.3. Независимость случайных событий Определение 1а. Событие А независима от В, если условная вероятность Р(А! В) равна безусловной: Р(А! В) = Р(А), (2.4) или, иначе, если наступление В не изменяет вероятности события А.
Заметим, что в приведенном выше примере условная и безусловная вероятности не равны: 3 — = Р(А! В) и Р(А! = —, 2' позтому событие А зависимо от В. Следствия. 1. Если А независимо от В, то и В независимо от А: Р(В)А) = Р(В), т.е. свойство независимости взаимно. Действительно, Р ~ Р(АВ) Р(В)Р( Ц Б! Р(В) Р(А) Р(А) Р(А) Р(А) (2.5) 2.
Если события А и В независимы, то независимы также а)Аи В, Ь) А иВ, с) А и В. Действительно: а) Р( В ~ А) = 1 — Р(В ~ А) = 1 — Р(В) = Р( В); Ь) следует из а), если А и В поменять ролями; с) применением а) дважды получаем с). 3. Если А и В независимы, то Р(АВ) = Р(А'у Р(В). (2.6) Это формула умножения для независимых событий: вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей. Поскольку соотношения (2.4), (2.5) и (2.6) эквивалентны, определением независимости может служить любое из них. Соотношение (2.6) является симметричным, и позтому именно его будем использовать для определения независимости случайных событий.
Определение 1Ь. События А и В называются независимыми, если справедливо (2.6). Замечание об использовании соотношения (2.6). Соотношение (2.6) обычно используется не для того, чтобы проверить, независимы ли два события, а для того чтобьц зная, что события независимы, определить вероятность произведения двух событий. Если 16 два события независимы физически, зто означает, что появление одного собьгтия не может изменить вероятность другого, т.е.
выполняются равенства (2.4) — (2.6). Если события независимы физически, то по соотношению (2.6) определяется вероятность произведения двух событий. Например, пусть два раза бросается монета. Собьггие А = (появление герба при первом бросании), событие В = (появление герба при втором бросании). Эти два события физически независимы, поскольку два разных бросания. Равенство (2.6) дает возможность вычислить Р(АВ) по Р(А) = — и Р(В) = —: 1 ! 2 2 ' Р(АВ) = Р(А) Р(В) = — — =— 1 1 1 2 2 4 Обобшим понятие независимости, Определение 2. События А ь..., А„называется независимыми в сово- купности, если для любых т из них с номерами Ьь Ьз..., Ь, Ус, и Уу Р(АмА«ь.Аь„) = Р(Аы) Р(Аю)...
Р(А~ ). (2.7) Определение 3. События Аь..,, А„называются попарно независимыми, если при любых Ьь Угз, Ь! а Угз Р(АыАы ) = Р(Ам) Р(Ам!, (2.8) Замечание. Из независимости в совокупности следует попарная неза- висимость„но из попарной независимости не следует независимость в совокупности. Пример. Имеется чезьуре числа: 2, 3, 5, 30, из которых наудачу вы- бирается одно.
Рассматриваются три события: А ~ = (выбранное число делится на 2), Аз = (выбранное число делится на 3), Аз = (выбранное число делится на 5). Попарная независимость имеет место: — =Р(А А.)=Р(А)Р(А)= — — = —, У аУ, у=1,2,3, 1 ! 1 1 4 ' У ' з 22 4' но независимости в совокупности нет: — = Р(А1АзАз ) и Р(А!) Р(Аз) Р(Аз! = — — — = —. 1 1 1 ! 1 4 222 8' 2.4. Формула полкой вероятности Пусть Аь ., А„, ...
— система несовместных событий (взаимоисключающих предположений): А;г~А =8, уау, и () и вероятности которых Р (Аз),..., Р(А„). Тогда для любого события В Р(В) =Х,Р(Аи)Р(В !Ап). (2.9) зз Эта формула позволяет определить полную вероятность события по условным вероятностям и вероятностям условий. Справедливость (2.9) следует из представления В в виде суммы несовместных событий: В=Ц(ВА„), н потому Р(В) =ХР(ВАе) =~Р(Аи)Р(В !Аи) зз и Заметим, что для справедливости (2.9) вместо условия ЦА„= ьг досзз таточно потребовать В ~ ЦА„ зз 2.5.
Формула дли апостернориых вероитиостей гипотез (формула Байеса) Условия те же, что и в предыдущем пункте 2.4. Будем считать, что Аз,..., А„, ... — некоторые взаимоисюпочающие предположения (гипотезы) относительно результата эксперимента, а Р(Аз),..., Р(А„) — априорные (доопытные) вероятности.
Предположим, что опыт проведен, однако исход неизвестен. Известно лишь, по событие В имеет место. Это позволяет нам определить аностериорньзе (послеопытные) вероятности гипотез: Р(Аи) Р(В! Ал) Р(Ап) Р(В! А ) Р(В) ~Р(Аз)Р(В!Аз) Зз Первое равенство в (2.10) получается из формулы для условной вероятности и формулы умножения, второе — заменой Р(В) по (2.9).
Нетрудно проверить„что сумма апостериорных вероятностей равна 1: ;з Р(А„!В) =1. (2.11) зз Пример. Имеется 5 ящиков с шарами. Из них 2 ящика имеют состав Аз'. 2 белых н 1 черный; 1 ящик имеет состав Аг'. 10 черных; 2 вцика имеют состав Аз'. 3 белых и 1 черный. Эксперимент состоит из 2-х шагов; на 1-м шаге наудачу выбирается ящик, а на 2-м шаге — из выбранного ящика наудачу выбирается шар.
1-0 еелрос: какова вероятность события В = (вынимаемый шар — бе- лый)? Введем события А, = (шар из ящика состава А,'), з =1, 2, 3, причем Р(А ~) = Р(Аз) = 2/5 Р (Аг) = 115. Легко определякпся условные вероятности: Р(В!А1) =2/3* Р(В!Аг) =0 Р(В!Аз) =3(4. По формуле (2.9) полной вероятности имеем: Р(В) = Р(А|) Р(В!Аз) + Р(Аг) Р(В!Аг) з Р(Аз) Р(В!Аз) = 22 1 23 17 = — — + — Оь — -= —.
53 5 54 30 2-0 вопрос. Пусть эксперимент проведен, но неизвестно, какой был выбран ящик. Известно лишь, что событие В имеет место, т.е. шар оказался белым. Какова вероятность, что выбран ящик 1-й (или 2-й, 3-й)7 Вместо априорных вероятностей Р(А ) формула Байеса позволяет определить апостернорные: Р(Аз ) Р(В! Аз ),/5 ',ГЗ 8 Р(В) Р(В) 17 Аналогично Р(Аг ! В) = О. Третью вероятность можно найти нз (2.! 1): Р(Аз ! В) = 1 — Р(Аз ! В) — Р(А г ! В) = 1 — — — 0 = — . 8 17 17 18 Раздел 3. Одномериые случайные величины 3.1.
Определение Пусть имеется некоторый эксперимент, множество исходов й = («7), и на й задана вероятность Р(А), А ~ 12. Исход оу — это элемент любой природы (сторона монеты, грани игрального кубика, шары, ящики и т.д.). Теперь будем полагать, что исход эксперимента — число. Определение 1а. Случайной величинам называется числовой исход эксперимента. Поскольку й — числовое множество, случайное событие определяется множеством А точек на вещественной оси.
Предполагается, что заданы вероятности Р(А) = РД е А). Случайные величины будем обозначать Р, и, с"„а, (1 и т.д. в отличие от го — элемента произвольной природы. Обобщим понятие случайной величины. Пусть (Й, 5, Рп) — вероятностное пространство, й = (ш) — множество элементов произвольной природы. Определение 1б. Вегцественнозначная функция Р, =у'(еу), заданная на вероятностном нросснранстве, называется случайной величиной.
При таком введении случайной величины вероятность события Р(Р, и А), где А ~ к', определяется следующим образом: О содержит множество С„тех исходов оу, для которых 7(го) е А: С„= (: Р =)(го) А). Тогда Р(~ и А) = Р(го: г = )(го)е А ) = Ро(Ск). (3. 1) Определение 2. Случайная величина называется дискретной, если множество ве значений конечно или счетно. Такую случайную величину можно задать множеством значений хьхз,...,ха, ... и соответствующими вероятностями: Р(х1), Р (хз), ..., Р (ха), ..., '~, Р(хь) = 1. 2 Дискретную случайную величину можно представить графически (рис. 3.1). Вероятность любого события Р(г„а А), А <:)с1, определяется очевидным обрезом: Р(Р а А) = ~Г Р(хь), кесл т.е.
суммируются вероятности тех ха, которые находятся в А. Пример. Бросаются 2 игральные кости. Рассматривается случайная величина г, — сумма выпадающих очков; ~ может принимать целочис- ленные значения от 2 до 12. Ясно, что Р(с =2) =Р((1, 1)) = ~ 6 = 6,РД вЂ” 3) =Р((1,2)н(2, 1)) = -2-; РК=4) =РИ1,3) 42,2) <3,1И= 36 и .л.ло Рй=у) = 36, затем вероятности уменьшаются Ло Р(Ч = 12) = Р(б, б) = 36.
Зта слу- чайная величина показана на рис. 3.2. Р (кз 6/36 (3.2) к 2 3 а 5 6 7 В 9 )О 11 12 х к1 кз Рвс 3.2. Случаанав величина й— сумма очков Риь ЗЛ. Днскветнан случаанав величина 3.2. Последовательность независимых испытаний Бернулли (бнномиальный закон распределения) ра и РД = Ц = С„р й 2 л-2 (3.4) Пусть имеется некоторый элементарный опыт (например, бросание монеты, бросание игрального кубика, выстрел по мишени, извлечение шара ю ящика и т.д.).
В результате опыта может проюойти или не произойти некоторое событие А с вероятностью Р(А) и р; Р( А ) = у = 1 — р. (3.3) Появление А будем считать "успехом", а непоявление А — «неуспехом». Повторим этот элементарный опыт л раз, в этом и — кратном повторении состоит основной эксперимент, который назовем независимыми испытаниями Бернулли. Введем случайную величину Р, — количество «успехое» в н испытаниях случайного события А. Ясно, что Р, может принимать значения О, 1, ..., л, Оказывается, веро1пиость получить 1 "успехов'* равна 20 21 Покажем справедливость этой формулы для и = 3 и /« = 2.
Для эксперимента, состоящего из и = 3 испытаниК имеем 8 исходов: а« =(0,0, 0); аз=(0,0, 1), ..., аз=(1, 1, 1). Событию (ч = 2) благоприятствует Сз = 3 исхода (1, 1, 0), (1, О, 1) и (О, 1, 1), причем в силу независимости трех испытаний Р(1, 1, О) = Р(1, О, 1) = Р(0, 1, 1) = р'л, и потому Р(Р = г) = С,' р'/. Рассуждая аналогично, для произвольных и и А получим (3.4). Нетрудно видеть, что л и Хр,=,'ГС„р о (3.5) 1=0 «=о Действительно, (3.5) совпадает с биномиальным разложением: о 1 = (р+ ««) = Х С р «/ «=0 Совокупность (А, ре ), определенных формулой (3.4), называется бинлмнлльнмм распределением вероятностей. С помощью этого распределения были открыты основные законы вероятностного мира. Случайная величина г„лля которой верно (3.4), обозначается: Б - В«(л, р) и читается так: случайная величина подчиняется бнномиальному закону с параметрами п и р (п — число испытаний, р — вероятность "успеха" в одном испытании).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
