Методичка - Введение в Теорию вероятностей (987776), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пусть ~ - А/(а, о ) и т) = е~ . Ясно, что ц > 0 с вероятностью 1, поэтоз у Р1(у) = О д у < О; дл у > О: мУ ехр( уз/2оз) Р„(у)=РЬЪ=е'<у) =Р(Ь,<)пу) = 1 ', 4 =РОпу). </2ко Плотность распределения и/ [э Ы= — Р~( у)=Р~( у)/у= ч 1 — ехр[-()пу-а) ]/2о ), У ч'2ло (3.41) Вид плотности логарифмически-нормального распределения показан на рис. 3.14. Пример 2.
Линейное преобразование случайной величины. Пусть закон распределения для ~ э»дается функцией распределения Рй(х) . Рассмотрим случайную величину и = а+Ьч. Пусть Ь > О. Определим функцию распределения Рл (у): 37 где суммируются вероятности тех "иксов", для которыхЯхл) <у . Аналогично записывается функция распределения лля т~, если ч — непрерывная случайная величина, определяемая плотностью рс(х). Рч(у) = Р[0 = У(4) < 4 = Г Рг(х)л(х. (3.39) « /(«)<у В частности, если /[х) строго монотонная функция, тогда (3.45) ~(»=[„()1«( — ','Ц (3.43 а) Тогда по (3.45) Если Ь < О, то Г '(1 гтг р„(у) =(,/ут/2яо ~ е У р (у) )~ (3.43б) 1 ) у-а1 р (у) = — р~~ — у.
)ь| ь (3 А4) Поскольку щ(х) =(с~йкя) е " по (3.44) получим — — г ,о (у) =('АЙ%02) е-(е-а) /гв 38 Р„(у)=Р) Ь( у) Р(( — =~( — ) (342( Если Ь, — непрерывная случайная величина„то т) тоже непрерывна; определим плотность дифференцированием: Объединяя (3.43а) и (3,43б), для произвольного Ь можно записать Используем зто соотношение для преобразования случайной величины Ь„распределенной по стандартному нормальному закону Ф(0, 1): т) = оЬ, е а.
Полученное выражение является плотностью нормального распределения с параметрами а и а . Зто означает, что случайную величину с произвольным нормальным распределением можно получить линейным преобразованием из ~ -Ф(0, 1). Пример 3. Возведение в «вадрат. Пусть ~ имеет плотность распределения р4(х) и пусть т) = ~~. Опрелелим функцию распределения Гч(у) . Если у > О, то Рт)(У) Р(т) 4 «У~ Р( Ы 4 /У) Р~МУ) Р4( Ы), если у < О, то Р (у) = О. Найдем плотность дифференцированием: "Ф~~' й Например, пусть Г - У(0, ог), т.е.
«(*)=()2 ) Сравним р4(х)и рч(у) (см. рис, 3.15). М»= 1 хр»(х)сй, (4.1б) 8 — +12 —, н н 2 18 4 +12 4// Ж = 84+124 = 11, (4.1а) 5 м(, 15 40 41 Раздел 4. Числовые характеристики случайных величин 4.1. Математическое ожидание — характеристика среднего значения случайной величины Предварительное обсуждение. Предположим, нам предлагают следующую игру. Бросаем монету, и если выпадает герб, выигрываем 8 руб., а если цифра, то — 12 руб. Это означает, что имеем случайную величину », принимающую два значения 8 и 12 с вероятностями 1/2.
Бросание повторяем многократно. Вопрос: сколько в среднем мы ожидаем нолучить от одного бросания (другими словами: каково среднее значение случайной величины «?). Ответ прост. Мы понимаем, что за Ф бросаний получим примерно а за одно бросание, разделив наФ: 81+12 1 =10 2 т.е. среднее значение для» равно 1О.
Изменим игру, будем бросать 2 монеты, и если выпадает 2 герба, то выигрываем 8 руб, а в остальных случаях — 12 руб. Имеем случайную величину», принимающую значение 8 с вероятностью 1/4 и значение 12 с вероятностью 3/4. Бросания повторяются многократно, и в среднем за одно бросание, рассуждая аналогично, получаем нье. среднее значение мы получаем, сумлгируя вазлгажные значения случайной величины с весами, равнении вероятностям. Именно так и определим характеристику среднего значения случайной величины— математическое ожидание. Определения. а) Пусть» — дискретная случайная величина, определяемая значениями хь ..., хь ., и соответствующими вероятностями р1,..., ра,....
Математическое ожидание М» определяется как сумма М» =,'> хара (если рял сходится абсолютно). б) Пусть» — непрерывная случайная величина», определяемая плотностью рс(х). Математическое ожидание М» определяется как интеграл (если интеграл сходится абсолютно). Замечание. Механическим аналогом математического оэктедания лняя! ется центр тяжести системы материальных точек. Действительно, пусть в точках х1,...,хг,... находятся материальные точки с массами тг = рг, равными вероятностям.
Тогда центр тяжести хц этой системы есть 2 хата хц —— = ~> хгра =М», Х г т.е. математическое ожидание. Это позволяет иногда определять М» без вычислений. 4.2. Дисперсия — характеристика разброса случайной величины Приведем пример двух случайных величин»1 и»2, имеющих равные математические ожидания, но существенно различных по величине отклонения от математического ожидания (рис. 4.1): значениями»1 являются числа 8 и 12 с вероятностями 1/2, значениями»2 — числа 5 и 15 с вероятностями 12. Обе имеют М»1 = М»2 =10, но»1 отклоняется от среднего 10 на х 2, а»2 — на х5.
Усредним квадрат отклонения случайной величины от математического ожидания и мы получим характеристику разброса. 1Л -2 ' 2 1/2 Рнс. 4.1. Дне случайные величины с раннымн математическими ьмнданнямн н раз- лнчнымц дисперсиями если» вЂ” дискретнв, и интеграл СО П» = ( (х-М») р(х)»(х, (4.26) если» вЂ” непрерывна. Справедлива следуюглая вычислительная формула: 13» = 2; хере -(М»), если» вЂ” дискретна„(4.3а) Ф=! О» = ) х р(х)дх-(М»), если» вЂ” непрерывна. (4.3б) В справедливости (4.3а) (аналогично (4.3б)) нетрудно убедиться: 13» = ~(хе — М») ре —- 'Яхере — 2М»Яхере +(М») 2ре = я = ~~~ хере -(М») .
Поскольку дисперсия получается усреднением квадрата отклонения, она имеет размерность квадрата единицы измерения случайной величины. Для того чтобы измерять разброс в исходных единицах, вводят понятие среднеквадратичного отклонения (его также называют стандартным отклонением): (4.4) 4.3. Математические ожидания и днсперсяи длн основных законов распределения Определим числовые характеристики для некоторых случайных величин.
а) Бинарная случайная величина е. Значениями в являкттся числа 1 и О с вероятностями соответственно р и»у. Согласно (4.1) и (4.2): М» =1р+О у = р; П»=(1-М») р+(О-М») а=(1-р) р+р'Ч=рй(р+у) =щ. 2 2 2 42 Определение. Дисперсией П» случайной величины называется сумма О» ="~„(хе -М») ре, (4,2а) б) Случайная величина» распределениал па бинамиальному закону. Р<»=й)=С„'р'(1-р) '. Поскольку» — это количество успехов в п испытаниях, » можно представить суммой результатов: и »= 2,ее, е=! 1, если в А-м испытании успех, где ее = О, если в й-м испытании неуспех, т.е. » есть сумма независимых бинарных случайных величин, таких как в а).
Оказывается (зто будет ясно из раздела б), М» и 13» равны п-крат- ным значениям Мел и П», т.е. М»=пр; П» = и!чу. в) Случайная величина, распределенная по закону Пуассона. Р<»=к)= — е а; У»=0,1,2, Ут! Согласно (4.1): М» = ~ ~кр(» = к) = ~, к а е а = ае а ,'~" Л- = ае ае = а. в=О к=О ив=о Согласно (4.3а) вычислим 2 2а — а '>,хере = 2;к а, е =а2„(к-1+1)-~ —,е е=! е=! -а ан -а г = а ,'~ тпи-е а+ 2' а е а =а(а+1)=а +а, и! м! и=о и=о затем 13»=(а +а)-а =а.
2 2 Итак, параметр а закона Пуассона имеет двойной вероятностный смысл: зто математическое ожидание и одновременно дисперсия, причем стандартное отклонение о»= гт» = Га. г) Случайная величина» -М(а, оз), распределенная па нормальному закону. 43 Плотность распределения р(х) =(~2ко ) е (" ~1 Согласно (4.16), используя замену переменной х = (х — а) l и, имеем 2х 1 — щ = а ] (ч2яп) е '™ах+ о 1 х(ч2як) е '™аз = а, где первый интеграл равен 1, поскольку интегрируется плотность, а второй равен О, поскольку под интегралом нечетная функция.
С помощью той же замены нетрудно показатзь что 1Э»=о . 2 Таким образом, ясен вероятностный смысл параметров а и и норз мального Х(а, ох) распределения: а — зто математическое ожидание, а пз — дисперсия. д) Случайная величина, распределенная по равномерному закону. — ха[а,Ь], р(х)= ' О, х и [а,Ь]. Используя (4.1) и (4.3), нетрудно получить а+Ь (Ь-а) 2 М»= —; О» = —.
2 ' 12 е) Случайная величина, распределенная по показательному закону. р(х) =ае ~; х>0, а>0. 1 1 М» = —; П»= —. а а2 ж) Случайная величина, распределенная по закону Коши с плотностью р(х) =<1+(х-а) ~ /л. Математического ожидания зтот закон не имеет, поскольку интеграл в (4.16) не сходится абсолютно. Дисперсия равна бесконечности. 4.4. Общее определение математического ожидании Если б(х) днфференцируема, то, очевидно, Ь Ь ])(.)йб( ) =])( )а(.) ~, (4.56) л о где б"(х) — производная функции С(х). Если гз(х) кусочно-постоянная с точками разрыва хь ..., хн ...
и величинами скачков соответственно Ь(х~),...,Ь(хл),..., то Ь 1 )"(х)йб(х) = ,'>"„)'(х,)Ь(х;). (4.5в) Математическое ожидание М» в общем виде через функцию распределения Р»(х) определяется следующим образом: М» = ] х <У~ (х). (4.6) Если» непрерывна, т,е. Г»(х) дифференцируемв„то (4.6) в силу (4.56) сводится к (4.16). Если» дискретна, т.е. г»(х) кусочно-постоянная, то (4.6) в силу (4.5в) сводится к (4.1а). Если Г»(х) можно представить в виде суммы р»(х) = гл(х)+ Гки(х), (4.7) Математическое ожидание определяется в общем виде через интеграл Стильтьеса.
Поясним зто понятие. Пусть на [а, Ь] заданы функции)[х) и ьз(х). Разобьем [а, Ь] на части точками а = хо < х| « ... х„= Ь; составим интегральную сумму ,'~")(х,)[б(х;)-б(х, 1)], х; п(х; 1,х;) ! и перейдем к пределу при диаметре разбиения Х = шах <к, — х~ 1< — ь 0; ! предел суммы назовем интегралом Стильтьеса от функции/(х) с интегрирующей функцией С(х)г Ь [)(х)сЮ(х) = 1]ш 2,")(х,)[б(хг)-б(х; 1)].
(4.5а) а Х-ьо 45 М«= ) хрд(х)ей+,'> х;Р(х~), -СЮ 1 (4.8) Мц = МУ(») = / У(х) Ц(х) (4.12) (4.13) О« = 1 (х — М») с(Р«(х). (4В) Если верно (4Л), то Мц= )' уйр„(у) 46 где Гд(х) — дифференцируемая функция, а Р„„(х) — кусочно- постоянная, то где Р(х;) — величина скачка функции Р«(х) в точке х;, т.е. вероятность события «=х,, Дисперсия Э«через Р«(х) определяется следующим образом: Р»=~ (х-М») Гд(х)йть,'~„(х,-М«) Р(х;). (4.10) Приведем также общую формулу через функцию распределения лля вероятности некоторого события» н В, В ~ В: Р(» е В~) ар«(х). (4.11) В 4.5. Математическое ожидание функции от случийцой величины Пусть случайная величина» с известным законом распределения Г«(х) подвергается преобразованию и= г(х).
Результатом является случайная величина т1. Требуется определить Мч = М г (х) . Существует два способа сделать зто. Первый способ. Найти закон распределения Гч(у) и затем вычислить. Второй способ, вообще говоря, значительно более простой, поскольку не требует определения закона распределения случайной величины ц. Он сводится к использованию Р«(х): Аналогично определяется дисперсия: Рц=РЛ»)= ~ Х (~)йр«(~)-(МЛ»)) 4.6.
Моменты случайной велнчицы Определение 1. Начальным моментом ть порядка й случайной величины «называется математическое ожидание ее д- й степени: тд =М» = 1 к~ар»(х), если интеграл существует. Ясно, что ть = 1; т| = 34». Определение 2. Центральным моментом рь порядка к случайной величины» называется математическое ожидание х- й степени отклонения ее от математического ожидания: ра = М(» — М») = )г (х — М») йр«(х). Ясно, что ро — - 1; р1 = 1; рз —— Р».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
