Методичка - Введение в Теорию вероятностей (987776), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Формулы (4.3) для дисперсии принимают вид: О« = М» — (М»), (4.14) т.е. дисперсия есть средний квадрат минус квадрат среднего. Поскольку Р» > О, верно неравенство М» ~(М«), те. средний квадрат не меньше квадрата среднего. Раздел 5. Многомерные (векторные) случайные величины 5.1. Основные определении Мы всегда предполагаем, что имеется некоторый эксперимент, результат которого заранее неизвестен и непредсказуем. Известно множество Й = (са» всех возможных результатов эксперимента, на котором задана вероятность Р. В этой схеме а — элемент произвольной природы.
Если же исходом эксперимента являются и чисел (~ь ..., Е„) (случайная точка в Я ), то случайный исход называется и-мерной сяучайной величиной. Таким образом, й <: Я", и на й задана вероятность Р, т.е. для достаточно произвольного А, А ~ й, задана Р(А) = Р(Р, и А» — вероятность попадания случайной точки в А. Определение 1а. в чисел (Рь ..., с„) - =~ — случайный исход эксперимента, называется л-мерной случайной велич иной.
л-мерная случайная величина может определяться и задаваться более общим способом. Пусть й = (໠— множество исходов а произвольной природы и на й задана вероятность Р. Пусть на 12 определены и функций с вещественными значениями: Ь1 = ФОЗ) Ьг = Уг(СВ) " Ьи = 2и(ЕЗ) Определение 1б. л вещественнозначиых функций, определенных на вероятностном пространстве (О, Я, Ро», называется и-мерной случайной величиной. При таком определении нас интересует вопрос, как определяются вероятности случайных событий (гг,...,~и) -=с и А, А~ Рс" (попадание случайной и-мерной точки в А). Выделим в й множество В: В = (га: Г и Я (сэ),..., 1 (Оз)) и А,), состоящее из тех аз, для которых значения функций ~е А.
Поскольку В~й, дяя В задана вероятность Ргз(В) . События (г, и А) и (с н В) эквивалентны, и потому Р(А) = Р(г, и А) = Рп(В) . 48 5.2. Дискретные и непрерывные случайные величины Рис. 5.1. Рис. 5.2. Без ограничения общности можно считать, что множество значений — это узлы (х„у ), 1, / = 1, 2, ...
прямоугольной решетки, поскольку любое конечное или счетное множество точек на плоскости можно дополнить до прямоугольной решетки узлами с нулевыми вероятностями (рис. 5.!); Р(к„у) — вероятности соответствующих точек. Можем определить вероятность попадания (г„т») в некоторую область А на плоскости (рис. 5.2): Р((~,ц)еА) = "~" Р(кпу ). (кьу )сА Очевидно, сумма вероятностей всех точек равна 1: 'Я 'Я Р(к„у ) = 1. кс у. (5.1) (5.2) По совокупности вероятностей Р((х,у),) можно найти закон распределения одной компоненты, например первой: Р(г = х, ) и )~(х;) = Я Р(х;, у ), (5.3а) Уз 49 Будем рассматривать двумерные случайные величины (~,т»); основные положения оказываются справедливыми и для случайных величин произвольной размерности. Определение 2.
Случайная величина (~, т») называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно. Такая случайная величина может быть задана перечислением точек (х,у), на плоскости и соответствующими вероятностями Р 1(к у)». Р(!) = у(/ м Рч(у!) = л Р(х! уу) . (5.36) 5З. Функции рнспределеиии Очевидно, / РЬ(х,у)!(хс!)~ =1. (5.6) с = —, если (х,у)еб, (х ) Ю(С) О, если (х, у) е О. 50 51 т.е. при фиксированном значении х, суммируются вероятности всех то- чек вз й, у которых первая компонента равна х; .
Аналогично для второй компоненты Определение 3. Двумерная случайная величина (»,!)) называется непрерывной, если в любой точке плоскости (х, у) существует плотность вероятности цч(х,у), понимаемая как предел отношения вероятности попадания в прямоугольник с малыми сторонами !)х, Ау к площади прямоугольника: Р(» е (х~х+ Ьх) !1 е (у у+ Ау)) ( ) (5 4) ах-+о,ау-+О Ахи Функция р(„(х, у) называется плотностью совместного распределения для (», т)). Из (5.4) следует, что вероятность попадания в некоторую область А равна интегралу от р»ч(х, у) по А: Р/(Е !)) е А/// р(!)(х,у) !(хйу, (5.5) Плотность распределения одной компоненты определяется аналогично (5.3): СО ~О р»(х) / 7~ч(х у)4' )~(у) = / р(ч(х,у)д' (5 7) Пример 1.
Случайная величина (», Л) называетск равномерно распределенной в области б, если Значение константы с равно 1!Я(О), где Я٠— площадь области О, определяемая из (5.6). 'Пример 2. Случайная величина (», !)) распределена нормально, если р»ч(х,у)=~2ка!азч)-г ~ х г-т') ' хехр — 2г + < 1 ! (х-а) (х-аду-а) (у-Ь) 2(1 — г )~ а! а!аз атз Эта плотность имеет 5 параметров: а, Ь, аь !зь г. Линии уровня для плотности р»Ч(х,у) = с являются эллипсами с центром в точке (а, Ь); в этой точке р(„(х, у) имеет максимум. Если по (5.7) определить )к (х) и р„(у), то увидим, что» и Л подчиняются нормальному распределению, причем М» = а; 13» = а!З; Мт) = Ь; П» = аз .
Параметр г — это коэффициент корреляции между Е и 2 т! (см. пп. 7.3). Определение. Функцией распределения случайной величины (», 1)) называется функция Р(х, у), определенная на кз и равная в точке (х, у) вероятности события (» < х, 1) < у): Г(х, у) = Р(» < х, !) < у). (5.8) Обычно в индексе указывают случайную величину: Г»ч(х, у); Еи(!(х У). у Свойства функций распределе- (вкй (Ьяй иин. 1 1.
О < г(х,у) < 1. ! 2. Р(х,у) монотонно не убывает по кал(дому из аргументов. 1 3. г"(+Ос, +со) = 1. 1 - - - Π— — — — — — - т (Ьх) Р(-ОО,у) = О, Р(х, ю) = О, (вя) ! 1 4. Р(х,у) непрерывна слева по ка- 1 жлому вз аргументов. Ь Х 5. Вероятность попадания (», !)) в прямоугольник (рис, 5.3): Р(а < ч < Ь, с ь т1 < т() = г(Ь, 4 — Г(Ь, с) — Р(а, с() + Р(а, с).
Зта формула позволяет определить вероятность попадания (С, т1) в область, которую можно представить непересекающимися прямоугольниками. 6. Связь плотности с функцией распределения: д~Г ~.,у) =' """ (5.9) дх ду Действительно, в силу (5. 5) у Г(х,у)= Р(Е<«,т)<у)= 1 1 р(х',у)Ыт?у'. Дифференцирование по х и у дает (5.9). Для случайной величины ~ и (~ь ..., Е,„) произвольной размерности: д и Р ( «1 х ) Р4Ф'- хл) = !" и 7. По Г(х,у) можно определить функции распределения и плотности для отдельных компонент: Р1 (х) = Р(Е < х) = Р(Е, < х, т1 < +то) = Г (х, +т); др(х, +ьь) ти(х) = Рт (х) = — ' дх Р(у)=р(+,у), рч(у)= др(+ьь, у) ч ' * ч 5.4. Независимость случайных величин Напомним, что события А и В называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А) Р(В).
Определение 1. Дискретные случайные величины Е, и т1 называются независимыми, если при любых хт и у. Определение 3. Понятие независимости для случайных величин общего типа формулируется в терминах функций распределения. Величины Е и т1 независимы, если Рб,(;,И = Р;(. )Р„(у). (5.12) Определение 4. и случайных величин (~1,...,Е„) =-Е называются независимыми в совокупности, если Е~1«1,...«Д =Рг(«1)..РЕ(х„). (5.13) 5.5. Условные распределеннв а) Рассмотрим сначала дискретные случайные величины Е и т), определяемые совокупностью ((х;,у))~ точек на плоскости и соответствующими вероятностями 1 Р(х„у))т . предположим, что эксперимент проведен.
Стало известно значение одной компоненты т1 = у, но значение другой компоненты ~ = х =? остается неизвестным. Возникает вопрос: каковы вероятности того, что Е, имеет различные значения х;? Выпишем эти вероятности по формуле условной вероятности: ~(хт(т1=у)иР(Е,=«;)т)=у) = . (5.14) ~ч(х, у) ч(у) В этом выражении х, изменяется, ау зафиксирован. Определение. Совокупность по х, вероятностей 1514) называется условньаи распределениелт случайной величины Е при условии известного значения т1 =у.
Просуммировав (5.14) по х, с учетом (5.3б) убеждаемся, что ~)~(х;)т) =у) = 1. (5,15) Определение 2. Непрерывные случайные величины называются независимыми, если для любых х ну дяя плотностей справедливо равенство: Р4 (' И=~(.)Рч(У) (5.11) (5.10) 53 Р(1=«,,в=у,1=РК=«,1Р(ц=уЛ )~ч (х;,уз~ = )с(хт)Рч(у)). б) Рассмотрим непрерывные случайные величины Е и ц, определяемые плотностью совместного распределения РЕч(х,у). Предположим, р, (у~ ь = х) = Мх,у) рь(х) (5.1 7) т) 7~ (,у) тс(у) мМ(г! т1 = у) = что эксперимент проведен.
Стало известно значение одной компоненты т) = у, но значение другой К) остается неизвестным. Каково теперь распределение значений для г? Определение. Плотностью уславнага распределения случайной величины Ч при условии изввстнага значения т! = у называется функция от х: 7~(х ~ т)=у)= рш Р~Е, и (х,х+Ах)!т) е(у,у+Ау)~/Ах = .(5.16) ргч (х, у) а*-то,ау-то рч(у) Убедимся в том, что предел равен отношению плотностей. Действи- тельно Р(г,е(х,х+т5х) т)е(у,у+Ау)) р4ч(х,у)т5хЬУ+о(АхАУ) ргч(х,у) ох ~ (т) е (У У+ оу)) тхх(рч(У) ау+ о(оу)) Рч(У) при Ах-+ О, Ау -ь О. В выражении для условной плотности р~(х! т1=у) переменной является х, а значение у фиксировано.
Интегрирование (5.16) по х с учетом (5.3а) дает 1: рч(у) 1 ро('!Л=у)й = . 1 р4ч(х,у)й = " =1. Рч(у)-~ Рч(У) Замечания. 1. Поскольку значение у зафиксировано, Р4(х~ т) = У) = сЩч (х сз). Эта запись означает, что условная плотность, как функция х, совпадает с точностью до константы ст =1! р„(у) с сечением функции р~ч двух переменных при фиксированном значении у = ст другой переменной. Нормирующая константа с~ определяется из условия 2. Если с и т! независимы, т.е.
Р4ч(х, у) = р4 (х) р„(у), то р4(х)т) = у) = ч = " = р4(х), (5.18) 7~ч(х,У) Р4(х)Рч(У) рч(у) рч(у) т.е. условное распределение совпадает с безусловным. 3. Аналогично (5.16) вводится условное распределение случайной величины т! при условии известного значения 9 = х; 54 Замечания 1, 2, 3, сделанные для непрерывных случайных величин, справедливы и для дискретных, надо лишь плотности заменить вероятностями и интеграл — суммой. 5.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
