Методичка - Введение в Теорию вероятностей (987776), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Эти наблюдения говорят нам о том, что каждому случайному событию объективно свои|ввтствует иекоторое число — предел, к которому стремится относительная частота Этот предел назовем вероятностью (точнее, статистической вероятностью). Итак, неформально, физически (точнее, статистически), вероятность есть объекп|ивпая характеристика случайного события, дающая представление о том, как часто появится собыпте при многократном повторении опыта. Итак, статистическая вероятность — это предел для относительной частоты ( (А).
Очевидны свойства статистической вероятности: 1) Р(А) гО| 2) Р(й) = 1; 3) еслиА иВ несовместны, т. е.А гэВ= З,то Р(А + В) = Р(А) + Р(В), это следует из соотношения несовместности ч„(А + В) = ч„(А) |-ч„(В) после деления на и и перехода к пределу. В математической теории вероятность вводится следующим образом.
Аксиоматическое определение: числовая функция Р(А), введенная па подмножествах из й и удовлетворяющая свойстваи 1, 2, 3, иазывавтса вероятностью. При таком подходе соотношения 1, 2, 3 являются аксиомами вероятности, аксиома 3 называется аксиомой сложения. Дополнительно предполагается, что аксиома 3 верна для счетного числа несовместных событий: За) расширенная аксиомасложения.
Если А;гэ А Е|, | к),то Замечание. Полезно иметь ввиду, что мвхаиическим аналогом вероятности случайного события является вес соответствующего множества элементов, численно равный вероятности, причем вес й равен 1, Очевидно, аксиомы 1, 2 и 3 для веса выполняются.
1.3. Вероятностное пространство Математическая творил вероятностей изучает объект (й, Я, Р), который называется вероятностным пространством. Он содержит й— пространство элементарных исходов эксперимента, числовую функцию Р(.) и область определения этой функции — систему Я случайных событий, т. е. систему подмножеств из й. К системе Я предъявим естественные требования: операции над случайными событиями не должны выводить из Я.
Достаточно потребовать следующее. Требования к Я| 1) й но; 2) если А и 5, В е Я, то (А | В) е Я, (А гэ В) е Я, А е 5; 2а) для счетного числа событий А |, ..., А„, ..., если А„е Я, то 02 11А" 5 л=1 1.4. Следствия определения понятия вероятности 1. Вероятность невозможного события равна О: Р(Б) = О. Действительно, 1 = Р(й) = Р(й '.з 8) = Р(й) + Р(Е)) = 1 + Р(И), где 1-е равенство есть 2-я аксиом~ а 3-е равенство верно по 3-й аксиоме. 2. Вероятность противоположного события А равна 1 минус вероятность события А: Р( А)= 1 — Р(А), что следует из соотношений 1 =Р(й) = Р(А н А) = Р(А) + Р( А). 3. Вероятность любого события не превосходит 1: О я Р(А) я 1, что следует из предыдущего свойства и первой аксиомы.
4. Если А ~ В, то Р(А) я Р[В). Действительно, поскольку В = А и (В!А) и события А и(В!А) несо- вместны, то Р(В) = Р(А) + Р(В 1А) Л Р(А). 5, Формула сложении вероятностей. Для любых событий А и В Р(А+ В) = Р(А)+Р(В) — Р(АВ). Действительно, А ИВ=А ! !(В)А), причем А и (В!А) несовмесппя, и потому Р(А ~г В) = Р(А) + Р(В 1 А). (1.2) Далее, В=А В~г(В!А), причем АВ и (В!А) несовместны и потому Р(Н) Р(АВ) + Р(В Ч А). 10 (1.3) Если система Я удовлетворяет свойствам 1, 2, 2а, она называется а— алгеброй событий. Подставляя в (1.2) Р(В! А) из (1.3), получим (1.1).
Следствие. Р(А + В) ~ Р(А) + Р(В), 5а (обобщение). Формула сложения для п слагаемых: Р~ Ц Ае1= 2,' Р(Ае)-~ 2 Р(А!А))+'2'"2' 2„' Р(А!А Ал)-...+ (Л=! ) к=1 1 )(1<.1) 1 ) Е(!<)<Е) +(-1)" ' Р(А1 АЗ...Ан) Справедливость формулы показывается методом математической индукции (докажите для п = 3).
1.5. Классическое определение понятия вероятности Пусть эксперимент имеет конечное число исходов ~ й ~ = п, и все исходы «равноправны» (равновозможны, равновероятны). Это означает (в силу аксиом 2 и 3), что каждому исхолу эксперимента соответствует одна и та же вероятность 1М, и, следовательно, если ~А ~ = /с, то по 3-й аксиоме Р(А) = к-= —, ~А~ п Ц что означает: вероятность события есть отношение числа исходов, благоприятствующих появлению события, к общему числу исходов. Соотношение (4) можно обобщить, Пусть Я = (А1, ..., А ) — полная группа событий (т.е.
А, гз А) = !2), !' е)). Пусть все события «равноправны» (равновозможны, равновероятны). Тогда каждому событию из Я соответствует вероятность 1/т . Если событие В состоит нз г событий системы Я, то 1 Р(В) = г —, (1.5) т т.е. отношение числа событий, входшцих в В, к общему числу собьпий в б. Пример. В ящике )!г шаров, нз них К белых. Эксперимент состоит в извлечении всех шаров поочередно.
Какова вероятность события В = (второй шар белый) 7 1-й способ рассуждения. Исходами эксперимента являются различные перестановки нз )!г элементов. Всего М исходов. Все исходы, очевидно, равновозможны. Событию В соответствуют те перестановки, для которых на втором месте белый шар (всего К вариантов), а на остальных У- 1 местах любые перестановки нз !!г — 1 элементов, итого К(Л! — 1)! перестановок благоприятствуют событию В, и потому В соответствии с (5) Р(А) = =1-~ — ! Я(А) (2> 5 Я(13) (3! 9 !Гз !Гз х Рис.
!.2. Звлвчв в встрече 12 2-й способ рассуждения. Пронумеруем шары от 1 до У. Введем полную группу событий А!, ..., Ан, где А, = (при втором извлечении появится шар с номером Г], ! = 1, ..., ЛГ. Событие В есть объединение событий А, по номерам белых шаров (пусть это будут первые К номеров); тогда К В= 0А,. Г=1 К Р(В) = — . Г!Г Очевидно, 2-й способ рассуждения является более простым. 1.6. Геометрические вероитности Свойство Равновозможноста исходов эксперимента часто встречается в практических задачах.
Однако недостаток классического определения состоит в конечности множества исходов. Откажемся от этого ограничения. Будем предполагать, что эксперимент можно представить как бросание точки наудачу в область сз ~ Я" н -мерного пространства ()с '— ато может быть одномерное пространство, плоскость, трехмерное пространство илн пространство произвольной размерности). Пространством элементарных исходов й является область 13. Слово «наудачу» будем понимать следующим образом: вероятность случайной точке попасть в я, я с П, не зависит от формы и расположения л, а зависит только от размера я (от тех я): Р (попасть в я) =~(тех я). Можно показать (используя аксиомы вероятности), что в этом случае вероятность попадания в д равна отношению «размеровж Р (попадания в я) = тех д (1.6) тех Р Заметим, что отношение (1.6) является аналогом (1.4).
Пример. Задача о встрече. Два человека договорились встретиться в определенном месте в интервале от 12 до 13 ч (будем считать от 0 до 1), причем момент прихода каждый выбирает случайно на отрезке [О, 1] и ждет 20 мин (1!3 ч). Какова вероятность события А = (встреча произойдет)? Решение. Эксперимент мы представляем как бросание 2-х точек на отрезок [О, 1].
Пусть х — момент прихода 1-го, у — момент прихода 2-го. Множество всех исходов Й = ((х,у); х,у е[0, 1]), т.е. квадрат на плоскости. Множество А исходов, благоприятствующих наступлению А, состоит из тех исходов (х,у), для которых ~ х — у] < 1Г3: А = ((х, у): ] х — у] < 1ГЗ ). Соответствующая область показана на рнс. 1.2. В силу (1.6) Раздел 2. Условная вероятность Основные формулы теории вероятностей 2.1.
Определение условной вероятности Предварительное рассмотрение. Пример. Имеется 10 пронумерованных шаров: 1, 2, ..., 1О. Опыт состоит в случайном извлечении одного шара Рассмотрим два события А и В; А = (номер шара будет нечетным), В = (номер шара будет делиться на 3). Предположим, что опьп провели, но нам неизвестно, какой именно номер был извлечен.
Однако имеетиа, чта еобь»тие В имеет места. Спрашивается, какова при этом вероятность того, что А тоже имеет местоу Ясно, что зта вероятность 2/3, потому что, поскольку В имеет место, значит, извлечен один из трех номеров 3, б нли 9, но из них нечетных (т.е. благоприятствующих событию А) два: 3 и 9; следовательно, вероятность события А (при условии осуществления В) равна 2/3. Это значение мы определили отношением числа исходов, благоприятствующих событию АВ, к числу исходов, благоприя гствующих событию В: !Ав! 3 !в! ' Разделим числитель и знаменатель на ! й ! — общее число исходов: 2 !АВФ! Р( ) 3 !В!»'!ь»! Р(В) Последнее отношение будем считать определением. Пусть А,  — два случайных события (рис.
2.1). Определение. Отношение Р(АВ)(Р(в), Р(В)» 0 называется условной вероятностью еабыпн»я А при условии аеуи1еетвления события В (обозначается Р(А ! В)): Р(А !в) = —. Р(АВ) (2.1) Р(В) Если представлять вероятность события как «вес» соответствующего множества, то Р(А ! В) — зто относительный вес исходов Ав, отнесенный к весу В. Замечание. Зафиксируем В и рассмотрим различные события А. Для каждого А вычислим Р(А !В) и Рв(А). Тем самым мы ввели числовую функцию на событиях А: А -+ Рв(А').
Нетрудно убедиться в том, что функция Рв(А) удовлетворяет аксиомам вероятности: 1) Рв(А) > 0 2) Ре(С») = 1; 3) еслиАп ..., А„несовместны, т.е. А, г»А» = И,У»0, то Р ВЯА,) Р ()(ВА,) ~Р(ВА,) Р(В) Р(В) Р(В) , Р(В) Выполнение аксиом для Рв(А) означает, что для условных вероятностей верны формулы, полученные для вероятностей. Например, формула для условной вероятности противоположного события: Р(А !В) =1-Р(А!В), формула сложения для условных вероятностей: Р',(А' 'С) !В) = Р(А !В)+ Р(С!В) — Р1АС!В), итд. 2.2. Формула умножения вероятностей Согласно определению (2.1), если Р(А)» О, условная вероятность события В при условии осуществления А Р(В ) А) = — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
