Методичка - Введение в Теорию вероятностей (987776), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Согласно (6.3) и (6.10) л л М~ = М~ я = ~" Мя. = ~> р = пр; т=! т=! л л л 04=0Хя, = Х0я, = Хр9=пр9. т=! ~=1 т=! Пример 2. В устройстве и блоков. При испытании блок с номером т' выходит из строя с вероятностью рл Определить среднее количество выходящих из строя блоков, а также дисперсию. Количество Е, выходящих из строя блоков можно представить в виде суммы по блокам: л Е!, т=! 1 если в т й блок выходит из строя (вероятность р ) где я;= О, если т'-й блок не выходит из строя (вероятность 1- р,).
Согласно (6.3) и (6. ! О) л л Мг, = М„'~„я, = ',~ Мя, = ,'Г р;, т=! 0г, = 0,'> я, = ,'>„ 0ят = 2.' р;(1 - р,). т=! 62 Раздел 7. Числовые характеристики многомерных слу- чайных величин Пусть ~ н(4!, ..., Г )г- многомерная случайная величина (вектор- столбец). 7.1. Математическое ожидание — характеристика среднего значении случайной велнчыны М1 =1М41,...,М4„]т. (7.1) Каждая компонента этого вектора может быть выражена через интеграл: ~О Мь» = 1 хтИ~„(х) = / " )х» т(г(хт,...,хв), Я" где р~ — функция распределения случайной величины Ч», г'(хт,...,х„) — функция распределения случайной величины ч = (~т, ..., ч,).
7.2. Днсперсноныан матрица — характеристика рассеиыин Определение. Диснерсионной (ковариационной) матрицей Рг, назьтвается матрица вторых центральных моментов: Р~= ~Ьэ»' В,), »=1, ..., и, (7.2) Ь„= М~Д, - М~,)(т» -М~»)~ и сот(Ь, Ь») (7.5) называется ковариацией случайных величин ~, и ф». Если г, — непрерывна и р(хв ..., х„) — плотность вероятности, Ь)» выражается очевидным образом через интеграл: Ьэ| = ~" ~(х -М~ )(х»-МЬ»)р(хт,...,х„)г(т!...в(х„. (7.4) Я" Дисперсиониая матрица является симметричной: В =В т где Определение.
Математическим ожиданием Мг называется вектор математических ожиданий: и неотрицательио определенной, т.е. для любых значений переменных г! " тл '5.,Г г,г»Ь„> О. (7.5) Это свойство доказывается рассмотрением случайной величины т1— линейной комбинации ь!,..., ь,: т1=2 г (Ь, -Мс»). » Вычислим дисперсию Рт). Поскольку Мт) = О, Рт)=Мт) = М '~,'~.тэв»Ц -МЦ,)Я»-МЬ») =~'~'гэт»ь», ~,» что совпадает с суммой в (7.5); но Рт) > О, что и дает (7.5). Дисперсиониую матрицу можно представить так: Рг,= М(г~г~ ), где ~~ =г,-М».
(7.б) 7.3. Коэффициент корреляции — характеристика линейной связи между случайными величинами Определение. Коэффициентом корреляции между двумя случайными величинами с и т! называется величина г=гД,Ч)= "« =М ™.~™~ (7,7а) ~ФЬ,Рт) ~ о» оч Замечание. Ковариация выражается через коэффициент корреляции: сот(с,т)) = т(с, т)),(Рг Рт1, (7.7б) и формула для дисперсии суммы случайных величин принимает вид: Р(» о т1) = Р», + Рт) ь 2г /РгР!1, (7.й) Свойства коэффициента корреляции 1,!т! и1. 2. ~ т(г„т1) ~ = 1 тогда и только тогда, когда между случайными величинами г, и т) имеется линейная связь: с!~.~-сэт) +сэ = О, где с!, съ сэ — константы, причем с! +сз а сэ о О.
2 2 2 65 (7.9) где 2:= от пений 66 3. Если случайные величины» н т1 независимы, то г(», т1) = О. 4. При линейном преобразовании случайных величин модуль коэффициента корреляции не изменяется: 1г(», т1) ~ = ~ т(а, [1) ~, где а = ст» .т Ьь [1 = сзт1 + Ьь Эти свойства легко доказываются из (7.7) и (7.8). Определение. Нормированной корреляционной матрицей К называется матрица коэффициентов корреляции: Матрица К связана с дисперснонной Р» и В очевидным образом: 13»иВ=~ К3 (7.10) — диагональная матрица стандартных откло- 7.4.
Свойства математического ожидания н днсперснонной матрицы Справедливы свойства, аналогичные тем, которые были выписаны выше двя одномерных случайных величин. А. Свойства математического ожидании. 1. Пусть с и (ст, ..., с„) — вектор констант; т Мс = с. 2. Если С вЂ” матрица с неслучайными коэффициентами, то а) М(С») = СМ», С вЂ” матрица и хн, б) М(» С) = М»тС, С вЂ” матрица и х т, 3. Пусть»=-(»1,...,»к) н т) и(т)т,„.,т)„) — две многомерные слу- чайные величины, Всегда справедливо: М(» - 1) = М»- МЦ. 4. Если» и т) независимы, то а) М(» т1 т) = М» (Мт1)т; б) М(»тт1) =(М») Мт1.
Эти свойства доказываются, опираясь 1) на свойства математического ожидания для одномерных случайных величин и 2) на тот факт„что математическое ожидание матрицы со случайными элементами есть матрица математических ожиданий. Б. Свойства дисперсионной матрицы. 1. Пусть С = (со ..., с„) — неслучайный вектор; (УС = О„где Π— нулевая матрица к х и. 2. 0(С +») = Р».
3. 0(С») = С)3»С~, где С вЂ” прямоугольная матрица констант т х к. 4. а) Если» и т1 независимы, то О(»+ д) = 13» - 13ц. б) Для произвольных» и ц Ет(» т1) = 13» - 13т1 + М(»'т)' ) + [М(»'т)' )) . Перечисленные свойства легко доказываются, опираясь на (7.6) и свойства математического ожидания.
Раздел 8. Закон больших чисел Рассмотрим важное неравенство, которое потребуется при обсуждении закона больших чисел. 8.1. Неравенство Чебышева Теорема. Пусть» — случайная величина; Р(х) — ее функции распределения; М» — математическое ожидание; 0» — дисперсия. Справедливо следующее неравенство: для любого положительного ! > 0 Рф-М»~й! !3» (8.1а) здесь Д» — М»~ — отклонение случайной величины от математического ожидания.
Неравенство означает: вероятность большого отклонения мала, и она тем меньше, чем меньше дисперсия. Доказательство. Зафиксируем произвольное положительное ! > 0 и оценим дисперсию: !3» = / (х-М»)~<КР(х) > / (х — М») <!Р(х) > гз / Ю(х) = -« л ! -ье!и х )л-к<ба< .(8.16) «! Рф-М~ ~г/. Действительно, Р(ф» — Мф < Зо) = 1 — Р Ц» — М»1 > Зо') > 1 — = 1 — — = —. !3» (Зо )2 9 9' 68 Здесь сначала была уменьшена область интегрирования, затем под интегралом величина (х — М») была заменена на меньшую г; оставшнй- 2 2, ся интеграл / «Р(х) есть вероятность события !» — М»~ > !.
Если х (х-ь<б>< соотношения (8.16) разделить на <2, получим неравенство (8.1а). Используем неравенство Чебышева для обоснования широко распространенного практического правила, которое называется «Правило трех сигм». Оно утверждает, что в результате испытания случайной величины ее значение практически достоверно окажется в интервале «математическое ожидание ~ Зо», т.е. Р(٠— Зо<»<М»» Зо) «1. 8.2. Закон больших чисел (в форме Чебышева) Смысл этого закона состоит в том, что среднее ари<рв<етическае случайных величин стремится м константе при увеличении их числа: л -2:»! — — + с. и-+« <=! (8.2) Обобшением (8.2) является следующее.
Определение. Говорят, что последовательность случайных величин »<, ..., »„, ... подчиняется закону балаших чисел, если при и -+ «< ! л 1 л — 2, »! — — 2„М»! — + 0 па вероятности, (8.3) п п. <=! <=! что означает: для любого а > 0 Р -2,'»! — — 2.'М»< <е — — +!. (8.4) В частности, при одинаковых математических ожиданиях М» = а закон больших чисел может быть записан так: л '!»; — — + а по вероятности. (8.5). и->« <=! Различные теоремы дают условия справедливости закона больших чисел.
Теорема Чебышева. Если последовательность случайных величин»<, »2, ..., »« ... обладает свойствами: 1) случайные величины попарно независимы; 2) существуют математические ожидания М»; = а! и дисперсии О»<; 3) дисперсии равномерно ограничены: О»! ~ С «о, тогда последовательность подчиняется закону больших чисел (8,3) Доказательство. Согласно (8.4) лля произвольного а > 0 оценим ве- роятность с помощью неравенства Чебышева, обозначив !и 1л о« вЂ”,'<»;; Мо«-„'Га;.
п; ! и; ! 69 На самом деле эта вероятность обычно значительно больше. Например, для нормапьного распределения оиа равна Р = 0,997, для равномерного Р = 1, для показательного Р 0,98. Н =.2. (8.6) и -~„"~! — — + а по вероятности, и ! "-+" !=1 вероятности: Р— — Р «8 — „— „— -+1.
70 Оценим 11!я 1я Р~-~~! — ,'>„а<«е =1-Р<<а-Мп<се)с!-12~ — „'~ Ц! ~~к ()и; ! и! ! ~ ) (и =1-1124!~( ) 1- — ~1 2 2 С 2 л — но /=! Следствие. Если математические ожидания одинаковы, т.е. М4! = а!, то что означает: для любого е > О Р -);С! — «е — — +1. Это соотношение обосновывает в теории измерений правило усреднения измерений: при многократных измерениях величины а получаются не вполне совпадающие измерения ~!, ..., ~„.
В качестве результата берется среднее арифметическое я а=-~,~!. И!, При большом и с вероятностью, близкой к 1, получим значение, сколь угодно близкое к а. Следствием этой теоремы является теорема Бернулли; это первая теорема (1712 г.) в классе теорем о законе больших чисел.
Теорема Бернулли. Пусть А — некоторое случайное событие с вероятностью успеха Р(А) = Р, Н вЂ” количество успехов в в независимых испытаниях. Если и -+ э, то относительная частота — стремится к р по Н вЂ” — -+ !2 Н П что означает: для любого е > 0 Доказааельство. Представим Н как сумму результатов и независимых испытаннй: ! 1,если в 1-м испытании "успех", где е;= О,если в з-м испытании "неуспех". Ясно, что М я; = р; Ре! = Р(1- Р), и тогда относительная частота Н вЂ” =-,'" е.
н и, ! по теореме Чебышева стремятся к М е, = р по вероятности. Теорема Маркова. Если последовательность ~!, ..., г,„, ..., как угодно зависимых, такова, что я (8.7) 1=1 то закон больших чисел выполняется. Доказательство проводится с помощью неравенства Чебышева аналогично теореме Чебышева. Теорема Хинчина. Если случайные величины 4!, ..., Г„, ... независимы, одинаково распределены„н существует математическое ожидание, то закон больших чисел выполняется. Оставим эту теорему без доказательства, поскольку для доказательства необходимы дополнительные знания (аналитический аппарат характеристических функций). Раздел 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
