Методичка - Введение в Теорию вероятностей (987776), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Условные математические ожидания и условные дисперсии Для условных распределений мы можем определить математическое ожидание, дисперсию и другие числовые характеристики, Они нужны для многих целей, в частности, для пропюза. Если стало известно значение одной компоненты т( = у, и мы хотим предсказать ненаблюдаемую компоненту г, = х =?, то лучшим прогнозом г, является условное математическое ожидание: г = МДт) = у) и т4(у) .
Например, известна на сегодня температура в Москве, а мы хотим предсказать температуру в Ярославле. Лучшим прогнозом является условное математическое ожидание. Здесь лучшим прогнозам мы понимаем такой, для которого средний квадрат ошибки минимален. Дпя того чтобы рассматривать одновременно дискретные и непрерывные случайные величины, будем использовать единое обозначение рая (х, у), понимая его как плотность, если г, и т) непрерывны, и как вероятность при дискретных аргументах, если ~ и т! дискретны. Аналогично: Условные РаспРеделениа Рн, (х ! У), Р ч!4(У ! х) и РаспРеделениЯ компонент ро(х) р„(у) . Определение. Условным математическим ожиданием случайной величины г, при условии известного значения т! = у называется ;т,х Р4(х!т) =у), если Д,т~)-дискретна, (5.19) 1 х ро(х!т(=у)тгх,если (~т!)-непрерывна.
Определение. Условной дисперсией случайной величины г при условии известного значения т! = у называется 55 ~' (х-и~Ы) р4Цт) у)~ естш (4 т!)-в!!с!трепт! х тЕ4(«) В(Е.!т)=у) = [ (х-иь(у)) Е~(х~т)=у)атт,если (~т)) — непрерывна. (5.20) Поскольку значение у случайно, мы можем рассматривать значения функций е4(у) и аЦу) как случайные величины: 4(Ч) и МК! Ч), (4(П) и Вй! Ч).
Справедливы следуюшие замечательные формулы: М4=ММК!Ч), ВЕ, = МВ(Е ! т)) + ВМ(Е, ~ т)). (5.22) Покажем справедливость (5.21) для дискретных случайных величин. Запишем формулу полной вероятности: Р [Š— х[ —,'т„" Р(т) — у)РД вЂ” х~т) — у), у в наших обозначениях Ж )-ХРч(У)Н(1Ч-У)).
у Умножим это соотношение иа х и просуммируем: ,'т хРх(х) = ~Рч(У)~ хР4(х~т) = У), х у х что означает МЕ = ,'"„рч(у)е4(у) = Мех(т)) = ММ(~ ! т)) . у Покажем справедливость (5.22). По формуле (4.14), справедливой для любых распределений, в том числе условных 0(е!ч-у)-м(~ !и-у)-[м(4!и-у)3 . Здесь слева и справа — функции от у, которые мы можем рассматривать как функции от случайной величины т): 4(п)=Жч)-[ 4(п)~ . Если определить математическое ожидание слева и справа (используя свойство нз раздела б: математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий), то получим МВ© 1) = ММ(дз!т1)-м[м(ц 1)1 .
(5.23) Определим второе слагаемое в (5.22): ВМ(Е ! т1) = 0(е4(т))) = М(е~(т))) -[М(е4(т))~ =М[МД ~ П)]'- [ММ(Ц П)~з. Складывая (5.23) и (5.24) и дважды применяя (5.21), получим (522): (5.24) МВ(ф / т1)+ ВМ(Е / т!) = ММД ~ т1)-[ММ(Е ~ т1)1 = Мф~ -(МЕ) = Вф. ~= Еь! ° т=! где Ет,...,Е,„независимы; МЕ„= а; ВЕа = о4, ч независима от ~т,...,Е,„, 2, М» = Р, 0! = о, Рассмотрим двумерную случайную величину (х, т). Определим МЯ по (5,21): М(Я ~ « = и) = М ,'Г Е„~ « = л = М,'т Е,; = лМ~; = иа; 1,т=! / М(з ~ «) = «а; М(з) = М(МЗ | «)= М(«а) = аМ« = а«.
Определим ВЯ по (5.22); сначала найдем условную дисперсию: 0(Я~«=и)=0~,'т" Ят =л1=0~„'~ Ет~=ио4. т=! т=! Здесь мы воспользовались свойством дисперсии (раздел б): дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий. 0(Я)«) =«о4. Пример использования (5.21) и (5.22). Требуется определить математическое ожнлание и дисперсию суммы Я случайного числа «случайных величин ~,: 56 Согласно (5.22) ПЮ = М(Р(Я ! г)) + ПМ(Я ) г) = М(1 о8 ) + 17(га) = Ра8 + а сг„. 5.7. Преобразование многомерных случайных величин ~О г — у р8+ч(г)=Р(4+Ч<г) = Ц рб1(х,у)с(с4~= ) ) РО (х,у)с1г <ф.(5,26) (ой ~~г .'О -СО Для получения плотности дифференцируем: Пусть многомерная случайная величина (ф~, ...,9„) = г, с законом распределен на рс(х „..., х„) ж )ь(х) подвергается преобразованию: с Ч1=ЛК1 - 4 ) Ча = Хл(41 -,4х) или в векторной записи Ч =А4).
Требуется определить закон распределения для Ч. Найдем функцию распределения: Рч(уь-.,у.) =РИ~К) <Уь- ..7.'% <У.) = )ь(х),,если г,-дискрстиа, х~~,(х)<у),, (5.25) ...) р~(х) а!хп..~й„, если г — непрерывна. х ~~,(х)<у с а=1,,т В приведенных соотношениях суммирование (и интегрирование) производится по тем значениям переменной х, для которых ~~(х) < уг, 8 =1,..., т. Используем это соотношение для получения нужных результатов. а) Распределение суммы двух случайных величии. Рассмотрим сумму двух случайных величин с и т1 (т.е. сумму компонент двумерной случайной величины, определяемой плотностью 1ь„(х,у)). Необходимо найти плотность р1,.„(г) для суммы ч=4+Ч.
ОпРеделим фУнкцию РаспРеделениЯ Рс~ч(г) (г — пРоизвольное фиксированное число): 58 РО~ч(г)= ) Р8ч(г У У)су. (5.27а) Если в (5.26) сначала интегрировать по у, затем по х, получим р~+ч(г)= ) РО (х,г-х)с1г. (5.276) Если предположить, что г, и Ч независимы, т.е. 1ьч(х, У) = Ра (х)Р, (У), то получим СО О) )ь, (г)= ) р8(г — у)рч(у)ф~= ) щ(х)рч(г-х)сй. (5.28) Покажем, что распределение для Ч является показательным с плотно- стью 1 У р„(у)= — е З у>О*рч(у)=0 уьО (5.30) Действительно, плотность распределения для пары Дп 4з ) есть рйрз(хпхз)р8,(х~))~з(хз) =(2я)-~е- Последнее выражение представляет собой свертку двух функций р~(х) и рч(у) .
Соотношения, аналогичные (5.27) и (5.28), справедливы для дискретных случайных слагаемых. Для независимых слагаемых: р~+, (г) =,'> ~(г-у)Р (у) =,"~" Р~(х)Рч(г-х). (5.29) У г б) Распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы. Пусть ~, н ~з — независимые нормально распределенные по 1т' (О, 1) случайные величины.
Рассмотрим сумму их квадратов: Ч=ь! +12 Определим функцию распределения при у > 0: Р(у)=Р(41+91<у~= 1 1(2кГ е ~ 8г! "х2. и +хз «У Введем полярные координаты: х1 =рсоз~р; х1 = ращу, якобиан преобразования равен р. Получим з 4 — -уы / й~=-е з!о =1-В У 4у, г1, ) (2к) е Р ' рор о к Р,М После дифференцирования получим (5.30).
Используя (5. 28) и (5.29), можно доказать следующее. Утверждения. 1. Сумма двух независимых случайных величин г1 -Ф(амо~) и гз- К(аз,оз), распределенных нормально, распределена нормально с з параметрами МД+4з) =(а1+аз); Щ+чз) =а~ +аз. 2. Сумма двух независимых случайных величин, распределенных по закону Пуассона, распределена по закону Пуассона с параметром, равным сумме параметров. Раздел 6. Свойства математического ожидаиии идисперсии 6.1.
Свойства математического ожидания 1. Математическое ожидание константы есть константа Мс= с. (6.1) 2. Константа выносится за знак математического ожидания: М(с~) = сМг . (6.2) 3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий: М(8+и) = Мб+Мп. (6.3) 4.
Если случайные величины независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий: М(б и) = М~ Мп. (6.4) Покажем справедливость зтих свойств. 1. Константу с можно рассматривать как вырожденную случайную величину, которая принимает единственное значение с с вероятностью 1. 2.
Формула (6.2) доказывается применением формулы Мж=СЛ ) Р;(), (6.5) если положить Я) = с ~ и с вынести за знак интеграла. Формула (6.3) также доказывается с помощью формулы, аналогичной (6.5). Для дискретных случайных величин МДЕд) = у 'у Ях, у) Р(х, у), (6.6) К у Если в качествеЯ4,Ч) взять суммуЯ~,П) = (~ + г1), то по (6,6) МДг+г1) =,"~ 2 (х у)Р(х у) =ухЯ,Р(ху)+ ЯуЯР(ху) = х у у у х = ~„х)~(х)+ ~уР„(у) = М4+ Мп.
х у 4. Аналогично показывается справедливость (6.4); для дискретных случайных величин, если они нгзависимы, т.е. Р(х, у) = 1~(х)Рч(у), имеем М(~г1)=,'~"„,"> (ху)Р(х у) =,"~ ,'~"„(ху)В(х)Р (у) = ~,'~"хЕ~(х)1 ~.уР (у) =М~Мп. х у 1х Д у 61 6.2. Свойства дисперсии 1. Дисперсия константы с равна 0: 0с=О.
(6.7) 2. Прибавление константы не изменяет дисперсию: 0(г, + с) = 0г,. (6.8) 3. Константа из-под знака дисперсии выносится с квадратом: 0(с6) = с 0~. (6.9) 4. Для дисперсии суммы случайных величин справедливы следующие формулы: а) для независимых случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий: (6.10) 0К+п)=01+0п; б) для произвольных случайных величин: 0~+и) =0~+0п+2мд и ), где 4' = 4- М4, т!' = т) - Мт). 5. Неравенства Чебышева: 'т' т > 0 (6.11) р[(8-М8] ~ 1] < —,; 0г, (6.12) 0~ = М(г,-мг) и свойств математического ожидания Действительно: !) 0с=М( -Мс)'=О; 2) Щ+с)=М[(Ч+с)-М(с+с)] =М[Ч+с-МЧ вЂ” с] =М(Е-МЧ) =Ы; 3) 0(сг) = М [сЕ - М(сЕ)] = М [с~ - МсЦ ] = М( с (г;Мг) ~ = с 04; 2 4.6) 0(г+т)) = М[(Е+П)-М(Е,+т))] = М[Д-Мс)+(т! — Мт))] = М((ф — Мф~ +(т) — Мт)) ]+2(6-Мф(П вЂ” Мт)) =04+0т! +2МД'т!'); а) если 4 и и независимы, то по (6.4) зто неравенство понимается так; вероятность большого отклонения случайной величины от своего математического ожидания мала, и она тем меньше, чем меньше дисперсия.
Справедливость свойств 1 — 4 вытекает из определения дисперсии м(8 и ) = м~ мп' = о; 5) доказательства (6. ! 2) приведено в разделе 8. 1. Пример ! использования свойств. Проведем и независимых испытаний случайного события А„вероятность появления которого в одном испытании Р(А) = р. Определим математическое ожтщание и дисперсию количества г, успехов. Эту случайную величину можно представить суммой результатов и испытаний: г „= ,'>" я,, (=1 1, волив ! м испытании успех (вероятность р), где я, = О, если в т-м испытании "неуспех" (вероятность т) =1 — р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
