Методичка - Введение в Теорию вероятностей (987776), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Центральная предельная теорема (класснческая предельная теорема) 9.1. Сходимость распределении суммы к нормальному закону и Рассматривается сумма случайных величин Я„= 2, "~! . Оказывается, з=! при весьма широких условиях сумма при увеличении числа слагаемых распределена приближенно по нормальному закону Ф(а„,ов) с парамет- 7 рами, равными параметрам суммы: а„= Мо„, а„= ьь9„.
Точнее: функ- 7 ция раснределения нормированной суммы стремится к функции раснределения стандартного нормального закона: П и Хч™Хь! чл 2711! !=! "в — +Ф(х)и ) -з й . (9.1) л-+со /2л Нормировка состоит в вычитании математического ожидания и деления на корень нз дисперсии; нормированная сумма г„имеет М~„= О; О(„= 1. Определение. Говорят„что к последовательности случайных величин нрименима центральная предельная теорема, если выполняется свойство (9. 1). Свойство !9.1) вьтолнлется нри различных условиях, например при следующих. Теорема.
Если ~!, ., 6з„... — последовательность независимых случайных величин, причем их дисперсии равномерно ограничены с двух сторон, т.е. О < с! < В4, ~с!< с, то соотношение (9.1) выполняется. Оставим без доказательства зту теорему, поскольку она требует дополнительных знаний (аппарат характеристических функций). Свойство (9.1) нормализации — необычайно важное свойство. Согласно разделу 5.7, распределение суммы Я„случайных слагаемых определяется многократным интегрированием. СвоИство (9.1) при приближенных расчетах позволяет не выполнять зту работу.
Оказывается, достаточно определить МЯ„и ГзЯ„. Практические выводы. Если имеется некоторая величина Я, на которую влияет много факторов, и каждый из них дает малый вклад в общую сумму Я = ',Г Р,, то эта величина подчиняется приближенно нормальною=! му закону распределения. Именно такая ситуация имеет место при измерениях. На результат измерения действует много факторов, порождающих ошибки: состояние прибора, которое незначительно меняется от воздуха (температура, влажность), механических вибраций, от напряжения сети, ошибки наблюдателя и т.д. Результирующая ошибка оказывается нормальной.
По атой причине измерения обычно считают нормальными, и теория обработки результатов измерений исходит из нормальности ошибок измерениИ. Центральная предельная теорема широко используется для приближенного вычисления вероятностей, связанных с суммами случайных величин: Я„=~~!. По центральной предельной теореме приближенно !=1 Я„- К(МЯ„, 05„), и потому Р(х! й ~ч < Хз) = Рз(хз)-Рз(х!) = Ф " — Ф ' " .(9.2) 9.2. Теорема Муавра-Лапласа — частный случай центральной предельной теоремы Пусть А — некоторое случайное событие с вероятностью успеха Р(А) = р и 1! — количество успехов в и независимых испытаниях.
Представим 1! как сумму результатов и независимых испытаний: (9.3) 1, если в ьм испытании "успех", где е;= О, если в г-м испытании "неуспех". Согласно центральной предельной теореме при и -+ че случайная вел личина 1!=2 е; имеет ! ! 73 Еу=Ху! н Еу Ех Хб! 1=1 (94) Р~~/ьу~<Ь) =Р„. В силу (9.2) зта вероятность Рис. 9.1. откуда х = 3, т. е. 75 74 2 л Мр = а„= пр; о„= О2". е, = прг/. 1=1 Плотность нормального распределения с этими параметрами: (х-ни) 2 1 р(х(а„=пр;о~ =прд)= е 2л,/'щму а функция распределения Г(х) = Ф, Ф( ) — функция стандарт! х-пр1 ~,/прфу ~ ного нормального распределения. Следовательно, во-первых (рис.
9.1), (/с-нл) 2пич Р !1)! = Ц р(Ь ! а„= пр; оз = пру)Ах =, где /)х = 1 с/2ки,/ пр(/ (зто локальная формула Муавра — Лапласа), и, во-вторых, Р!Ь « / ~ Ф Ь2 «Р Ф Ь2 «Р (зто интегральная формула Муавра — Лапласа). 9З. Примеры использовании теоремы Пример 1. Оценка ошибок округления. Имеется и чисел хь ..., х„. и Требуется вычислить сумму Ях = „"~ х, . Суммирование проводим на вы- !=1 числительной машине с конечным числом разрядов, т.е. суммируются округленные значения у1, ..., уы ошибка округления б, = у, -х; — случайная величина, не превосходит половины последнего разряда.
Ошибка вычисления Если не учитывается случайный характер ошибки, то, очевидно ~Ы~~Ь,= Я в единицах последнего разряда. Однако ошибки имеют случайный характер; можно считать, что они равномерно распределены на отрезке [-1!2, !/21 и независимы. В этом случае МЬЯ = «.0 =О, 13ЛЯ = п/12. Нужно определить такое Ь =?, что /ьЯ !< Ь выполняется практически достоверно, т. е. с вероятностью, близкой к 1, например с вероятностью Р = 0,997: Обозначим х неизвестное значение: Ь/ РЬЯ = х . Тогда Ф(х)-Ф(-х) = Рд.
Учитывая, что Ф(-х) = 1 — Ф(х), имеем Ф(х) =(1+Рд)/2 = 0,9985, Ь = З~/ГЫ = Зс/и/12 = ч/3« /2 в единицах последнего разряда. Если, например„п = 300, то Ь= /3 300/2 =15. Без учета случайности по (9.4) Ьв 150, т.е. ошибка оказывается завышенной в 10 раз. Пример 2. Расчет устройств со случайимми параметрами. Пусть выходной параметр устройства Ч является функцией входных параметров ~!,~з,...Д„: Ч=ук! - 1л). (9.5) Истинные значения~!Дз,...Д„входных параметров обычно отличаются от номинальных, с которыми ведутся расчеты; пусть ~, = а; + е„где а, — номинальное значение; е, — случайное отклонение от номинала; Ме, = О;Пе! = о!, Расчетное значение выходного параметра равно г ч=Л!- а).
Нас интересует вопрос: будет ли отклонение ~Ч -~~ находиться в пределах допуска Л? Для ответа на вопрос определим вероятность РИ ч-ч!<6); если она близка к 1, то ответ утвердительный. Оценим зту вероятность. Есливеличины е, малы,то Ч=Л4!,-.,~»)=Ла!,...,а )+ХА~ и Ч Ч Х.7!в мл гле Я вЂ” производная по !'-й переменной. Отклонения е! можно считать независимыми, МЯ„=О; 05„=~."Я') о; =— ог. 1=! Оценим (9,6) по центральной предельной теореме: Ь Если зта вероятность близка к единице, т.е. — > 3, (иначе пх < Ь/3), ок то отклонение истинного значения от расчетного будет находиться в пределах допуска. 76 Контрольные вопросы Раздел 1 1.
Какая схема изучается в теории вероятностей? 2. Что такое «случайное событие»? 3. Какие операции вводятся межлу случайными событиями? 4. Каковы змпирические предпосылки введения понятия вероятности случайного события? 5. Как аксиоматически определяется вероятность? 6. Как определяется вероятность в классической схеме? Раздел 2 1. Как определяется условная вероятность? 2.
Что устанавливает формула умножении вероятностей? 3. Как определяется независимость случайных событий? 4, Что устанавливает формула полной вероятности и формула Байеса? Раздел 3 1. Как определяется случайная величина? Какие случайные величины называются дискретными и какие — непрерывными? 2.
Что такое повторные независимые испытания и что есть биномиапьная случайная величина? 3. Что утверждает теорема Муавра — Лапласа? 4. Что утверждает теорема Пуассона? 5. При каких условиях последовательность случайных точек на оси вещественных чисел (например, на оси времени) называется простейшим потоком? Какому закону подчиняется случайное число точек на интервале длины Т? 6. Как определяется функция распределения случайной величины? Каковы ее свойства? 7. В каком случае случайная величина называется непрерывной? 8. Что такое нормальный закон распределения и каковы его свойства? Ртдел 4 1.
Что такое математическое ожидание и дисперсия? 2. Что такое моменты случайной величины? 3. Как вычислить математическое ожидание и дисперсию функции от случайной величины? Раздел 5 1. Как определяется многомерная случайная величина? 2. Как определяется функция распределения двумерной случайной величины? Как связаны плотность и функция распределения? 77 3. Как определяется условное распределение одной случайной величины при условии, что значение другой известно? 4.
Что такое условное математическое ожидание и условная дисперсия? 5. Как определить плотность вероятности суммы двух независимых случайных величин по известным плопюстям слагаемых? Раздел 6 1. Каковы свойства математического ожидания? 2. Каковы свойства дисперсии? Раздел 7 1. Как определяются характеристики среднего значения и разброса для многомерной случайной величины? 2. Что такое коэффициент корреляции и каковы его свойства? 3. Каковы свойства многомерного математического ожидания и ковариационной матрицы? Разд«п В 1. В чем смысл неравенства Чебышева и как оно записывается? 2.
Последовательность случайных величин подчиняется закону больших чисел. Что это означает? 3. Какие можно назвать достаточные условия выполнения закона больших чисел? Раздел 9 1. К последовательности случайных величин применима центральная предельная теорема. Что это означает? 2. Какие можно назвать достаточные условия применимости центральной предельной теоремы? 3. Как записать теорему Муавра — Лапласа в терминах центральной предельной теоремы? 4. Как записать приближенную формулу для вероятности того, что сумма случайных величин окажется в заданном диапазоне? Оглавление .......
1 4 ....... 1 4 ....... 1 5 2.3. Независимость случайных событий ............,......,........................ 16 2.4. Формула полной вероятности............................................... 17 2.5. Формула для апостериорных вероятностей гипотез (формула ... 1 8 ...20 ...20 (биномиальный закон распределения) ...................................................
21 23 25 26 3.8. Некотор!яе основные законы распределения случайных величнн32 3.9. Преобразование случайных величин..........,..„.............,.....,.....,.....,36 Раздел 4. Числовые характеристики случайных величин ........................40 4.1. Математическое ожидание — характеристика среднего значения Введение ................. Раздел 1. Основные понятия.
1.1. Случайные события. Отношение событий .....,...,. 1.2. Вероятность. 1.3. Вероятностное пространство .. 1.4. Следствия определения понятия вероятности...,..... 1.5. Классическое определение понятия вероятности ... 1.6. Геометрические вероятности.. Раздел 2. Условная вероятность. Основные формулы теории вероятностей.. 2.1. Определение условной вероятности...,..................... 2.2. Формула умножения вероятностей ................,........ Байеса). Раздел 3. Одномерные случайные величины .................................
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
