Методичка - Введение в Теорию вероятностей (987776)
Текст из файла
УДК 519 Г-692 Утверждено учебным управленцем МЭгг в качестве учебного пособия для студентов Подготовлено на кафедре математического моделирования Рецензенты: докт. техн. наук, проф. А.Б. Фролов; канд. фнз.-мат. наук, доцент А.А. Ахметшин (Московский энергетический институт); проф. В.Н. Фальк (Российский государственный социальный университет) Г-692 Горицкий Ю. А. Введение в теорию вероятностей: учебное пособие! Ю.А.
Горицкий; под ред. Д.Г. Мещанинова. — М: Издательство МЭИ, 2005. — 80 с. 1ЗВХ-5-7046-1259-8' Пособие является конспектом лекций ло основам теории вероятностей н содержит следующие разделы: случайные события, основные формулы теор«в вероятностей, одномерные случайные величины, многомерные случайные величины, закон боя«щах чисел, центральная предельная теорема Предназначено для студентов, обучающихся по направлению «Информатн«а н вычислительная техника» Учебное издание Горецкий Юрий Александровнч Введение в теорию вероятностей Учебное пособие ло курсу «Теория вероятностей н математнчесхвя статисте«ю> для студентов, обучающихся цо направлению «Информатнха н вычнслнтельная техника» Редактор нзлательства Г.Ф. Равжабова Темплан издания МЭИ 2004 г.(П), учебн. Подписано х печати 1.09.05 Формат бумаги 60»84!16 Печать офсетная Фнз.
цеч. л. 5,0 Тн рык 300 Изд. № 177 Цена !5 руб. Заказ 33ат Издательство МЭИ, 1 1 1250, Москва, Красно«азарменная, д. 14 Отце»агаве в тнцотрафнн НИИ «Геодезия», Московская обл., г. Красноармсйсх, ул. Центральная, д. 16 15В1Ч-5-7046-1259-8 ЯЗ Московский знертетнчесхнй институт(ТУ), 2005 Введение Все явления и процессы, с которыми мы имеем дело в реальном мире, можно условно разделить на два класса: — детерминированные (закономерные, предсказуемые) процессы и явления; — иедетермннироваипьге (незакономерные, непредсказуемые), их называют случайными, сюохастнческиыи.
Примеры детерминированных процессов, 1. Бросаем материальное тело с известной высоты. Знание законов механики позволяет нам определить время падения. Мы проводим эксперимент и убеждаемся, что верно предсказали результат эксперимента. 2. Заряжаем конденсатор известной емкости известным током известное время. Знание законов электротехники позволяет нам определить напряжение на конденсаторе в конце зарядки. Мы проводим эксперимент и убеждаемся, что верно предсказалн его результат. Перечисление примеров можно было бы продолжить. Примеры недетермииированных (случайных) процессов.
1. Выбираем электрическую лампу и хотим определить время ее горения. Мы не можем это время вычислить, предсказать. Мы включаем ее и измеряем время горения. Повторяем эксперимент с другой лампой, но время горения оказывается другим. Мы повторяем этот опыт и наблюдаем изменлющиеся резулвтатап 1-й раз — 450 ч, 2-й — 230 ч, З-й — 520 ч и т, д. 2. Количество посетителей магазина за 1 ч. Мы не можем предсказать заранее, сколько их будет. За первый час было 120, за второй — 105 и т.д. Мы повторяем эксперимент по подсчету посетителей и получаем изменяющиеся реэул в тат ад 3. Количество вызовов на телефонной станции в течение минуты.
4. Классический пример: бросание монеты. Мы не можем предсказать результат. При повторении опыта результат изменяется. В приведенных примерах существенно то, что при неизменных условияк эксперимента наблюдается изменчивость рпулвтата. Теория вероятностей изучает недетерминированные процессы и явления. Она дает нам методы описания и расчета этих явлений.
Несколько слов об истории этой математической теории. Назовем несколько наиболее значимых имен из числа создателей теории. Возникновение теории относится к середине ХЧП века и было связано с анализом азартных нгр: бросание монеты, игра в кости, игра в карты. 1 этап (вторая половина ХЧ11 века) — возникновение теории — связан с известными именами: Б.
Паскаль — французский математик, физик, философ, П. Ферма — французский математик, Х. Гюйгенс — французский голландец, математик, механик, Я. Бернулли — швейцарский математик, А. Муавр — английский математик. П этап (ХЧ!1! век — начало Х)Х века) характеризуется введением аналитических методов, он связан с задачами артиллерии и задачами измерений.
В этот период теорию продвинули П. Лаплас — французский астроном, математик, физик, К. Гаусс — немецкий математик, С. Пуассон — французский математик и механик. ГП этап (середина Х1Х века — начало ХХ века) — развитие теории. Этап связан в основном с русскими именами: П.Л.
Чебышев, А.А. Марков, А.А. Ляпунов, В.Я. Буняковский, 1Ч современный этап (ХХ век) связан с наиболее значимыми именами: С.Н. Бернштейн, А.Я. Хинчин, А.Н. Колмогоров (русские математики), Н, Винер (американский математик). Раздел 1. Основные понятии Изучаемая теорией схема. Предполагается, что проводится некоторый эксперимент, результат га (исход эксперимента) заранее неизвестен, непредсказуем, изменяется при повторении эксперимента при неюменных условиях. Известно множество всех возможных исходов эксперимента; зто множество обозначим й = (га) и будем называть его пространством элементарных исходов (или множеством элементарных исходов). 1.1. Случайные событии.
Отношение событий а) Если говорить неформально, случайное собгатие А' — это событие, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента. Можно сказать иначе: случайное событие А' — это предположение относительно результата эксперимента. Пример. Эксперимент — бросание игральной кости. Множество всех возможных элементарных исходов й = (юь ..., геб)= (Гь ..., Гь)~ где Г, — грань игральной кости. Можно считать также„что множество всех элементарных исходов (это 6 чисел) — количество выпадающих очков: й= (1, ...,6). Случайное событие А' = (появление четного числа). Это событие может произойти, но может и не произойти. Мы можем выделить ю й те элементарные исходы, на которых событие А' имеет место — зто множество А = (2, 4, 6).
Случаикому событию А' соответствует множество А А' -+ А = (2, 4, 6), т.е. случайное собьгтие определлетсл множеством тех элементарных исходов, на которьгх оно имеет место. Так можно сделать всегда: для тобаго случайного события (предположения) А' можно указать множество А тех элементарных исходов, на которых оно имеет место; этим множеством и определяется случайное событие. б) Формальное определение: случайное событие А — это подмножество элементов из вв: А ~ й.
Мы не будем делать различия в обозначениях между случайным событием А' — предположением относительно результата эксперимента а) Сумма событий А и В б) Произведение событий А и В а) Собьпиа А и В иссоамсстиы г) Событие А влечет В С=А+В или С=А В. На рис.
1.!а событие С заштриховано. Точками квадрата условно показано множество Й всех исходов. 5. Событие С называется лрвизведезгием событий А н В, если оно состоит в их одновременном наступлении; обозначается С=АВ или С = А гзВ. На рис. 1.16 событие С заштриховано. 6. Два события называются иеспанеслгнымл, если их одновременное наступление невозможно; с) Событие А, протниоположиос кА л) Разность событий А и В А гзВ= И, что иллюстрирует рнс. 1.1в. 7. Говорят, что вводи»сне А влечет В», если каждый раз, когда на- ступает А, наступает и В. Обозначается (фразой) и множествам А исходов, на которых это предположение реализуется. Определения. 1. Два случайных события А' и В' (два предположения) называются эквивалентными, если нм соответствует одно и то же множество элементарных исходов.
Например, в эксперименте бросания игральной кости, случайные события А'= (появление нечетного числа) н В' = (появление 1 или простого числа, не равного 2). Этим двум случайным событиям соответствует одно и то же множество исходов (1, 3, 5), поэтому они эквивалентны. 2. Событие называется достоверным, если оно имеет место при любом исходе эксперимента. Ему соответствует все множество й. Например, в эксперименте бросания игральной кости событие А = (появление числа, превышаюшего О) . 3. Событие называется левозмпзгеным, если оно не реализуется ни при одном исходе эксперимента. Ему соответствует пустое множество И. Например, в нашем эксперименте событие А = (появление числа, большего 10).
4. Событие С называется суМмой (или обьединением) событий А и В, если оно состоит в наступлении хотя бы одного из ннх и обозначается А =э В или А ~В и иллюстрируется рис. 1.1г. зс) Полива труппа событий Рис. 1.1. Отиошснис событий 8. Событие С называется разностью событий А и В, если оно состоит в появлении А и непоявлении В; обозначается С = А — В или С = А 1 В.
На рис. 1.1д событие С запприховано. 9. Событие А называется противоположным к А, если оно состоит в непоявлении А. На рис. 1.1е А заштриховано. 1О. Система событий (А|, ..., А„) называется полном группой событий, если в результате эксперимента имеет место одно и только одно из них. Это означает: А,г~А =И, )и), 0А| =й(см.рис. 1,1ж).
1.2. Вероятность Обсудим физические предпосылки определения вероятности. Известен один опытный факт, объясняющий введение понятия вероятности. Предположим, имеется некоторый эксперимент, где й — множество его возможных исходов; А — некоторое случайное событие, например бросание игральной кости; А = (появление четного числа) . Повторим п раз эксперимент и подсчитаем количество ч„(А) (частоту) появлений события А. Обозначим )'„(А) = —" относительную частоту |„(А) и появления А. Проделаем эксперимент много раз (сотни и тысячи). Мы увидим, что относительная частота ( (А) с ростом и стабилизируется, частота )„' (А) стремится к некоторому предельному значению, обозначим его Р(А). Если мы зафиксируем другое случайное событие В, например В = (появление «6»), то мы снова заметим, что частота ЯВ) стабилизируется, но стремится к другому значению — обозначим его Р(В).
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
