Баскаков С.И., Карташев В.Г., Лобов Г.Д. и др. Сборник задач по курсу Электродинамика и распространение радиоволн. Под ред. С.И.Баскакова (1981) (977987), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Рассеянное поле является решением уравнения Гельмгольца 72Е,~,+РЗЕ,~,=О, или (. а~зРао ~+ 1 а~~арво О а ~ а» ! аз в области г) а, причем при г-~. 00 должно выполняться условие излучения Зоммерфельда. Это решение представляет собой периодическую функцию у с периодом 2п, поэтому будем искать его в виде ряда Фурье, совпадающего по форме о (12.20): (12.21) Поскольку 00 м Рйб ~~~~~~ пйп (г) е(~~ (Ф . л/Й) И= ОО каждый из коэффициентов а„должен быть решением;уравнения —" + — —" + (р~.— а') а„О, которое заменой переменной $ ° <И г й' = рг сводится к уравнению Бесселя: Фа„- 1 Иа„ / Ф 1 — "+ — „— "+~1 — — ~а„. О. а с ж ~ Е1" Линейно независимыми .
решениями итого уравнения являются функции Гаккеля Н7' ($) и Щ" ($) первого и второго рода. Отличие их друг от друга видно иа асимптотических формул, справцдливыМ при больших значениях аргумента: Нд'($) м1/ Я е(В ~з~"+цзи Н<в) (Р -~ е-/[ф-л/2 (л+!(зц $ ~ фо а$ Ясно, что именно функция Щ~ отвечает решению вида цилиндри-' ческой волны, уходящей на бесконечность. Таким образом, Е = ~~~ А Уэ (Рг')е("и ж В ее — ~~ причем для выполнения граничных условий на поверхности идеального: проводника необходимо, чтобы ~1п ~О ° (в (Р~) и„'" (Р4 Итак, найдено, что раааеянное поле выряжается бесконечным ря;. дом а~ад — о - „„, в. а .—.Ро а На больших удалениях от цилиндра это поле имеет вид цилиндрической волны, у которой угловое распределение амплитуды определяется безразмерным параметром ра: я ж — 'Е~ — ' е-1 (а -~~/4~ ~~Р " е~~Р.
Полученные ряды хорошо сходятся только при ра ~ 3. Численный анализ. показывает, что: 1) цилиндры малых радиусов (ай<0,1) рассеива1от внергию практически изотропно по всем углам; -' 180 2) более толстые цилнндры (аВ 1 — 3)-имеют резкЬ выращенный максимум рассеяния в области углов, близких к ~р = О. Интересно, что именно здесь располагается область геометрической тени, которая проявляет себя лишь прн больших толщинах цилиндров (аФ ~) 1) 141. 12ль Плоская электромагнитная волна с линейной поляризацией падает по направлению нормали на идеально проводящий Экран, в котором имеется щель шириной.2 а, ориентированная вдоль координаты у (рнс.
12.4)..Поляризация * падающей волны такова, что. 'в выбранной системе координат комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля имеет вид Е, ехр ( — Я)г) 1„. Определить дифрагированное поле, за экраном в полупространстве 2.> О. Р е ш е н и е. Идея излагаемого здесь метода принадлежит Рэлею 1111. Задача сводится к нахождению решения уравнения Гельмгольца: а й + ~+()ЭЕ„О.,' . (12.22) ' Й„(х; г) = 1 1 А (х) е1(""+*1 Р "*)дх 2п (12.25) 1З1 в полупространстве г ) О с определенными граничными условиями на плоскости г = О.
В со- р„с 124 ответствии с принципом физической оптики потребуем, чтобы значение поля обращалось в нуль на участках поверхности, закрытых идеальным проводником, а в щели равнялось невозмущенному значению поля падающей волны Е~. Таким образом, .Е„(х, 0)-'=1 ' ' ' (12.23) (Еэ( — 'а ~~х~~а), Применим к уравнению (12.22) метод разделения переменных и будем искать его решение в виде Й~ (Х, 2) = Х(Х) Я (2).
Легко проверить, что частным интегралом уравнения Гельмгольца является функция Й = А е1 (х~+ ~Р~*) (12.24)' при любом значении параметра х. Конкретный выбор этого числа позволяет описывать разлнчные волновые процессы. Так, если значение х действительно и хг <--фз, то формула (12.24) соответствует плоской волне о неизменной амплитудой, которая распространяется под некоторым углом'к осн г, зависящим от соотношения между х и р.
Прн зР ) » ~'- это выражение описывает неоднородну)о плоскую поверхностную волну, распространяющуюся вдоль осн х со скоростью, меньшей скорости света; ее амплитуда экспоненциально убывает с ростом координаты 2. Из частных решений вида (12.24) можно образовать общий' интеграл с произвольной весовой функцией А (х). Для ее нахождения учтем, Й„(х, О) = — А(х) е1""йс. 1 2п Видно, что функция А (х) есть преобразование Фурье от распреде ления поля в плоскости з = 0: А(х)= 1 Йд(х,О)е — ~*ш, В нашем случае а.
А (х) = Еае-1~"'Их=2Е, созххдх=2Е,а — '""~ . Таким образом получено интегральное представление волнового поля за экраном: Ф Ед(х з1 е ма~ е1(п~+,у1р и-) ~1 Для вычисления этого интеграла удобно воспыьзоваться изложенным ранее методом стационарной фазы. Введем полярную систему координат х = г з1п ~р, г = г соз ~р. Тогда 60 Е (г <р) Епп ~~~' хп е/г (м з!п<р+$'Р=Р сов ~р) дх Точку стационарной фазы можно найти как корень уравнения — (х- з1п <р + )~~9~ х~ соз <р) = О ив решение которого Р~аЧ хотпп .— ° У1~+ +1в'ч Ограничимся наиболее важным случаем малоугловой дифракции, когда хп щ ю ~~р. В этом приближении — 1 — ~ (х з(п ~р +)~ф' — х' соз ~р)11 Йс' На основании формулы (12,10) получим Е (г,ц)тЕ,а — ~ е — 1<а'-"/41. (12.27) дг фабр Данное выражение соответствует цилиндрической вол е ~ б этом говорит убывание амплитуды по закону 1/)/ г), у которой име 'тся у„ вая зависимость поля, выраженная тем сильнее б ьше бе раз мерный параметр ра.
Излучение максимально в направлении ~р = бпервый дифракционный нуль отвечает углам ~р„удовлетворяющим равенствам ~акр, = -Е л. Ер -Ь 12.6. Решить задачу об излучении электромагнитнь1х волн из прямоугольного отверстия размерами 2 а У. 2Ь в идеально проводящем экране (рис. 12.5). Отверстие -а со стороны полупространства г с. О возбуждается однородной плоской волной о комплексной амплитудой Е,ехр( — фг) 1 у. Рис.
12.5 Рассмотреть поле, существующее в полу- пространстве г ~ О на расстоянии от экрана, большом по сравнению как с длиной волны Х, так и с поперечными размерами отверстия. Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой Кирхгофа (12.5) относительно составляющей Е„вектора напряженности электрического поля. В точке наблюдения Р 1 е 1а' дЕр .
д е Е„. (Р) = — — — —" — ń— — д5, (12 28) 4я р дг дг р поскольку д/дп = д/дг. Интегрирование проводится по площади отверстия. Пусть Я вЂ” точка на отверстии с координатами х, у, г; Р— точка наблюдения с координатами $, 11, ь. Тогда г = 3~'6 — х)'+ (Ч вЂ” у)'+ (~ — г)'. (12.29) Обе производные, входящие в выражение (12.28), равны: Далее дг/д~'= ~/г = созб, где д — угол между нормалью к отверстию и отрезком РЯ; д е ~~ /р 1 Таким образом, Ер . е еое 6 Е (Р) — ' 1р — (1+созб)+ — е — 1Р' с5. 4в р 183 Я„(Р) д — (1 + сов 6) ~ сБ. 1ео6- Г е ®'.
(12.30) Смысл этого'выражения таков: поле в точке наблюдения есть суперпозиция полей от бесконечно малых излучающих площадок (элементов Гюйгенса) с кардиоидными характеристиками направленности. Обозначим символом г, расстояние от центра отверстия до точки наблюдения. Тогда ~ г,— — — — т г,— хсоэО,— 'усоз 6„ х$ ЮЧ ~е где 6, и д, — углы, образованные вектором г, и осями х и у соответст вен но.
Используя данное приближенное выражение для' вычисления интег.рала (12.30), получим йу(Р) = 1 '1 е — В' (1+ созд) еВ ФЧЬ Из 64ду— 1Ео О ~о ~а соэ бз 1Й соэ б~ Итак, исследованное поле представляет собой неоднородную сферическую волну с максимумом излучения вдоль оси системы. Угловые зависимости поля в обеих взаимно перпендикулярных плоскостях имеют лепестковую структуру;*они выражены тем сильнее, чем больше параметры ра и рЬ.
Рассмотренная здесь дифракция на больших расстояниях от излучателя получила название дифракции Фраунгофера. 12.7. Решить предыдущую задачу для случая, когда точка наблюдения по-прежнему находится на расстоянии многих длин волн от излучающего отверстия, однако зто расстояние по порядку величин сравнимо со сторонами прямоугольника а и.Ь. Р е ш е н и е; Пусть точка наблюдения Р располагается в плоскости ~ = сопз1. Особенность постановки задачи состоит в том, что при вычислении расстояния г между точками Р и Я по Формуле (12.29) уже нельзя пренебречь квадратичными членами и следует записать гж~+ ( ~) +(" ч) +...
" (12.32) Указанные дифракционные явления называются дифракцвей Френеля. В случае г)) Х вторым слагаемым под знаком интеграла мбжно пренебречь; кроме того, ца большом удалении от экрана величина соз 6 мало изменяется от точки к точке. Поэтому Вудем, как вто обычно принято, интересоваться полем йб сисТемы, когда (1 + сов о) ж 2.
Подставив (12.32) в (12щ -„„ /Е,)) е )а~ а' ) )З 1а ")'+)а=Ч)* й„(р) ~ — — ' -а -Ь В последней формуле зависимость поля по коОрдинатам $ н 21 выражается как произведение однократных интегралов одинаковой структурь). Рассмотрим один из них: -Ю' — „' В результате подстановки и=)я~ди) ~х — )) . этот интеграл записывается в виде .. 2~ Ъ'37( 27) (а- $) — — е-)"* ди. -ГЗЛ2 ) 1а+.ф) Такие интегралы принято выражать через специальнйе неэлементарные функции — интегралы Френеля [71: С(и)) = — 2 сози2ди', 2) ~ 5 (и)) = ~ — з)пиес(и, 2.
ФЪ так что е-1"' ди =. —" (С (ы) — 'ф (и)] Воспользовавшись последним равенством, получим / .~ = у — "$С (д(а — 9) — С(д'(а+ 9) — 15(д(а — Ц)+/3 (д(а + $))3, / л~ где у=$/р((2~). Обычно интересуются не самой величиной 1, а квадратом модуля .1)'; который йропорционаден вреднему значению вектора Пойнтинга. Анализ показывает М, что при дифракции Френеля сохраняются многие. черты, характерные для геометрической оптики. Так, значения $ = -).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
