Баскаков С.И., Карташев В.Г., Лобов Г.Д. и др. Сборник задач по курсу Электродинамика и распространение радиоволн. Под ред. С.И.Баскакова (1981) (977987), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Если электромагнитная волна определенного нида (плоская, цилиндрическая, сферическая) падает на объект, отличающийся по своим электродинамическим свойствам от окружающей среды, то имеет место явление дифракции волны на объекте. Для решения задач дифракции необходимо найти распределение токов на препятствии, вызванных падающей, волной, а затем просуммировать переизлученные поля по принципу суперпозиции.
В этом смысле между проблемами интерференции и дифракции есть много общего. Имеется два основных подхода к задачам дифракции. Строгие методы При использовании строгих методов рассеянное поле отыскивают как решение однородных уравнений Гельмгольца: (12.3) которое на поверхности рассеивателя должно удовлетворять соответствующим граничным условиям, вытекающим из постановки задачи. Кроме того, должно выполняться усювие излучения Зоммерфел да, позволяющее выделить решение вида расходящейся волны.
В трехмерных задачах это условие имеет вид (12.4) г-+оо ~ г Методы физической оптики Эта группа приближенных методов теории дифракции основана на формуле Кирхгофа, утверждающей, что решение скалярного уравнения 7~ф + ~~ф = О в произвольной точке Р, находящейся внутри'замкнутой поверхности 3, выражается интегралом . " ! е. ~З' д~> д е 'Ф (Р) = — — — — Ф вЂ” — дЗ, - (12.5).
4л г дл дл ° г где Фоп — производная по направлению внутренней нормали; г— длина отрезка между точкой наблюдения Р и переменной точкой интегрирования. формула (12.5) дает строгий результат, если на границе области значения ф и д$/да известны точно. В задачах дифракции, решаемых методами физической оптики, вместо точных значений поля и его производной на границе принято использовать приближенные величины, которые имели бы место в этих точках пространства в отсутствие объекта дифракции.
Такое приближение хорошо оправдывает себя, если линейные размеры объекта существенно больше длины волны. Важным понятием в приближенной теории дифракции являются зоны Френеля И вЂ” воображаемые области на волновом фронте падающей волны, характерные тем, что колебания, приходящие в точку наблюдения из разных точек зоны с одним и тем же номером, отличаются по фазе не более чем на 180'.
Лля плоского волнового фронта У-я зона Френеля есть кольцевая область, определяемая неравенствами 1гйа) г ) У (у — Т) ~а, (12.6) где г — расстояние от волнового фронта до точки наблюдения. $!хх пРимеРы Решения типОВых 3АдАч 12.1. В неограниченной среде, электродинамические свойства которой описываются параметрами е, и ми, размещается бесконечно тонкая нить тока, ориентированная вдоль оси г цилиндрической системы координат. Ток изменяется во времени по гармоническому закону с частотой в, причем его амплитуда и фаза в каждой точке оси одни и те же.
У Определить характер зависимости поля излучения нити от радиальной координаты г на расстояниях, достаточно больших в волновом масштабе, т. е. при рг )) 1. р Решен и е. Если мысленно разбить изб лучающую нить на бесконечно малые отрезки длиной дг, то каждый из них будет представлять собой элементарный электрический излучатель (диполь) с моментом Йг. Если г— текущая координата вдоль нити, а точка наблюдения располагается в плоскости г = О, Рис. 12,1 то длина отрезка, соединяющего точку наблю- дения Р и излучающий элемент, й = = $Г г' + г' (рис. 12.1).
Поле элементарною излуча1еля следует опре. делять по формуле, справедливой для дальней зоны: 1Й вЂ” 1ф а1п 41 е !РЯ Ф= дг, 4и й причем, как видно из рисунка, в 1п 6 тд~ Р 4 г' . 174 По принципу суперпозиции результирующее поле, излучаемое ни. тью, находят путем интегрирования: г е ~з 1~~+' Интегралы такого вида характерны для различных задач дифракции.
Рассмотрим один из часто используемых методов их приближенного вычисления — метод спищионарной фазы. Сущность его состоит в том, что в мнимый показатель экспоненты, стоящей под интегралом, входит безразмерный «большой параметр» р» )) 1. Поэтому с изменением переменной г подынтегральная функция быстро осциллирует, так что существенный вклад в интеграл вносит лишь малый уч;и.ток оси г, включающий точку, где производная от подынтегральной функции по г обращается в нуль (отсюда название метода). Рассмотрим интеграл ,1 = ~р р е-и <' ~~,н (12.8) где а (1, $) — медленная функция переменной 1, $ — большой параметр задачи. Пусть ~, — единственный действительный корень уравнения ~~' О, $) = О (рассуждения легко перенести на случай нескольких корней).
Тогда вблизи этой точки справедливо разложение в ряд Тейлора; Предположим также, что экстремум функции ~(1, 9, в точке 1» является резким, т. е. ~ 1' (1„$) ! )) 1й,". В результате получается приближейное соотношение Р же и н ~~ д(то В) е-1н-г,>'у" н.а>(» сЫ (12.9) Поскольку сов(аф)Нд= ~ в~п(аЯ4/=)/ —, при любых а ~ О (см. 191), то 275 Подставляя этот результат в формулу (12.9), получим окончательно у 1 / 2~ (т р 1 у Но. В)+я/43 (12.10) Ио» В) поэтому точка стационарной фазы имеет координату г = О.
Далее име. ем 1'" (О, г) = Вlг:: О. Следовательно, -и У "+" е Нг ~ ~/ (Рг+и/4) Ф+Я" й гз откуда — <ВУз~ф' (12.11) На.основании формулы (12.11) можно утверждать, что при достаточном удалении от излучающей нити электромагнитное поле имеет' вид цилиндричесюй волны, распространяющейся вдоль радиальной координаты, поскольку амплитуда волны падает с увеличением радиуса по закону 1/3гг (гораздо медленнее, чем в случае сферической волны).
Строгое решение задачи о возбуждении свободного пространства нитью сиифазного тока ! приводит к следующему. результату 141." Н„(г) = —. Н'1' ' (рг), 4Ф (12.12) где Н'~" фг) — функция Ганкеля второго рода первого индекса, которая при больших значениях аргумента имеет асимптотическое представление Н<~, (~ ) „1~, 2 -1(ак-зд/4) (12.13) Подстановка этого выражения в (12.12) сразу дает формулу (12.! 1). $2.2.
Согласно условиям предыдущей. задачи ..найти 'закон, описывающий пространственное изменение напряженности магнитного поля, возбуждаемого в свободном пространстве бесконечной нитью синфазного тока на расстояниях; значительно меньших длины волнМ,'т.-: е. при рг (( 1. (предполагается, что ~" (ке, В):» О). Применим метод стационарной фазы к оценке интерфереиционного интеграла (12.7). Здесь ~(г, г) =р)/'г~+Р, г (г,г)=~гф г'+г', Р е ш е н и е. Здесь, по крайней мере, 1(ля ШЗУ~221к2~11(~ ближайших к точке наблюдения, следует воснользов соответствующей ближней зоне элементарного излучателя: ° 12!цбе 1ая . г1е )а1 +", 4лК' 4я(га+ла)ЗГ2 Излучающие элементы, расположенные на большом (в масШтабе длины волны) удалении от точки наблюдения, создают поле, отвечающее дальней зоне.
Легко понять, что их вклад в суммарный эффект будет мал как за счет спада амплитуды по закону 1Я, так и вследствие уменьшения интенсивности излучения в направлениях, близких к осе-' вому. Поэтому формулу (12.14) будем использовать для всех излучаощих элементов, так что ~1 )' е 1З 2'7'+ г~ Ню(г) = — ' Йз. 4а .! ( а+ 2)212 , - Если к выражению (12.15) применить формулу Эйлера, то очевидно, что (12.15) ""о~" )" )*=о (г2+,2) 212 из-за нечетности подынтегрального выРажения. Далее, вводя безразмерную переменную и = 21г и малый параметр й = рг, будем иметь З ! "~' ал)~~Гфи'), (12,16) 4)'ог,) (! ! ца)312 1?? Зак„ 223 Вычисляя этот интеграл при а (( 1, можно приближенно заменить числитель подыитегральной функции на единицу. Действительно, сов (а3/! + и') ~ 1, если аргумент а)~! + и2 не превышает 2(з.
При этом переменная интегрирования изменяется в пределах ( — 1/(4а), + !1'(4а)). Знаменатель подынтегрального выражения, равный едини- це при и = О, на границах указанного интервала возрастает до 1/(64 аа). Поэтому с полным основанием можно пренебречь изменением вклада в,общий интеграл от двух полубесконечных интервалов, кото- рое получится при грубой оценке числителя, Итак, Но, (г) ж — ~ = —.
(12.17) о(и 1- 4)ог ~ (! +Иа)З/2 Ядг 00 Этот результат справедлив на малых пЬ сравнению с длиной волны расстояниях от излучающей нити; электромагнитные процессы носят квазистационарный характер и напряженность магнитного поля опи- сывается формулой закона полного тока. Проверку этого приближенного результата можно сделать на осно-. вании строгого решения (12.12). Известйо, что при малых аргументах Ж*'(Р) = =. лРг Если подставить это выражение в (12.12), то получится закон полного. тока (12.17).
12.3. Излучающая система представляет собой совокупность Ф параллельных нитей синфазного тока, ориентированных твк, как' показано на рис. 12.2. Полагая, что токи во всех нитях имеют одинаковые начальные фазы, вычислить угловое распределение амплитуды поля на больших расстоя-' ниях от излучающей системы. Р е ш е н и е. Как известно (см. задачу 12.1), в дальней зоне каждая нить создает цилиндрическую волну вида 0 (г) — Ае-1з д')~к, На расстояниях, больших но сравнению как с длиной волны, так и с поперечными размерами системы, можно полагать, что в точку на, блюдения вт каждого излучателя при-. ходят локально-плоские волны одина-, ковой амплитуды, отличающиеся лишь ~НФ углами сдвига.
фаз. Если- ввести фазо- вый сдвиг между колебаниями от со- ~Ыпд. седиих нитей ЮИ ф = рпз1пд, то множитель направленности системы 'Н вЂ” ! Рис, 12.2 Нй) = .'~'„е й 0 Суммируя эту геометрическую прогрессию, получим выражение Р(~) =, (12.18) модуль которого УФ)1= (12.19) Анализ фбрмулы (12.19) свидетельствует о следующем. "1. При 6 — 0 получается максимум результирующего излучейия; амплитуда поля возрастает в У раз по сравнению о амплитудой поля одиночного излучателя ввиду когерентного сложения волн. 2. Если угол 6 удовлетворяет условию й~а~з(пд = -чтя (т = 1,2, 3, ...), то наблюдаются нулевые значения амплитуды поля из-за интерференции колебаний.
пв 3. Помимо основного лепестка в диаграмме направленности имеются также побочные лепестки, расположенные симметрично относительно направления максимального излучения. Однако их уровень меньше из-за роста знаменателя в формуле (12. 1Я).
12.4. Идеально проводяп1ий круговой цилиндр радиусом а ориентирован вдоль оси г (рис. 12.3). Плоская линейно-поляризованная волна падает на цилиндр в положитель' ном направлении оси х. Вектор напря- У женносги электрического ноля падающей волны имеет единственную составляющую Й,, Ф Вычислить напряженносп поля, рас- .
Е, сеянного цилиндром во всем простран.- Е Х стае. пав Р е ш е н и е. Вводя цилиндрическую б систему координат (г, ~, г), для комплексной амплитуды вектора напряженности электрического поля падающей волны получим выражение Рис. -12.3 =Е е Вх1 =Е е — фа ов<Р1 паз — 0 0 г. Эта периодическая функция угловой координаты ~ может быть раз-. ложена в ряд Фурье (3): Еа д = Еи „~,"„.~~ (рг) е~л ~<р-л/й>., (12 2Э) При указанном в условии выборе поляризации поля падающей вол. ны очевидно, что и поле рассеянной волны будет иметь единственную отличную от нуля составляющую Е,р„, такую,,что на поверхности идеального проводника Е, .+й„„1,,=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
