Диссертация (972023), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Система RSA.Односторонние функции и функции с секретом.Криптосистема без передачи ключей. Криптосистема соткрытым ключом и оценка ее надежности.Электронная подпись. Однозначность примененияключей абонентами при пользовании электроннойподписью.Индексы, дискретный логарифмПоказатели чисел и классов по данному модулюВычисление показателя. Первообразные корни.
Индексычисел и классов по данному модулю. Вычислениедискретного логарифма.Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии иих трудоемкость.Сравнение трудоемкости арифметических операций,используемых в криптосистемах. Полиномиальныеалгоритмы, вероятностные алгоритмы.
Распознаваниепростоты числа. Псевдопростые числа. Факторизациянатуральных чисел. Вскрытие системы RSA.23456ПроведенныйвышеобзорбылпризванТрудоёмкость по видамучебных занятий(в акад.часах)Лек Лаб Пр Всего224481224222642410286166продемонстрироватьвозможности разработанной нами модульной структуры дисциплины МСЗИ.1223.2. Опытно-экспериментальное обучение студентов основам защитыинформацииПри реализации дидактической модели профессионально направленнойпрофессиональнонаправленнойматематическойподготовкиучителейинформатики при обучении методам и средствам защиты информации намипроводились лекции, семинары, ЛИР, осуществлялся поэтапный контрольуровня сформированности ППК дисциплины МСЗИ.
Остановимся навопросах практической реализации этих видов деятельности в процессеизучения дисциплины МСЗИ.3.2.1. Лекционные занятия проводились в классической форме.Отметим лишь тот факт, что в случае изучения базовой математическойдисциплины (например, теории чисел) обычно реализуется схема, условноназываемая «от теории к практике».Теория чиселМСЗИПрактическаязадачаТеорияПриложениетеорииПрактическаязадача•••ПриложениетеорииПрактическаязадачаТеория 1Приложениетеории1•••Приложениетеорий1и2Теория 2Приложениетеории2Рис.
3.2.1. Сравнительные схемы представления лекционного материалаВ нашем случае выраженный прикладной характер дисциплиныобуславливает реализацию иной схемы, в которой сначала мы ставимпрактическую задачу, далее приводим необходимые сведения из различных123теорий, а затем говорим, как отдельно каждую из теорий или их комбинациюможно применить к решению поставленной задачи (рис. 3.2.1).Наиболее яркими примерами реализации данной схемы являютсялекции в рамках модулей М4, М6 и М7.
Так, изучая модуль М4, мыформулируем задачу вскрытия системы RSA. Существуют различныенаправления поиска решения поставленной задачи (дискретный логарифм,факторизация модуля). Для решения задачи дискретного логарифмированияученые также расходятся в разные стороны (теория индексов, алгоритмысогласования). В конечном результате, объединяют успехи различныхнаправлений, создавая комбинированные методы, более эффективные длярешения исходной задачи. Факторизация большого натурального числа,которая изучается в модуле М7, также вынуждает нас знакомить сначала снезависимыми друг от друга теориями Ферма, Эйлера, теорией цепныхдробей и теорией квадратичных форм, каждая из них предлагает своиинтересные решения. Однако к вскрытию системы привело именнообъединение этих идей в сложный вероятностный алгоритм, результаткоторого не является гарантированным.При изложении этого материала на лекциях мы ставим задачу, затемотдельноизлагаютсяотрабатываетсятеориииихуспехи;насеминарахиЛИРреализация этих подходов к решению задачи, оценка ихэффективности.
Только потом целесообразно знакомить студентов срезультатом совместных усилий этих теорий. Отметим, что демонстрацияименно этапов решения проблемы, взаимопроникновения идей из разныхтеорий является основной целью нашей дисциплины, как уже отмечалосьранее. Дело в том, что большинство рассматриваемых в курсе задач являютсярешенными только в некоторой степени (что существенно отличаетдисциплинуМСЗИотдавносформировавшихсяклассическихматематических дисциплин), поиски новых эффективных решений ведутся вреальномвремени,инашазадача-познакомитьнаправлениями, разрабатываемыми в этой области.сосновными124Исключение из представленной схемы составляет только изложениемодуля М1, где нет необходимости знакомить со специальными теориями, алогика изложения выглядит как «задача → решение = новая задача →решение = новая задача→…», где каждое решение предыдущей задачиставит задачу новую, например «есть шифр, нужен метод вскрытия →найден метод вскрытия, нужен новый шифр → и т.д».
При этом модуль М1задает направление всей последующей содержательной линии «от задачи крешению».3.2.2. Как уже отмечалось, мы рассматриваем семинарские занятия какпромежуточную форму между лекциями и ЛИР. Рассматривая некоторыетеории, мы нуждаемся в возможности на практике увидеть реализациюизученного материала, чтобы в последующем студенты могли:- рассмотреть возможные исходы применения теории;- спрогнозировать результат;- выбрать необходимое приложение;- скомбинировать действия из различных теорий.Для модуля М1 потребность в таких занятиях совсем отсутствует.Остальные модули содержат серьезную фундаментальную математическуюсоставляющую, требующую отработки на семинарах. В таблице 3.2.1представлены темы, которые необходимо отработать в рамках каждогомодуля, и примеры соответствующих заданий.Таблица 3.2.1.Темы и задачи для семинаров по дисциплине МСЗИМодульМ2М3ТемаЛинейныесравненияисистемы линейныхсравнений.Надо отработатьРешение системсравнений,теоремаоразрешимостилинейныхсравнений.Матрицынад Нахождениекольцом классов обратных матриц.вычетов.РешениесравненийсПримеры заданий1) Решите систему сравнений:⎧ x + 4 y − 1 ≡ 0 ( mod 9 )⎨⎩ 5 x − 8 y − 2 ≡ 0 (mod 9) .2) Для любого натурального а решитесравнение: (a 2 + 2a) x ≡ 1 (mod a 2 + 3a + 1)1)Найдите обратную матрицу по модулю⎛15 17 ⎞⎟⎟ .26 для А= ⎜⎜⎝4 9⎠125бигрраммами.М4М5М6М7М8Теоррия сравненний.Теоррия индексов.равнения2)Наайдите бигррамму из ср⎛14 11 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛10 ⎞⎟⎟ • ⎜⎜ ⎟⎟ ≡ ⎜⎜ ⎟⎟(modd 26)⎜⎜⎝17 10 ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ 11⎠.Поииск обратныхэлемментов.Наххождениеперввообразныххкорнней,посттроениетабллиц индекссов.1) В системе ««с открытыым ключомм» помодуулю 259:а) наайдите две различныее пары ключчей;б) укажитеукооличество возможныхх паршиффрующих кллючей (с уччетом поряядка).2) Сооставьте тааблицу инддексов помодуулю 13, исппользуя в качествекосноования наиббольший поо абсолютннойвелиичине первоообразный корень изотреззка [0;10].Времменные оценки Сисстемы1)Выыразите 106 в системмах счислеения ссложжностисчиссления.осноованием 2, 7 , 26, 33.алгооритмов.Оцеенка2)Наайдите верхнюю гранницу для числасложжностидвоиичных опеераций, нееобходимыхх дляалгооритмов.вычиисленияПсеввдопростыееОпрределение1) Проверьте,Пявляется ли числло 91числла.псеввдопростыххпсевдопростымм по осноованию 2, 3, 5.чисеел.дите по крайней мерем10 такихНайдСпеециальныеосноований.псеввдопростыее.2) Прроверьте, ччто числа 1105,11729, 2465,2821, 6601 являяются числлами Кармаайкла.МеттодыПриименение1) Наатуральноее число краатно 4.
Облладаетфактторизации.разлличныхли онно собственнным преддставлениеммметоодов и их квадрратичной фформой x2 + y2?оценнка.2) ФакторизуйтФте n = 24994633, испоользуяметоод последовательногго делениия напросстые (испоользуя таблицу проостыхчисеел).ООценитеколиччествовыпоолненных дделений.Конеечные поляя.Посстроение1)Доокажите,чтомногочленмМноогочлены над конеечного полля.x6 + x5 + x3 + x2 + 1непприводимнадконеечным полеем.Наххождениеполеем F2 .поряядка432мноогочлена над 2)Зная, что мноогочлен x + x + x + x + 1над полемм F13 , наайдитеконеечным полем. непрриводим нпоряядокмногоочлена2074326x ( x + 1) ( x + x + x + x + 1) над F13.3.2.3. Как уже не раз отмечаллось, мы полагаемм основнным видоомнаучеббной деятельностии лаборааторно-исследоватеельские рработы, которыектеорретическоом,пррактическкомиобщеппрофессиоональноммуроввнеобусславливаюют форммированиее ППК модулей,мдисципллины в целомци, вконеечном сччете, учааствуют в форммированиии общей професссиональнной126компетентностибудущегоучителяинформатики.ВыполнениеЛИРпредусмотрено в рамках каждого модуля.1234Задания ЛИР №1«Старинные шифры и олимпиадные задачи» (Модуль М1)Зашифруйте свое имя, фамилию и отчество, используя один изшифров подстановки и один из шифров перестановки.Зашифруйте свое имя, фамилию и отчество, используя решеткуКардано.
Определите количество ключей для квадратной решеткиКардано 6 на 8.КриптограммаЙхпм кмлся цйег тердсйцСй уйыдпяхг, сй хйфимхя!Ж ийся чсасмг хрмфмхя:Ийся жйхйпяг, жйфя, сдхцдсйц.получена «простой заменой» букв на буквы того же алфавита, (е,ёне различают). Используя метод частотного анализа, прочтитечетверостишие А.С.Пушкина.Придумайте свой шифр и зашифруйте известную пословицу.ЛИР № 1.1 (РП)Шифрование идешифрованиеЛИР № 1.2 (ПИ)Решениеолимпиадных задачУровеньзаданияРРППИИПЛИР № 1.3 (ИП)Конструированиесвоих методовшифрованияРис.3.3.1. Задания ЛИР № 1 «Старинные шифры и олимпиадные задачи» (Модуль М1) При изучении модуля М1 необходимость проводить семинарскиезанятия отсутствует. И в случаях, когда позволяют аудиторные часы, заданияЛИР № 1 можно распределить в последовательность работ ЛИР № 1.1, ЛИР№ 1.2, ЛИР № 1.3 с постепенно растущим уровнем исследовательскойактивности (рис.3.3.1).
Это помогает студентам плавно перейти отрепродуктивной деятельности (воспроизведения услышанного на лекции илисеминаре) к генерации собственных идей, выбору оптимального методарешения, составлению новых задач, проецированию изучаемого материалана будущую профессиональную деятельность.Задания ЛИР отличаются не только уровнем проводимого студентом127исследования, но и целевыми аспектами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
