Диссертация (972023), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Срравните их трудоеммкость.86В качестве основной литературы студентам могут быть предложеныпособия: Деза Е.И., Котова Л.В. «Теоретико-числовые основы защитыинформации» [84]; Коблиц Н. «Курс теории чисел и криптографии» [74].В качестве дополнительной литературы могут быть использованыработы [7], [13], [26], [29], [30], [31], [38], [40], [41], [55], [98], [122], [127],[142], [177].М6 ПРОСТЫЕ И ПСЕВДОПРОСТЫЕ ЧИСЛА.
Простые числа;критерии простоты; тесты на простоту (Ферма, Соловэя-Штрассена,Миллера-Рабина); псевдопростые числа; числа Ферма, Эйлера, Кармайкла;сильныепсевдопростые;генерациябольшихпростыхибольшихпсевдопростых чисел.Для изучения данного модуля требуется знание основных разделовтеории чисел; необходимы и навыки программирования (внешние ППК).Актуальными внутренними ППК дисциплины являются для данного модуляТППК-2, ТППК-5, ПППК-4, ПППК-5, ПППК-6, ОПППК-2, ОПППК-3,ОПППК-4.Уточняя их, мы получаем следующие ТППКМ6, ПППКМ6 и ОПППКМ6модуля М6:- знает определение и критерии простоты натуральных чисел (ТППКМ61); знает теоретические основы, лежащих в основе тестов напростоту(ТППКМ6-2);- знаком с понятием псевдопростого числа (ТППКМ6-3);- способен реализовывать тесты на простоту, анализировать ихдостоверность и эффективность (ПППКМ6-1);- способен использовать материал о простых числах во время урочной ивнеурочной деятельности (ОПППКМ6-1);- готов использовать полученные знания для помощи учащимся школы вподготовке к ЕГЭ и олимпиадам (ОПППКМ6-2).Примеры Т-заданий.87•Докажите, что если p и 2p-1 - простые числа и n = p·(2p-1),то n - псевдопростое для половины возможных оснований, а именно для тех,которые являются квадратичными вычетами по модулю 2p-1.•Докажите, что если p - простое число и p-1=2кd, где d - нечетное,то для любого целого а, взаимно-простого с p, будет выполняться сравнениеa d ≡ 1(mod p ) или одно из сравнений a2r d≡ −1(mod p) , где r ∈ [0, ..., k-1](тест Миллера-Рабина).Примеры П- заданий.•Найдите все основания, для которых число 21 - псевдопростое.•Докажите, что никакое целое n=3p, где p- простое, большее 3, неможет быть псевдопростым по основаниям 2, 5 или 7.В качестве основной литературы студентам могут быть предложеныразработанные на кафедре теории чисел математического факультета МПГУпособия: Деза Е.И., Котова Л.В.
«Теоретико-числовые основы защитыинформации» [84]; Деза Е.И. «Специальные числа натурального ряда» [51].Дополнительными источниками могут служить работы [7], [8], [10],[26], [30], [31], [40], [41], [74], [98], [99], [104], [122], [127], [140], [146], [152],[153], [177].Модуль М6 в рамкахизучениядисциплиныМСИЗявляетсялогическим продолжением модулей М4 и М5.
Совместно с модулем М7 онможет полностью содержательно обеспечить дисциплину по выбору«Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии». Однако модуль вполнесамостоятелен и может быть реализован в рамках теоретико-числовойдисциплины «Специальные числа натурального ряда». Тема простых чисел иих уникальных свойств дает широкие возможности для индивидуальнойисследовательской деятельности студентов при написании ими курсовых ивыпускных квалификационных работ, а также организации внеурочнойдеятельности будущего учителя, как информатики, так и математики.88Наглядно возможности реализации данного модуля показаны нарисунке 2.2.8.ПрограммированиеТеория чиселМодулиМ4 и М5Д/в «Теоретикочисловыеалгоритмы вкриптографии»Д/в «Специальныечисланатуральногоряда»Модуль М6Модуль М7КР,ВКРПрофессиональнаядеятельностьМагистратураРис.
2.2.8. Реализации вариативного модуля М6М8 ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. Конечныеполя; многочлены над конечным полем; порядок многочлена; линейныерекуррентные последовательности и линейные рекуррентные уравнения(ЛРУ) над конечным полем; периодичность решений ЛРУ; построениепсевдослучайной последовательности заданного периода.МодульМ8даетпредставлениеозадачах,стоящихпередкриптографией при передаче сообщений на дальние расстояния средствамирадиолокации.
Модуль М8 знакомит с решением задачи шифрованияинформации, не используя односторонних функций, продолжая идеюодноразового шифровального блокнота, возникшую еще в 19 веке.Для изучения линейных рекуррентных последовательностей необходимсерьезный математический аппарат конечных полей. Он базируется, впервую очередь, на алгебре (теория конечных циклических групп, теория899мноогочленовв)идискретнноймаатематикее(теорриякоодированиия,комбинаторнный аналииз, рекурсивные функции)ф. Временнные рамкки курса непозвволяют в полной мере даать теореетическийй материаал, поэтоому многгиефактты и теооремы прриходитсяя изучать без дооказательсств. Однако это неознаачает, чтоо практичческий маатериал неедоступенн для изуччения стуудентами сослаббойматтематичесскойприккладныхфактоввпоодготовкоой.демоннстрацияПрииопредделеннойвозмоожностейвыборркепсевдоослучайныыхпослледователльностей доступнна, на наш взгляяд, дажее заинтерресованныымшкоольникам..
Внешниие ППК моодуля отрражены наа рис. 2.2.9.АлгебраТееория конеччных цикллических грруппТееория многгочленовДискретнаяматематикаТееория кодиррованияКоомбинаторрный аналиизРеекурсивныее функцииТеория чииселТееория сравннений, фуннкция ЭйлеераРис. 2.2.99. Математтическая бааза вариатиивного модууля М8Актуалльными внутреннивими ППКК дисциплины явлляются дляд данноогомоддуля ТПППК-1, ТПППК-2, ТПППК-3, ТПППК-4, ТППК-5,ТППППК-6, ОПППКК-1,ОППППК-2, ОПППК-3О, ОПППКК-4, ОППППК-5.Уточняяя их, мы полуучаем следующисие ТППККМ8, ППППКМ8 иОППППКМ8 модулямММ8:- знаетт основныые опредееления и свойстваа объектоов теориии конечныыхполеей (ТППККМ8-1);90- имеет представление об основных свойствах конечных полей имногочленов над ними (ТППКМ8-2);- умеет строить решения линейного рекуррентного уравнения(ТППКМ8-3);-владеетнавыкомразложениямногочленов,нахождениянеприводимого многочлена над конечным полем определенной степени(ПППКМ8-1);-имеетпредставлениеопостроениипсевдослучайнойпоследовательности заданного периода (ПППКМ8-2);-способениспользованиедоступнодляматематическихшкольниковзнанийвпродемонстрироватьразличныхсферахжизни(ОПППКМ8-1).Примеры Т-заданий.•Докажите: Zn - поле тогда и только тогда, когда n - простое число.•Существует ли конечное поле порядка10?•Докажите, что минимальный многочлен главного решениялинейного рекуррентного уравнения есть характеристический многочленэтого линейного рекуррентного уравнения.Примеры П- заданий.•Разложите многочлен x27 - x в произведение неприводимых над F3многочленов.•Зная, что многочлен x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 неприводим над полем F13 ,найдите порядок многочлена x 7 (x + 1)20 ( x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) 6 над F13 .•Найдите многочлен, период главного решения которого, будетравен 15.•Вычислите15первыхчленовпсевдослучайнойпоследовательности a n = [π ⋅ 10 n ] − 10[π ⋅ 10 n −1 ], n ≥ 0 .В качестве основной литературы студентам могут быть предложеныпособия: Нечаев В.И.
«Элементы криптографии. Основы теории защиты91информации» [129]; Деза Е.И., Котова Л.В. «Теоретико-числовые основызащиты информации» [84].Дополнительными источниками могут служить: [2], [11], [14], [34],[98], [99], [113].На наш взгляд, конечные поля заслуживают более подробногоизучениястудентами,обучающимисяпопрофилямподготовки«Информатика и Математика» и направлению подготовки Математика(прикладнойбакалавриат),таккакявляютсяоднимизосновныхинструментов в современной теории чисел, криптографии, вычислительнойматематике, физике (радиолокация).922.3.
Методы и формы профессионально направленного обученияосновам защиты информацииВвыделенныхнамиусловияхреализациипрофессиональнойнаправленности математической подготовки учителей информатики приобучении методам и средствам защиты информации мы отмечалинеобходимость использования различных приемов проблемного oбучения,самостоятельной и исследовательской деятельности студентов.
Далее мывыделимформытакойдеятельности,нанашвзгляд,наиболееспособствующие реализации поставленных целей.2.3.1. При выборе методов обучения для каждого конкретного модуляпри изучении его студентами различных профилей подготовки мыпридерживались классических подходов, основанных на анализе конкретныхусловий и задач, возникающих при изучении основ криптографии, учитывая:•общие цели профессионально-направленной подготовки будущихучителей информатики;•особенности изучаемой дисциплины в целом;•цели, задачи и содержание конкретного модуля;•время, отведенное на изучение модуля;•уровень математической подготовки и навыки программированиястудентов в зависимости от профиля подготовки;•материальную оснащенность учебного заведения;•наличие методического сопровождения в виде пособий и средствудаленного контроля.Метод обучения – это процесс взаимодействия между преподавателеми студентом, направленный на передачу знаний, умений и навыков отучителя к обучающемуся, в рамках определенного содержания [149].Методы, учитывая различные подходы к выделению их основныххарактеристик, подразделяют по манере изложения учебного материала насловесные, наглядные, практические.
Такая классификация представлена в93высшей школе тремя основными формами занятий: лекции, семинары,лабораторные работы.М.Н. Скаткин [142], И.Я. Лернер [111] рассматривали методы с точкизрения храктеристики преподнесения учебного материла и соответственнойпознавательнойдеятельностииллюстративный(информационно-репродуктивный);(границымастерстваиобучающихся:творчества);проблемноеобъяснительнорепродуктивныйизложениезнаний;частично-поисковый (эвристический); исследовательский.М.И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
