Диссертация (972023), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Таким образом, перед будущими учителямивозникаетвозможностьпроанализироватьдополнительныйматериал,который может быть предложен школьникам для помощи в подготовке колимпиадам.В рамках модуля М2 изучаются: основные элементы криптосистемы(алфавит, элементы шифротекста (биграммы, k-граммы), шифрующеепреобразование);аффинныеотображения;частныедешифрованиеаффинныхотображения;случаи(сдвиг,криптосистем;условиелинейноеоднозначностипреобразование);взаимосвязьшифрующихидешифрующих ключей; принцип Керкгоффса; криптоанализ аффинныхкриптосистем.Для изучения модуля необходимы знания в области начал теориичисел.
Однако возможно использование теоретического введения, нетребующего больших временных затрат. Содержание модуля опирается натеорию сравнений, изученную студентами в рамках курса теории чисел. Длярешения задач по дешифрованию аффинных криптосистем с биграммаминеобходимо вспомнить основные методы решения сравнений и системсравнений первой степени, научиться решать системы сравнений первойстепени от двух переменных по составному модулю.Отметим,теоретическихчтоиздесьидалееприкладныхмыприводим примерызаданий,втовремятолькокакобщепрофессиональным заданиям уделим отдельное внимание в третьейглаве.Примеры Т-заданий.•Сколько можно составить различных линейных преобразованийдля алфавита, содержащего N символов?74•Найдите обратное аффинное преобразование для преобразованияf (P) ≡ А·Р + b(mod N) при N=33, А=7 , b=20.•Пусть элементами сообщения являются биграммы N-буквенногоалфавита.
Найдите формулу для числа различных аффинных шифрующихпреобразований. Сколько их при N = 26, 27, 33?Примеры П-заданий.•Зашифруйтефразу«аффинныекриптосистемы»,используяаффинное преобразование для 34-буквенного алфавита ([А; Я] = [0; 32],пробел = 33) с ключами A=13, b=10.•Расшифруйте сообщение «ЯКОХЖУМВКАЩ?-ХЩ», если известно,что первым словом является «Я», за ним следует пробел, при шифрованиииспользовали алфавит из 41 символа (буквы A – Я (0-32), пробел (33), знакипрепинания: «.», «,», «-»,«;», «:», «!». «?» (34 - 40)).Модуль М2 может выступать в качестве прикладного раздела приизучении теории чисел. Решение теоретических задач модуля может нетолько продемонстрировать применимость различных разделов теориичисел, но и помочь глубже в них разобраться. Приведем примеры такихзадач.•Докажите,чтодляодногоалфавитакомпозициядвухшифрующих сдвигов является сдвигом.•ЭлементPназываютнеподвижнымдляшифрующегопреобразования, если выполняется сравнение f (P) ≡ P (mod N).
Докажите,что если N – простое и преобразование не является сдвигом, то существуетнеподвижный символ и при этом только один.•При каких целых а сравнение ax ≡ 3(mod 30) разрешимо?•Определите все целые значения параметра а, при которых⎧ 8 x ≡ 20 ( mod 36 ).⎩75 x + 30a ≡ 0 (mod 36)разрешима система сравнений ⎨В качестве основной литературы студентам могут быть предложены75пособия: Деза Е.И., Котова Л.В. «Теоретико-числовые основы защитыинформации» [84]; Коблиц Н. «Криптография и теория чисел» [74].Дополнительная литература может быть представлена работами [3],[20], [24], [29], [30], [33], [36], [40], [42], [58], [61], [65], [97], [98], [99], [122],[142], [143].В рамках модуля М3 изучаются: представление k-грамм в видевекторов; линейная алгебра по модулю N; существование обратной матрицыпо модулю N; способы решений сравнений с биграммами; матричныеаффинные преобразования; криптоанализ матричных криптосистем.Для изучения данного модуля требуется знание основных разделовалгебры матриц и теории чисел (внешние ППК).
Внутренними ППКдисциплины являются для данных модулей ТППК-1, ТППК-2, ТППК-4,ПППК-1, ПППК-5, ПППК-6, ОПППК-2, ОПППК-3, ОПППК-4, ОПППК-5.Уточняя их, мы получаем следующие ТППКМ3, ПППКМ3 и ОПППКМ3модуля М3:- знает принцип работы матричных криптосистем (ТППКМ3);- способен использовать приложения изученных в алгебре и теории чиселразделов (ПППКМ3);- способен использовать полученные сведения для организации проектнойдеятельности школьников (ОПППКМ3).Модуль демонстрирует междисциплинарные связи линейной алгебры итеории чисел. Для изучения необходимы знания из линейной алгебры:матрица, определитель, обратная матрица, матрица дополнений, вычислениеобратной матрицы. Матричные криптосистемы показывают, как можносовершенствоватьаффинныепреобразования,увеличиваявзаимосвязьэлементов и сохраняя «малые вычисления».
Задачи, решаемые в рамкахмодуля, часто имеют формулировки, аналогичные задачам модуля М2, чтопозволяет сравнить их, проанализировать значимость внесенных изменений.Примеры Т-заданий.76• Сколько различных квадратных матриц по модулю 2N дает матрица помодулю N?• Докажите, что композиция линейных матричных шифрований поодному модулю также является линейным матричным шифрованием поданному модулю.Примеры П-заданий.• Матричное линейное шифрующее преобразование включает 33 буквырусского алфавита, занумерованные соответственно положению в алфавите(0-32). Вам известно, что при данном шифровании биграммы «ИВ» и «ЕТ»переходят соответственно в биграммы «РЧ» и «ОБ». Вскройте сообщение«З П Д З Ч О».В качестве основной литературы студентам могут быть предложеныпособия: Деза Е.И., Котова Л.В.
«Теоретико-числовые основы защитыинформации» [84]; Коблиц Н. «Курс теории чисел и криптографии» [74].Дополнительная литература может быть представлена работами [3],[29], [30], [36], [40], [58], [61], [83], [97], [98], [99], [122].В случае, если у студентов отсутствовала необходимая подготовка потеории чисел или алгебре, им может быть предложен дополнительныймодуль М0, содержащий необходимые теоретические сведения (рис. 2.2.3).АлгебраЛинейная алгебра,матрицы,определители,вычислениеобратной матрицыТеория чиселМ0Теория сравнений,функция Эйлера,решение сравнений исистем сравненийМ3 ШИФРУЮЩИЕ МАТРИЦЫПредставление k-грамм в виде векторов. Линейнаяалгебра по модулю N.
Существование обратнойматрицы по модулю N. Матричные аффинныепреобразования.Криптоанализматричныхкриптосистем.Рис. 2.2.3. Роль модуля М0 при изучении модуля М377М0. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ.Элементы теории сравнений, функция Эйлера, вычисление обратногоэлемента, сравнения с неизвестной величиной, решение сравнений и системсравнений. Элементы алгебры матриц.В качестве основного помощника для освоения основ теории чиселможет быть использовано разработанное нами пособие Деза Е.И., КотоваЛ.В.
«Сборник задач по теории чисел (112 задач с подробными решениями)»[99], которое содержит все необходимые теоретические сведения, а такжеподробно разобранные примеры решения основных задач.Дополнительно могут быть использованы пособия [3], [24], [39], [61],[83], [153].Модули М2 и М3 условно можно назвать «внутренними», «рабочими».Они являются связующим звеном между модулями М1 и М4 и призваныпомочь в понимании принципиальных математических различий междуклассическими и современными криптосистемами.
При этом эти модулимогут быть очень полезны в последующей учебной и профессиональнойдеятельности (рис. 2.2.4).Теория чиселили модуль М0Модуль М1Алгебра матрицили модуль М0МодулиМ2, М3ПТПродемонстрироватьприложенияизученных в теориичисел и алгебреразделовИзучитьпринципработысимметричныхкриптосистемкурсовыеОПМодульМ4ВКРПродемонстрироватьвозможностиприменения элементовтеории чисел врешении олимпиадныхзадачПрофессиональнаядеятельностьРис. 2.2.4.
Модули М2 и М3 в общей системе обучения дисциплине МСЗИ78Модуль М4 знакомит студентов с современными криптосистемами и ихмодификациями, разработанными в конце прошлого столетия.В рамках модуля изучается: односторонние функции и функции ссекретом; криптосистема без передачи ключей; криптосистема с открытымключом и оценка ее надежности; электронная подпись; однозначностьприменения ключей абонентами при пользовании электронной подписью;дискретный логарифм; методы вычисления дискретного логарифма: индексы,алгоритмсогласования,методСильвестра-Полига-Хеллмана,алгоритмисчисления порядка.Изучение теоретических основ этих проблем требует серьезнойматематической подготовки в области теории чисел и способствуетреализации внутрипредметных и межпредметных связей, углублению знанийбазовых курсов алгебры и теории чисел, их прикладной составляющей.Сегодня система RSA уже рассматривается в школьных учебниках поинформатике (И.А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
