Диссертация (972023), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Таким образом, имея достаточное количество аудиторных часов ине имея необходимости изучать вспомогательный модуль М0, мы такжемогли включить в изучение вариативный модуль М8.3.1.3. Профиль подготовки «Информатика и Экономика».116Несмотря на то, что экономика ассоциируется с применениемсерьезных математических методов, и естественно было бы предположитьхорошую математическую подготовку студентов этого профиля, приходитсяконстатировать, что у студентов именно профиля «Информатика иЭкономика» уровень математической подготовки самый слабый из намиописываемых.Именно для этого профиля подготовки характерен колоссальныйпровалвосознаниипрактическойзначимостиполучаемыхбазовыхматематических знаний.Из таблицы 3.1.5 видно, что теория чисел, как правило, изучаетсяпараллельно с дисциплиной по выбору «Теоретико-числовые алгоритмы вкриптографии».Таблица 3.1.5.МСЗИ в ООП профиля подготовки «Информатика и Экономика»I, IIПрофиль подготовки «Информатика и Экономика»Математическая подготовка ПрограммированиеIIIТеория чиселVМетодыиинформацииМ1 М2М0средстваМ3М4Д/в «Теоретико-числовыеалгоритмывкриптографии» М5, М6защиты Д/в «Прикладные вопросыматематики» М7МЭВ данном случае криптографические алгоритмы изучаются толькопосле того, как в рамках теории чисел будут изучены необходимыетеоретические основы.
Первыми в изучение дисциплины МСЗИ мыстарались включить элементы вариативных модулей М5, М6, преследуя целине столько расширить изучение основ защиты информации, сколькопродемонстрировать простые и красивые приложения теории чисел,анонсироватьпоследующееизучениевопросовсовременнойзащитыинформации в банковской сфере, и, тем самым, повысить мотивациюизучения курса теории чисел. В таблице 3.1.6 можно увидеть примерное117содержание поддерживающей изучение теории чисел дисциплины по выбору«Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии».Таблица 3.1.6.Примерное содержание д/в «Теоретико-числовые алгоритмы вкриптографии» (3) № Тема1 Простейшие арифметические алгоритмы и их модификации.Алгоритм Евклида (обычный, бинарный, расширенный); решениенеопределенных уравнений первой степени; сравнение алгоритмов по ихтрудоемкости.2 Теоретико-числовые алгоритмы.
Основные направления.3 Простые числа.Определение, свойства, бесконечность множества простых чисел.Решето Эратосфена. Доказательства простоты. Критерии простоты.Тесты на простоту. Числа Ферма , числа Мерсенна.4 Факторизация натуральных чисел.Классические методы факторизации: метод последовательного деленияи его модификации. Критерий Эйлера, Построение рекуррентнойпоследовательности, Метод использования квадратичных форм. ИдеиФерма и Лежандра. Современные методы.5 Дискретный логарифм.Методы вычисления дискретного логарифма: индексы, алгоритмсогласования.МодульМ5М1, обзорТеориячисел +М6М7М4Отметим, что указанные в таблице 3.1.6 модули рассматриваютсяскорее ознакомительно, освещая необходимую теорию, и максимальноподкрепляются практическими задачами.
При таком подходе на пятом курсемы сталкиваемся уже с мотивированными на изучение математическихприложений студентами, знакомыми с основными теоретико-числовымиалгоритмами, оценками их реализации с точки зрения эффективности ивременных затрат.При изучении дисциплины МСЗИ на пятом курсе наиболее важнуюроль играет именно профессиональная направленность дисциплины возможностьпримененияполученныхзнанийвпоследующейпрофессиональной деятельности при организации урочной и внеурочнойдеятельности школьников.Приизучениидисциплиныповыбору«Прикладныевопросыматематики», которое происходит параллельно с изучением дисциплины118МСЗИ, мы возвращаемся к вопросам теории простых чисел и методовфакторизации уже на новом уровне, что при предшествующей теоретикочисловой подготовке и в сочетании с изучением теории защиты информацииусиливает прикладной характер математических разделов.
В таблице 3.1.7представлено примерное содержание такой дисциплины.Таблица 3.1.7.Примерное содержание дисциплины по выбору «Прикладные вопросыматематики» (1) № Тема1Приложения теории сравнений.1.1 Дискретный логарифм.Алгоритм согласования.1.2 Простые числа.Теорема Вильсона. Критерий Эйлера. Символ Якоби. Тесты на простоту.1.3 Факторизация больших чисел.Идеи Ферма и Лежандра.2Приложения цепных дробей.2.1 Цепные дроби и факторизация натуральных чисел.Некоторые соотношения для цепных дробей, представляющих √D, гдеD≠k2. Использование разложения в цепную дробь √N для факторизации N.Вскрытие системы RSА.2.2 Цепные дроби в технике и искусстве.МодульМ4М6М7М73.1.4.
Изучение основ защиты информации происходит и в рамкахдругих направлений и профилей подготовки. Разработанные нами модули,система ЛИР и комплекс учебных пособий позволяют в полной меренаполнить такое обучение, как содержанием, так и методическимиматериалами. Приведем примеры ряда программ дисциплин с включениемизучения основ криптографии, построенных на модульной основе нашейдисциплины (таблицы 3.1.8 - 3.1.10).Таблица 3.1.8.Примерное содержание дисциплины по выбору «Теоретико-числовыеалгоритмы в криптографии» (4) (профиль подготовки «Математика иИнформатика»)№1ТемаТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕАЛГОРИТМЫНЕОБХОДИМОСТЬ.1.1 Основы защиты информации.МодульКАКСОВРЕМЕННАЯМ1,М41191.22.2.12.22.3Современные криптографические системы.
Создание системы RSA какпостановка новой задачи в области вычислительных алгоритмов.Временные оценки сложности вычислительных алгоритмов.Натуральные числа в различных системах счисления. Длина числа.Сравнение трудоемкости арифметических операций. Алгоритм Евклида,его модификации и скоростные характеристики этих алгоритмов взависимости от входных данных Полиномиальные алгоритмы инеполиномиальныеалгоритмы.Экспоненциальныеалгоритмы.Вероятностные алгоритмы как альтернатива неполиномиальнымалгоритмам. Решение полиномиальных сравнений по простому модулю.Оценки Вейля.ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ АЛГОРИТМЫ.
ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ.Дискретный логарифм.Методы вычисления дискретного логарифма: индексы, алгоритмсогласования, метод Сильвестра- Полига- Хеллмана, алгоритм исчисленияпорядка.Простые числа.Критерии простоты. Тесты на простоту. Тесты Ферма, Соловэя –Штрассена, Миллера – Рабина. Псевдопростые числа. Числа Ферма,Эйлера, Кармайкла, сильные псевдопростые. Генерация больших простых,больших псевдопростых чисел.Факторизация натуральных чисел.Классические методы факторизации: метод последовательного деления иего модификации. Критерий Эйлера, Построение рекуррентнойпоследовательности, Метод использования квадратичных форм. ИдеиФерма и Лежандра. Современные методы.
Метод Полларда, методПолларда-Флойда. Цепные дроби, метод квадратичного решета ивскрытие системы RSA.М5М4М7М6Таблица 3.1.9.Примерное содержание дисциплины по выбору «Специальные числанатурального ряда» (профиль подготовки «Математика и Информатика»)№11.11.21.322.12.22.32.4345ТемаПРОСТЫЕ ЧИСЛА.Простые числа. Формулы простых чисел.Числа Ферма.Числа Мерсенна.ПСЕВДОПРОСТЫЕ ЧИСЛА.Способы проверки простых чисел.Критерии простоты.Современные тесты на простоту.Генерация больших простых, больших псевдопростых чисел.СОВЕРШЕННЫЕ И ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА.Фигурные числа.Комбинаторные числа.МодульМ6120Таблица 3.1.10.Примерное содержание дисциплины по выбору«Прикладные вопросы математики» (2) (профиль подготовки «Математика иЭкономика»)№ Тема1ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СРАВНЕНИЙ.1.1 Основы криптографии.Классические шифры.
Аффинные криптосистемы.1.2 Современные методы защиты информации.Система RSA, математические основы ее криптостойкости.1.3 Экономические приложения RSA.Защита информации в банковском деле; электронные подписи; защитаэлектронного денежного оборота.1.3 Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии.Дискретный логприфм., тесты на простоту, факторизация натуральныхчисел.2ПРИЛОЖЕНИЯ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ.2.1 Цепные дроби и факторизация натуральных чисел.Некоторые соотношения для цепных дробей, представляющих √ , гдеD≠k2. Использование разложения в цепную дробь √ для факторизации N.Вскрытие системы RSА.2.2 Цепные дроби в технике и искусстве.Цепные дроби и календарь.
Цепные дроби в музыке. Зубчатые передачи.Золотое сечениеОтдельнобезопасность»,остановимсяизучаемойнадисциплинебакалаврамипоМодульМ1, М2,М3М4МЭМ5,6,7М7«ИнформационнаянаправлениюподготовкиИнформатика (прикладной бакалавриат) без предварительного изученияоснов теории чисел.Разработанная для них программа должна совмещать в себе изучениенеобходимых разделов теории чисел и собственно вопросов информационнойбезопасности. В таком случае изучение модуля М0 в самом начале курсаполагаемнецелесообразным,иэлементымодуляпоследовательновкрапляются в линию теории защиты информации. В таблице 3.1.11 мыпредставляем программу курса, прочитанного в 2018 году.Отметим, что в программе элементы теории чисел выделены курсивом.Своевременное изучение (непосредственно перед изучением приложений)позволяет не тратить время на повторение, а приложения использовать какзадачи по отработке усвоения довольно сложной математической теории.121Таблица 3.1.11.Программа курса «Информационная безопасность» для направленияподготовки Информатика (прикладной бакалавриат)№п/пНаименование темы (раздела) дисциплины (модуля)(с кратким содержанием темы (раздела))1Из истории криптографииИсториявозникновенияосновныхтерминов.Классификацияисторическихшифров.Способраскрытия шифра простой замены на основе частотногоанализа.
Представление шифров замены и подстановкив виде функций. Криптостойкость.Элементы теории чиселОтношение делимости в кольце целых чисел. НОД иНОК целых чисел, их свойства. Алгоритм Евклида и егоприложения. Простые и составные числа. ФункцияЭйлера. Отношение сравнимости по данному модулю иего свойства. Полная и приведенная системы вычетовпо данному модулю. Теоремы Эйлера и Ферма.Сравнения и системы сравнений с неизвестнойвеличиной.Некоторые простые криптосистемыОсновные элементы криптосистемы. Аффинныеотображения. Условие однозначности. Частные случаи.Криптоанализ аффинных криптосистем.Новые направления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
