Максимов - Теория вероятностей, контрольные задания с образцами решений (969553), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Тогда такой выбор называется выбором без возвращения. Если же выбранные по одному элементы осматриянотся, запоминаются и затем возвращаются в генеральную совокупность, то такой выбор называется выбором с возвращением. Определение 2.2. Размещениями «з и элементов по й элементов иазанаются выборки объема л из генеральной совокупности объема л, полученные выбором без возвращения и отличающиесл друг от друга при иовтоении выборок как санами элементами, так и порядкам нх выбора й 4. Сочетания Определение 2.4. Сочетаниями из л элементов ло й злеменпюв наваютсл соединения„казкдое из коюиорнх состоит из к злеменнюв, юлих нэ данных и аяементок Эпт соединению опиичаюпзся друг от друга тл бн одним элемеипимь В отличие от размещений, порядок следования ементов здеса не учитнваетсзь Число сочетаний нз л элементов по й элементов вычисляеюя по формуле А л(л — 1)(л-2)...(л-й+1) "=Р,= И (2.4) Со статистической точки зрения сочетания определяются следующим образом.
Определение 2.5. Сочетаниями из л лвементов но й элементов иазаюаются выборки объема л из генеральной совокупности объеят и, полученные путем выбора без возвращения и без учета следованив злемензпок Оюш опиичаются друг от друга при иовиюратии выборок хант бн одним элем еняюм. Имеют место формулы для числа сочетаний: л1 И(л — й)1 ' Сь См-а (2.5) ! Определение 2.3.
Перестановками из л элементов называются размещенил из и элементов по л элементоц отвичающиеся друг от друга лита порядком элементов Число перестановок из и элементов вычисляется по формуле Р„=А,",=л.(л — 1).....2 1=л1. (2.3) С„'мС„"=О)=К (27) Числа С„называются также биномиальнымн коэффициентами, так как являются коэффициентами разложения бинома и (х+а) ~~), ~сх~а »=с й Б.
Размещении с повторениями ! Определение 2.б. Размещениями с повторениями из и элементов ло й злененлюв называются соединения, содержащие к эяанегтюц каждый из квглорыхможет быть любого из н люков. Предполагается, что элементы каждого нз н типов содержатся в исходном множестве в любом нужном количестве (подобно кассе букв для набора текстов). Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга элементами, их порядком н кратностью повторения элементов. Количество размещений с повторениями из и элементов по К элементов вычисляется по формуле ~'„=и . (2.9) Со статистической точки зрения опрелеленис размещения с повторениями звучит следуклцим образом. Определение 2.7.
Размещениями с повторениями из л элеменлюв но й элементов называются выборки обьема й из генеральной пнюаунности обвена и, лроизведенные лутем выбора с венгрии»гнием При зтам нри повторении выборок одна выборка от другой может онеги«иться соснином элементоц их порядкам и колич«сомом новтореннй элементов. Глава 3 ВЕРОЯТНОСТЬ Рассматриваются 5 различных определений вероятности, применяемых в соответствующих ситуациях. й Ь эьласснческое определение иереатнасти События ншываютсл равновозможными.
если по условиям эксперимента ни одно нз зшх событий не лвлается предпочтительным по отношению к лругнм с точки зрения возмоаоюсти их появления. Эксперимент Е в этом случае обладает «симметриейв исходов по отношеншо к этим событиям. Таковы исходы бросаниа монеты, игральной кости, выигрыш каждого из купленных й 2. Геометрическое определение веровтностн Х х Рассмотрим на оси абсцисс отрезок Д н внутри негоотрекж а: д~ Д (рнс. 33).
На отрезке Д случайно выбирается точка Д Х. Этот выбор можно интерпретировать как бросание случайной точки Х на отрезок Д. Прн этом попалание Х иа Д считается достоверным событием, а попадание на отрезок а — случайным. Также предполагается, что равновозможно попадание Х на а, где бы отрезок а ни находился внутри основного отрезка Д, при условии, что длина д фиксирована. Пусть событие А = (Х на). Тогда по определению Р(А) = — — —.
мера Д Здесыюд мерой отрезка понимается его длина. Формула (3.2) распространяется на плоский и пространственный случаи, но тогда под мерой понимается соответственно площадь нлн объем рассматриваемых областей. (3.2) й 3. Статистическое определение нероатности Рассматривается эксперимент Е, который можно проводить многократно в стабильных условиях. билетов лотереи, выход из строя каждого нспъпуемого прибора серии одинако- вых приборов и т.
д Определение 3А. Экснернметн Е называется классическим, если он нриводит к множеству событий, удовлетворяющих трем условилнз 1) они попарно несовместим, 2) образуют полную группу, 3) равновоззюжны. Эти события называются случаями, нли шансами, и обозначаются ю. Они могут быть элементарными собьпнямн, Определение 3.2. Случай гэ называетсл благоприятным (иначе— благоприятствующим) собинино А, если ш влечет за собой А: оз ~ А. Определение 3.3.
Если эксперимент Е является классическим, то ве- роятностью собьпния Аназываетсл отношение числа и случаев, благо- нрнятствующих событию А, к общему числу н случаек Р(А) = —. и' ! Определение 34. Отпосительиой частотой события А иазывается отношение числа р эксперимепиюв, в которых появилось собьииие А, к общему числу и проведенных эксиеримеиток Относительная частота события А обозначается символом Р (А). Таким образом, Р (А)= ~.
(3.3) ! Определеиме 3.5. Вероятиостью собыпигя пазываетсл тело, окало которого колеблется оптосиюиельпая часик~па этого собнпшя, приблизкаясь к лему при увеличении числа экспериментов. На практике за вероятность события прииимастся относительная частота этого события при достаточно большом числе и проаелеиных экспериментов.
э 4 Аксиоматическое определение вероятности Под событием в аксиоматяческой схеме понимается сумма (объединение) какого-либо множества элементарных исходов: А=~ езь. (3.4) Все рассматриваемые в аксиоматической схеме события образуют множество событий г, называемое полем, иначе — алгеброй, к которому предъявля-, ются следующие требоваиия, обеспечивающие применение понятия вероятности: 1. Г содержит достоверное и невозможное события.
2. Если Ап Аз,. (колечное ила счетное множество) принадлежзт Г, то Г принадлежат сумма, произведение и дополнения зтах событий. Понятие вероятности строится для всех событий алгебры г . Определение З.б (аксиоматическое). Вероятпостью называется числовая бзуикдия Р(А) события А, определениая па алгебре г', имеющая свойства г-4з » ко=1: »кс~-о з>о Р<о~ь»(Еь)=Ечьь если события Ап Аз,... попарно несовместим и образуют коиечиое «ли счетиое множество.
Приведепиое определение является адаптированным аксиоматическим определением вероятности А.Н. Колмогорова. Свойства вероятности 1-4 яалмотся аксиомами. Последках аксиома 4 носит назвапие кдксиома сложения». На основе этих аксиом может быть выведена формула: Р(А) =1- Р[А). (3.5) 8 5. Субъективное определение вероятности ! Определение 3.7. Субъективными вероятностямн событий называются вероятноснш, удовлетворяющие аксиеииьи 2-4 аксиоматического определения, приписанные событиян на основе личного опыта эгкнертов. С помощью экспертов оцениваются тенденции развития экономики, пауки, техники, исходы той или иной политической ситуации„результатм спортивных сосппаиий, военных действий и т. д. Заключительное замечание к главе 3.
Все вероятности, аеелеииме по определениям б! — 5, обладают свойствами 1-4 аксиоматического определения. В аксиоматическом определении эти свойства являкпся аксиомами, а в классическом, геометрическом, статистическом определениях могут быть доказаиы иа основе формул (3.! ), (3.2), (3.3). Глава 4 АЛГЕБРА ВЕРОЯТНОСТЕЙ 8 1. Условиаи вероятность Определение 4.1. Пусть А и  — два события, нороэкденные опытам Е, причем Р(В) и О. Число Р(А/В) =— Р(АВ) Р(В) (4.1) наэываетсл вероятностью события А нргг условии, что наступило собынте В, или нростоусловной вероятностью события А. Вероятность Р(А] в отличие ст условной вероятности Р(А/В) называется безусловной.
Замечание 4.Е При яксиоматическом опрелелеиии вероятности формула (4.1) является определением и доказательству пе подлежит. Однако при коиструктзгвнмх определеивях вероятности (классическом, геометрическом) оиа может быль доказана. й 2. Правило умпекеиии веровтпостчй Формула (4.1) равносильна формуле Р(АВ) = Р(В)Р(А/В). По симметрии вхождения букв в выражение Р(АВ) имеет место и вторая формула Р(АВ) =Р(А)Р(В/А).
Обе формулы объединяются в одну и составлпот правило (плаче — теорему) умножения вероятностей двух любых событий: Р(АВ) = Р( А)Р(В/А) = Р(В)Р(А/В) „ которое формулируется следующим образом. 68 Вероятность произведения двух любых собьпий равна произведению вероятности одного из иих на условную вероятность второго при условии, по первое произошло. В случае и событий имеет место более общая формула Р(АгАз...А„)=Р(А))Р(Аз/Аз)Р(Аз/АгАз)... Р(АкИАз...Ак-г), (43) которая составляет теорему умножения вероятностей л любых собьпий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
