Максимов - Теория вероятностей, контрольные задания с образцами решений (969553), страница 17
Текст из файла (страница 17)
рхт — коэффициент корреляции — характеристика связи компонент Величина М(ХУ) называетсл вторым смешанным начальным моментом, а Кху — вторым смешанным центральным моментом. $6. Канонические двумерные непрерывные распределении 1. Двумерное равномерное распределение в области Р определяется плотностью вероатности 1 — при (х,у)иР, О при (х,у) иР, (6.22) Ухт(х,у) = ех ,.(х,[ , ~*-вту-н1,1У-,)*~ а1п2 б2 (х — зи1) и 1 (6.23) где тз,лзз — математические ояатлалня компонент Х, У; в о1,ат — средние каадршнческие отклонения компонент; р = рхт — коэффициент корреляции между компонентами лвумерной случайной величины Х, У. Доказано, что компоненты Х, У распределены нормально соответственно по законам л1(т~,пз), 11г(изз,оз), а Равенство Р = О ЯвлаегсЯ необходимым н достаточным условием независимости компонеггг Х, У.
где Юз, — площадь области Р. 2. Двумерное нормальное распределение определяется плотностью вероят- ности Глава 7 и -МЕРНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА й 1. Основные понзпня и формулы Определение 7.1. п-мерной случайной величиной называется система н одномерных случайных величин (ХпХз,...,Х„). Нрн этан предполагается, что онределена вероятность нронзведення и собмнаяй Хз <хн ..., Х <х„для любых вегцественнмх хн...,х„. Вместо термина «и-мерная случайная величина» употреблякпся термини: и -мерная случайная точка, и -мерный случайные яекзор, система и слуийных величин.
Определение 7.2. н-мерной функцией раснределення назмваегнся вероятность нронмедения и собмнтй Х| <хп ..., Х„<х, для любых везцеснюеннмх хн ..., х„: Р»; х (хп ..., х„) = Р( Х~ < хы ..., Х„< х„), (7.1) Опрелеленне 73. и верная случайная величина паз»мается дискретнойй, если мнтнеснюо ее значений конечное или счетное. Закон распределения дискретной случайной величины можно задать формулой, определяющей вероятности отдельных значений Определение 7А. и<мерная случайная величина назмвается непрерывной, если сузцествует такая неотрнцательнвя функция х (хп...,х„), называемая нлотностью троятиости, чаю вероятность нонадания случайной точки (Хы..., Х„) в и-лзерную область П равна и-кратному интегралу от нлотности но области .0: Р((Хн..., Х„) нВ) = ~ ~ух х (х,,..., х»)~йп..~й».
(7 2) гз Из формулы (7.2) следует формула для функпни распределения и-мерной ненрерыьной случайной величины: ц Г» х(;,...,.„)=~...~Х, (,,...,г„) 6,...6г„. (.З) Плотность вероятности во всех точках непрерывности плотности выражается через функщио распределения по формуле д~Рх...х (х1 "" х ) У, .«...,~)= (7.4) ХР" л Определение 7.5. Случайные величины Хы ..., Х„назмваюнюя взаимно незавнсмныигь иначе — независимыми в совтуиносикц если взаимно нем«юсинымин является собмнтя Х~ < хп ..., Х„< х„дня любых хы..., х„.
Необходимое н достаточное условие взаимной независимости и случайных величин Х1,..., Х„! Ех,...х„(х!.", хя) = Рх!(х!) "..Ех„(х.)* (7.5) где х1,..., х„— любые вещественные числа; Рх (хь) — функция распределения случайной величины Х», я = 1, ..., и. Необходимое н достаточное условие взаимной независимости п непрерывных случайных величин: .ухь.,х„(х! "'х.)=ух,(х!) " Л.„(х,).
(7.6) где х1,..., х„— любые вещественные числа; Д» (х» ) — плотность вероятности случайной величины Хь, А = 1,..., и. Теорема 7.1. Если случттые величины Х1„..., Մ— попарно некоррелиаваны, пю дисперсил их гумми равна сумме дисперсий этих величин: (7.7) ф 2. Числовые характеристики и-мерной случайной величины В пределах первых двух моментов наиболее употреби.тельными числовыми характеристиками и-мерной случайной величины являкзгся следующие; 1.
и математических ожиданий компонент и-мерной случайной величины (Х1,..., Х„), образующих ее центр распределения (тг,..., т ). Эта тачка и -мерного пространства, окало которой группируются значения и-мерной случайной величины. 2. и дисперсий компонент и-мерной случайной величины Р,=М[(Х,— т!)~~ !=-1„,п, характеризующих ее рассеяние в направлении координатных осей 3.
п(п-1) корреляционных моментов всевозможных пар Х,, Х, характеризующих связь между компонентами и -мерной случайной величины: К =М[(Х! — пг)(Ху — т )~, 1,/=1,...,н, !Ф у. Все корреляционные моменты и дисперсии удобно записать в виде матрицы К11 К12 ". К1л (К ) Кщ Ктт Кл! Кя2 ". Кт которая называется коварнационной. По ее главной диагонали спжг дисперсии компонент,таккак Кв — -Р„1=1,...,ц. йб симметрическая, поскольку К, = Кр, Коварнаци синая матрица 1,у=1,...,п. Х'лава 8 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ф 1. Закон болыпмх чисел Неравенство Чебышева. Если случайная величина Х имеет конечные математическое ожилаиие тл и дисперсию П т, то для любого е > О имеет место неравенство (8.2) р Запись: Մ— +А нли 1ш1 Х„= А.
Л-+с~~ л-Усе Теорниа Бернулли 8.2. Относительная частота Р (А) события А при и нелгвисмиых испытаниях по схеме Бернулли стремится по щюятности к вероятности собьнпия А при и — ь озг Р (А) — ~-+Р(А). и-мэ Теорема Бернулли является следствием теоремы Чебышева, (8.4) Р(~Х- л~ )<ф. (8.1) е Оис дает оценку вероятности попадания случайной величины Х в область, лежащую вне промежутка (тт — г., тт + с). Неравенства Чебышева применяется непосредственно в математической стапвтике, а также для доказательства следующей теоремы Чебышева.
Теорема Чебышева для случая одинаково распределенных слагаемых 8.1. Пусть случайные величины Хп . „Х„попарно независимы, одинаково распределены, имеют конечные математическое ожидание т и дисперсию хг. Тогда длв любого е > О выиолняется предельное соотношение Р 2 Хг — >с — +О. Теорема Чебышева носит название закона больших чисел. Определение 8.1. Последовательность случайных величин Хп... „Х„,... называется сходяигейся по вероятности к величине А (случайной или нет), если для любого и > О имеет место предельное соотношение Р(~Մ— А~>с) -+ О. (8.2) п-на б г.
Централънаа предальняя теорема теории вероятностей ! Определение 8.2. Случайная величина Х называется центрированпой и нормированной, если МХ= 0 и 0Х=1. Любую случайную величину Х с конечной дисперсией (зхх н математическим ожиданием тя можно центрировать и нормировать с помощью операции Х-тт пх Теорема (пентральнаи предельнан теорема длв случаи одинаково распределенных слагаемых) 8.3. 1густь случайные величины Хп..., Хл взаимно иезатсимы, одинаково распределены, имеют конечные математическое ожидание т и дисперсию и . Тогда функция распределения цеитрироваиз пой и нормированной сулсчы этих случайных величии л Гл 1 л ) Хь — М~~Хь~ ~~з Хь — тп ьм ьм (8.5) ~л[~х,] серемится при и -+ лз к функции распределения нормальной случайной величины с поранен(рави б и г (при любам фиксироватюм х): гг =Р(У„<у) -+ Ф(х).
(В.б) л-ло г( Здесь Ф(х) = — - 1 е ' 'з(й — функция Лапласа. 42я ' Теорвиа (нвтегральнан теорема Муавра — Лапласа) 8.4. Пусть р — число появлений события А в и нетвисиммх испытаниях ио схеме Бернулли, в каждом нз которых событие А появляепюя с вероятностью р (О < р < 1, д=1-р). Тогда для любых а и Ь, а <Ь, имеет место предельное соотпоюейие ь Р[ ~ ь 1 лл Ф(ы — Ф( (. (8.7) ~ОЩ /л-лм л Здесь Ф(х) — функция Ливаса.
На интегральной теореме Муавра — Лапласа основана ннтегральман прнближеиивн формула Муавра — Лапласа, применяемая для приближенного вычисления сумм бнномиэльных веровтносгей: '3 Р„,,(р)- Ф~ а-о х з1 про,г (В.в) Формула (8.8) применяется при тихих больших и и малых р, чтобы число — было средним — в пределах таблицы значений аргумента для функции зп — пр пру Лапласа, т.
е. от 0 до 5. ОТВЕТЫ К ВАРИАНТАМ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ Вариант 1. 1. 1/3 м 0333; 2З. 497512 0.096; 3.1. 0.017„3.2. 0.399; 4.1. 0.420; 4.2. 0.423; 5.2. 0.469'„5.3. З.б9; 6.1. 3/л; бЗ. (3/л) 1и 2 м 0.662; 6.4. (Зз/3)/л — 1 — 9(!п2) /л =1.092; 6.5.1.045; 6.6.0.208; 6.7. 1/з/3 0577; 7. а» <000194; 8.033; 9З.
пз» вЂ” — юиу — — 1/3; 94. а»=-ау —— ЯЗ Г2)м0236; 9.5. — 0.5; 9.6. Зависимы. Вариаит2. 1, 47/90 ч 0.522; 2З. 17/32 = 0531", 3.1.0.38; 3.2. 5/19 и 0.263; 4.1. 0.272; 4.2. 0.0425; 5.1. О 605; 5.2. 4.50; 6Л. 1/и; 6.3. О; 6.4. 1/2; 6.5. !/зГ2 0.707; 6.6. 1/2; 6.7. — !/ъ/2 = -0.707; 7. 38.3%, 30.8%; 8. О.ЗВ; 9Л. 2; 93.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
