Максимов - Теория вероятностей, контрольные задания с образцами решений (969553), страница 15
Текст из файла (страница 15)
й 3. Независимость собьпий. Правило умножении веровтностей взаимно независимых событий Р(А~В)= Р(А), Р(В~А)=-Р(В). (4.4) Понятие независимосги н событий (и > 2) опирается на поюггне независимости двух событий. Определение 43. Собыитл Ап А!з,..., Аь иазмваютсл взаимно независимыми (иначе- независимыми е сова«унпости), если «аз«дое вэ иах ие зависит от ироитеденил любого числа остальных собынтй и от каждого е отделыюстт В этом случае есе условные вероятности в формуле (4.3) равны безусловным, и формула упрощается: Р(АгАз... А„)= Р(Аг)Р(А!з)...
Р(,4„). (4.5) Формула (4.5) выражает правило умножения вероятностей для и взаимно независимых событий. Прн и = 2 она принимает вид: Р(.4гАз) = Р(Аг)Р(Аз). (4.6) Данная формула также является необходимым и достаточным условием независимости двух собьп ий. 8 4. Правила сложении веронпнктей гзкснома сложении вероятностей (.) нмраваст правика сжпкениа веро«пюстей для попарно несовместных событий. Если же собьпиа совместны, то формула (4.7) усложняется. Для двух событий она имеет вид Р(А+ В) = Р(А)+ Р(В) — Р(АВ) . (4.8) Для трех событий: Р(А+ В+ С) = Р(А)+ Р(В)+Р(С)-Р(АВ)- Р(АС)-Р(ВС)+ Р(АВС).
(4.9) б9 Определение 42. Деа событлл тпываются независимыми, если условное веротнлость любого из иих равна безусловной, т. е. выполняются равенсима Формула сложения вероятностей для и взаимно независимых событий: (4.20) $ 5. Формулы !юлией вероятности и Байеса Пусть событие А может наступить только с одним из и попарно несовмесппах событий Н2, Нз, ..., Н„, составляющих полную группу: Н,Нь =И при гмй; Н2+Нт+...+Н„=1. Эти события называются гипотезами. Тогда имеет место формула полной (иначе — средней) вероятноств Р(А)= Р(Н!)Р(А/Н!)+ ... +Р(Н„)Р(А/Н„), (4.11) Если появляется дополнительное условие того, что событие А произопщо, то первоначальные вероятности Р(Нь) гипотез могут быль переоценены по формуле Байеса Р(Н„)Р(А/Н,) Р(Н!)Р А/Н! +...+Р(Н„)Р А/Н„ Вероятности Р(Н ) назывмотся априорными (доопытными), а Р(Нь/А)— апостериорными (послеопытными) (к = 1,..., и).
а б. Схема Бернулли правелении независимых вспытаний. Биномиальнаи вереипюсть Схема Бернулли проведения независимых испытаний состоит в том, по независимо проводится и испытаний (опьпов), в каждом из которых наблюдаемое событие А поваляется с вероятностью р (О < р <1) и не появляется с вероятностью и = 1 — р. Формула Р„ь(р)=Свар дг, А=О,!,...,п, О<р<2, (4.2Э) выражает вероятность того, что в результате проведенных и независимых испытаний собмтне А появвтся точно А' раз. Вероятности (4.13) называются биномиальными, а сама формула — формулой Бернулли Биномиальные вероятности явлмозся членами раиюжения бинома 70 5 7.
Приблнзхеннаи формула Пуассона дли вычисления бнномналыюй вероятности Приближенная формула Пуассона имеет внд Р„ь(р)ч —,е в; а=пр, к=0,1,2,...„п. (4.14) Эта формула применяется при болыпнх и и малых р. Погрепвость формулы имеет порядок 1/и, а сама формула является следствием предельной теоремы Пуассона. 'зеорема Пуассона.
Есеи р„= а/и, где а — положительнаа носпюянноя, то при любом фиксированном я Р„г(р) -+ — е й1 Глава 5 ОДНОМКРНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВКЛИЧИНА Случайные величины могут быль одномерными и многомерными. В пределах гл. 5 одномерные случайные величины будут называться просто случайнымп величинами. $1.
Определение случайной величины (5.1) 71 ! Определение 5Л. Случайной величиной Х называется числовая функция, определенная на нространсяюе элементарных собьииий ьз, которая каждому элементарному собьипню ез снтьит в соответствие определенное числа Прн этом предполагакпся определенными вероятности событий Х < х для любых вепзественвых чисел х . Случайные величины обозначаются буквами Х, У,Х,...
латинского алфаОпрелеление 5.2. Законом распределения случайной величины называется любое правило, указываюгцее вероятности отдельных значегшй случайной величины или множества этих значений. Определенне 5З. Функцией распределения случайной величины Х называется фувщия гх(х), которая для любого вегцествеююго чисеа х овна вероятности события Х < х: гх(х) = Р(Х с х). Свойства фунхпии распределения г"(х); 1. Е(- ез) = О. 2. Е(+со)=1.
3. Р(х) — неубывающая функция. 4. с (х) непрерывна слева в лзобой точке х: Р(х — 0) = с (х) . 5. Р(а <хсЬ)= с(Ь) — с(а). Функция распределения сх(х) является полной вероятностной характеристикой случайной величины Х, т, е. одним нз видов закона распределения случайной величины Х, Первме 4 свойства функции распределения являются характеристическими. Это означает, что функция, обладающая мими свойствами, является функцией распределения некоторой случайной величины Вместо термина «закон распределения» часто употребляют более простой термин «распределение» з 2. Дискрепвьи слу мйщщ вили щ„ ! Определение $.4. Случайнал величина называется дискретной, иначедискретиого нзащь если множество ее значщшй можещ бить лронумероваяо натуральными числами (т н оло конечное или счетноей Закон распределения дискретной случайной величины можно задать несколькими способами. 1.
Формула р, =Р(Х=,), й = 1,2,... (5.2) определяет верояпюсти значений дискрепюй случайной величины Х. 2. Последовательность пар (хир1), (хз,р»), ... образует так называемый Ряд Распределения Зт б ц,р удобна как закон распределения в случае конечного числа значений. 4. Полигон (многоугольник) распределения (рнс. 5.1) наглядно представляет таблицу распределения. Рис. 5Л 5. Функция распределения: Рх(х) = Р(Х < х) — ~ Рз (5.3) Здесь суммирование распространяется на те значения й, для которых хз с х, Обратим внимание на формулу ~ р,=1.
(5.4) Графиком функции распределения является ступенчатая линия со скачками рз в точках хз, й = 1, 2, ... (рис. 5.2). Рис. 5.2 б 3. Непрерывнаи случайиаи величина (5.б) 73 Определение 5,5. Случайная величина Х называется ненрерыеной, если сун(ествует такал неонзрицазнельнал Функция у'(х), называемая нлотностьт распределении вероятностей, чнт вероятность ноиадаиил случайной величины в нрцмезкуток (а„Ь1 равна определенному нназегралу олз плотности но этаму ирамезкутку: Ь Р( Х Ь)=)Л.) й.
(5.5) к Плотность распределения вероятностей короче называется плотностью распределения, плотностью вероятности или просто плотностью. Для нецрермвной случайной величины вероятносп события Х = с равна нуюо, поэтОму Р(Хи(а Ь1)=Р(Х и(а Ь))=Р(Х и(а,Ь))=Р(Х н(а Ь)). Свойства плотности вероятноспс это неотрицп'ельнал, заданная на всей оси функция, нормированная условием Ь ) у(х)с(х =1. О Функция распределения и плотность вероятности связаны равенствами: Г(х) = ) у'(г)ггг; (5.7) у(х)= Е'(х).
(5.8) Формула (5.8) справедлива во всех точках непрермвности плотности. Фуакпия распределения непрерывной случайной величины называется также ее интегральным законом распределения, а плотность — ее дифференциальным законом. Формула (5.5) имеет геометрический смысл. Зто площаль криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности„опнраклцейся на отрезок (а,е) (рис.
5,3). Ркс. 55 8 4. Числовые характеристики сяучайной величины 74 ! Определение 5.6. Числовыми характеристиками случайной величиям назымиопкл специальные чисмЬ характеризующие оятдельиые свой- ства закона распределения. К ннм относятся характеристики положения: математическое ожида- ние, мода, медиана, квантили; характернсптки рассеяния; дисперсия, среднее квадратическое отклонение идругне. Определение 5.7. Математическое ожидание случайной величины Х определлепюл 4)ормулаии тх — — ~~~~хере в дискретном случае, с тх — — ) ху'(х)с(х в непрерывном случае (5.10) В этих формулах ряд и интеграл предполагаются абсолютно сходящимися.
В противном случае считают, что случайная величина ие имеет математического ожидания. Другие обозначения математического ожидания: М Х, МЩ. Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что зто среднее значение случайной величины. Свойства математического ожидания: 1. МС = С (С вЂ” постоянная, т. е. неслучайная величина). 2. М[СХ) = СМ[Х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
