Максимов - Теория вероятностей, контрольные задания с образцами решений (969553), страница 12
Текст из файла (страница 12)
4 $. Десюлв ва пронзаолстае еортаруансх мь 4 ируппы по ае- "О роа. Отюаоаенва раназруаиисз. Равпи Х. г отхловизпий моиуг прнаюааать лапы значеввх О в 1. Распрелененве даумервой ии $2 еаУчаанимаеаачапы (Х.У) вюаиааитаблниаза. 3лссь Рию =а94, 1 Ргю Рюп р =001.р,ю=а02,р =аоз.нй Фф з рр лхцнв рхг, называемый рвмтаапю. р 8 1 Находам таблвцы рюспределепна аомпоневт Х. !', ниаоаьзух Формулы соглвхманностн Дах эпло сххааьиааем асроап таблвцм по етроиам в столбцам. 82.
Вычвслаем лиг, юпг. аюх —— 6-095+1-ОЯ5= 005; лиг = О.ОЗ6+\-004 = 004 83. Нахолма иизг -— !АХ 1, азг =М(Т ) азг — — От-695+1~-005=а65.. маг=от-09б+1~-004=004. $.4. Нахалам;О„т. сзг, иг т. ог уух= мзх в~ ~=065 0(625=00475» Ю) = — ~ =064-064з =ООЗВ4; х =,,ф, =,Га6475:=02!8 изг =,/и, =,/О!Н$4 619б.
85. Напнмм М(ХУ)=0.0-09490-1-06!+1-0-062+1-1-063=603. В.б.Н ол Кдг =М(ХТ)-лелсвг =аоз-а65-а64=аоз-а602=6628. $7.Нахолвм рдг=Клу/(олсиг) 0628/(0218.0196)мобб. 4 9. Плотность юеропивостп лаумсрвой саучайвой велпчвны (Х,1) залааа )С(аз+уз) прв Оьль),о~у~!. Ферму айат(л.у)= ~ ~О востааьвыхелучазх., 91. С.92. уд(л). Яу).9З. ают,ивю.94- ох ог-95- рлг- 9.6. Выползи, завасвмы вап вст Х„!" Р 9.1. Ксеффпппснг С нахалам аз условна ~ ~ /лг(л,у)с!иииу = 1: с[в[о* «ьь=с~Я*'ь[Ф [уЪ[е]=16-Ц . ~~=~г=1. о о о о о о Отсюда С = 3/2. 9.2.
Применяем формулы согласованности: +Ю 1 /х(х)= ~/хт(х,у)сф= — )(х +у )4~= — ~х у+ — ~~ = — ~х + — ) 21 ю о о при х и[О„Ц; /х(х)= 0 при х к[0, Ц. /т(у) записываем из условия равноправности вхождения нареченных х, у в выражение для /хт(х,у): Яу) =- . у + " при у и [О, Ц; /~ (у) = 0 при у и [О, Ц. 9.3. Находим т» --- тт. ""=1*т '*'а=11*(* з)е=1(4'ь)~ =А'1)-з: о 1о 5 тт = —. 8' 9.4. Находим ах -- ат, Прелварительно найдем атх —— .
М[Х~), .0х =атх-Рихт .ню атх — — )х Дх(х)Ит=-)х ~х +-~Их= .~--+ — ~ =-[ — + — ~= —; в ОО о 77х= — -~-~ = — ---= — -м0.076; 7 От 7 25 73 15 Ь) 15 64 960 ах =-ь[Вх = (0076=0.276; аг =0276 9.5. Находим рхт. Предварительно найлом М[Х1') и Кхт = М[ХУ] тхтт ' +.*ь +:ь 11 М[ЛУ)= [ [ху/хт(х,у)сйф'=- Пху(т +у )пясть= оо =~(1*'ш[~е ° [уе[*е)-з[*'ь[уе-з(-*~ф~~=э.' 1='-. 3 25 24-25 1 8 64 64 64' К 1, -1/64 960 рхт — — — — = — —. —— — — = — = -0.205. а хат 73/960 73. 64 73 9.6.
Так как рхт ..~О,то Х, У зависимы. 4 ЧАСТЬ 3 КОНТРОЛЬНЫЕ ТЕСТЫ (1-4) Контрольньгй тест 1 по теории вершпностей ь Алгебра событий 1. Что такое сумма событий? 2. Укажите пункты, в которых записаны ястннные равенства: а) А+И=И; б) А+ь)=ь); в) А+А=2А; г) А А=А; д) А-ь)=ь). ° Алгебра вероятностей 3. Сформулируйте классическое определение вероятности. 4. Запишите формулу, выражающую правило умножения вероятностей для трех любых событий. 5. Независимо испытываются 2 прибора Каждый прн испытании выходит из строя с вероятностью 0.2. Найти вероятность того, что при испытании из строя выйдет хотя бы один прибор. 6. Партия леталей поставлена двумя заводами. 1-й поставил 70% деталей.
Вероятность брака на 1-м заводе — 0.02, на 2-м — 0.03. Из партии случайным образом взята одна деталь. Найти вероятность того, что она окажется бракованной. ° Одномерная дискретная случайная велячнна 7. Что такое математическое ожидание дискретной случайной величины? В каком случае оно существует? 8. Напишите формулу, выражмошую бнномиальное распределение случайной величины Х 9.
Случайная величина Х распределена по закону Пуассона с параметром а = 2. Вычислите вероятность Р(Х> О). 10. Орудие стреляет по цели до первого попадания. Вероятносп попадания при каждом выстреле равна Р = 0.6. Пусть Х вЂ” число сделанных выстрелов. Найти вероятность Р(Х < 2) . е Одномерная непрерывная случайная величина 1!. Напишите формулу, по которой функция распределения случайной величины выра«жется через плотность вероятности. 12. Что такое дисперсия случайной величины? Напишите формулу для дисперсии с гюмошью плотности вероятности. 13. Случайная величина Х распределена по показательному закону с параметром )с =- 1.
Вычислите вероятносзь Р(1 < Х < 2). 14. Случайная величина Х имеет плотность вероятности )'(х)=2« при х е(0,Ц; г'(х)=0 при «н(0,1].Вычислите т». ° Двумерная случайная велмчина 15.Что такое функция распределения двумерной случайной величины (Х,У)7 16. Выберите правильный вариант: коэффициент корреляции изменяется в диапазоне а) 0>рлг >1; б) 0<рлт <+ о; в) — о<рту <+ю; г) — 1 < р лу < 1; д) -1 < рят < 1; е) нет правильного ответа 17. Двумерная случайная величина (Х,У) имеет функцию распределения )гхт(х,у)=(1 — е ")(1 — е «) при х>0 и у>0; К~у(х,у)=0 в остальных случаях.
Вычислите ГД1). ° и-мерная случайная величина. Предельные теоремы 1К Что по определению означает„что случайные величины Хн Хз, ..., Х„ являются взаимно независимыми7 19.Случайная величина Х является це~прироаанной и нормированной суммой и одинаково распределенных; взшсчно независимых случайных величин с конечной дисперсией, т. е. удовлетворяет условиям центральной предельной теоремы. Пусгь ее функция распределения равна Р„(х).
К чему она стремитсяпри л-воз вточке х=07 ° Вопрос с доказательством 20. Найдите математическое ожидание МХ нормальной случайной величины Х, распределенной по закону Ф(т, а). Контрольный тест 2 по теории вероятностей ° Алгебра событий 1. Что такое произведение событий? 2. Упросппе выражение (А+В)(А+В). ° Алгебра вероятностей 3.
Что такое относительная частота события? В каках пределах оиа находится7 4. Запишите формулу для вероятности суммы двух любых событий. 5. Независимо испытываются 2 прибора Каждый при испытании выходит из строя с вероятноспю 0.2. Найти вероятносп* того„что при испьпвнии из строя выйдет только одын прибор.
б. Пусть событие А влечет за собой событие В. Тогда; а) Р(А)>Р(В); б) Р(А)>Р(В); в) Р(А)>Р(В); г) Р(А)<Р(В). Укажите пункт, в котором записано верное неравеиспю. ° Одномерная дискретная слу шйная величина 7. Как можно задать закон распределения дискретной случайной величины? 56 8. Налюшпе формулу, выражающую закон распределения Пуассона 9. Пронмодится 4 независимых испытания по схеме Бернулли, В каждом испытании событие А происходит с вероятностью р = 0.4. Найдите всроятноогь, что событие А произойдет точно 2 раза. 1О. Случайная величина Х имеет ряд распределения: Р(Х= 1) = 03; Р(Х=2)= 02; Р(Х=3)=05. Найшпе МХ.
е Одномерная непрерывная случайная величина 11. На1пппате функпию распределения случайной величины для случая показательного закона с параметром Л. 12. Что такое математическое ожидание непрерывной случайной величнны7 13. Случайная величина Х распределена по нормальному закону А'(1,3). Найдите 0[2 Х+ 1). 14. 7х(х) = Сх при х и[0 2); ух(х) = 0 при х я[02). Найдите С. ь Двумерная случайная величина 15.
Что такое ковариация (корреляционный момент) случайных величин Х„У? 1б. Укажите необходимое и достаточное условие независимости случайных величин Х, У, зная их функции распределения. 17. Случайная величина (Х,У) распределена равномерно в квадрате Вц О < х < 1, 0 < у < 1. Заплппгге формулу для ее плотности вероятности. и-мерная случайная величина. Предельные теоремы 18. Случайные величины Х,, Хт, ..., Х„взаимно независимы н имеют шютностн вероятности 7х (х~), /» (хз),, )х (х„). Напишите плотность вероятности и -мерной случайной величины ( Хп Хт, ..., Х„) . 19. Допишите правую часть неравенства Чебышева: Р([Х вЂ” тх[ > с) <.... ь Вопрос с доказательством 20.
Напишите и доквките формулу для М[Х+ У). Контрольный тест 3 по теории вероятностей ь Алгебра событий 1. Что такое полная группа событий? 2. Если А,В несовместны и составляют полную группу, то чему равны А+В и АВ? ° Алгебра вероятностей 3. Сформулируйте аксиомы, которым удовлетворяет вероятность, из аксноматического определения верокпюсти. 1 я 4. Допишите правуто часть формулы Р~,» Аь —— ...
для взаимно независвЬ=г мых событнй. 5. Прибор состоит нз трех блоков, выходюцик из строя независимо друг ог друга. Блоки за время Т могут выйти нз строя с вероятностями, равными р~ — — 04, рз = 0.4. рз = 02. Дла работы прибора необходима работа блока Уй 3 и хотя бы одного нз блоков Ж 1 илн Уй 2. Найдите вероятность отказа прибора за время Т.
6. Партия деталей изготовлена на двух станках. На 1-и станке наготовлено 40 % деталей, а верояпксть брака составляет р1 = 0.005. Вероятность брака на втором станке равна рз — — 0.003. Случайным образом взята деталь партии. Найти вероятность того, что оиа бракованная. ° Оююмериаи дискретная случайиан величина 7. Что такое ряд расорелеленвя дискрепюй случайной велачвныу й. Пусть Х вЂ” число независимых испытаний до первого появления события А . Событие А в кюкдом испытании появляется с одной и той же вероятностью р.
Напишите закон распределения случайной величины Х. Я. Проводятся 3 независимых вспыгання по схеме Бернулли. В каждом испытании событие А происходит с вероятностью р = 0.6. Найднге аерокпгость того, что событие А произойдет точно й = 2 раза. 10. Случайная аелячнна Х распределена по закону Пуассона с параметром а=2. Чемуравио МХ7 ь Олнамериаи иепрерывнав случайнаи величина 11. Что такое мола иепрерьпяюй случайной величины? 12.
Напишите плотносп. вероятности случайной величины, распределенной нормально с параметрами т, ю. 13. уг(х)=2е ™ при х>0; ух(х)=0 прв к <О. Найюгю вероятносп, Р(1 < х < 2) . 14. Случайная величина Х распределена по показательному закову с параметром Л=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
