Максимов - Теория вероятностей, контрольные задания с образцами решений (969553), страница 9
Текст из файла (страница 9)
С помощью приближенной формулы Пуассона найти вероятность того, что хотя бы в одном году из предстоящих 50-ти последовательных лет событие В произойдбт. 5. Орудие стреляет по цели до первого попадания, либо до израсходования боекомплекта, состоящего из пяти снарядов. Вероятность попадания с первого выстрела равна 0.4, со второго — 0.5, при всех последующих — 0.6. Пусть Х— число произведенных выстрелов.
5.1. Сосгавнть таблицу распределения Х. 5.2. Найти тд. 5.3. Найти Р(Х < тя) . 6. 7'(х) = ~ ' ' ' Условие задачи см. в образце 1, п. 6. "С(1 — х/3), х «[0,3); х «[0,3). 7. Каким дошкно быть среднее квадратическое отклонение гг т, чтобы параметр детали Х отклонялся от номинала тг — — 20 по модулю не более чем на 1 % номинала с вероатностью 0.95? Предполагается, что случайная величина Х распределена нормально. 8 рп =03.
р1з = 015, рзщ = 005, раз = 05. Условие задачи см. в образце 1, и. 8. 9. Р— криволинейный треугспьник, ограниченный линиями у = хз, х = 1, у = О. Условие задачи см. в образце 1, п. 9. 37 Вариант 28 1. Партия товара в количестве В штук состоит нз изделий первого и второгр '.'::!"~~,' сорта. Для контроля из партии случайным образом выбирается ! ищелиг з)ляг ' ':!~,," партия принимается, если среди выбранных изделий вгоросортзплх оке.ывзеп.".. '-"!'; ~ не более одного. Найти вероятность Р приемки партии, если в ней В ьздель;,-.' '',:;.„' 2 3 первогосорта.Вычислить р при 8=10,1=3, В=8. 2.
Дана схема включения элементов. Условие алачз);".,!!::,,~ 1 4 см. в образце 2, и. 2. 3. Медицинский анализ выявляет имеющуюся у боль-. ного болезнь а с вероятностью Р~ и ошибочно указыьаез('„:!-'„ на эту болезнь при ее отсутствии с вероятностью Рз. У больных, направленных на анализ с предварительным диагнозом болезни и, эта болезнь встречается с вероятностью Р. 3.1.
Найти вероятность Р(А) того, что у пациента анализ укажет на болезнь а 3.2 Вычислить Р(А) при р= 07, р, =09, Рз — -01. 33. С помощью фор- " .!с1 мулы Байеса вычислить вероятность, что у пациезпа отсутствует болезнь а, хо- ",,;;; тя на нее указал медицинский анализ. 4. За период в 131 год с !865 по 1995 г. в Санкт-Петербурге 10-го января .'~'.".""!з среднесуточная температура ниже минус 15' (событие А ) наблюдалась 20 раз,. '-"~!Г а ниже минус 25 (событие В) — всего 3 раза Исходя из этих статистических.",'-~: данных, примем Р(А) = 20/131 = 015, Р(В) = 3/131= 0023. 4.1. Найти вероятность того, что в предстоящие 5 ближайптих лет собы- »)4 тие А будет наблюдаться не менее трех раз.
4.2. С помощью приближенной формулы Пуассона найти вероятность появления собьпня В хотя бы в одном голу из предстояцих 50 последовательных лет. 5. Орудие стреляет па цели до первого попалмпм, ио производится не более четырех выстрелов. Вероятносп, попадания при первом выстреле равна 0.4, прн м" втором — 0.5, при третьем и четверюм — О.б. Пусть Х вЂ” число произведенньо(:,':".»,-' выстрелов.
5.1. Составить таблицу распределения Х. Вычислить: 5.2. глх. 5.3. Р(Х > т г) . б. г (х) = ' ' ' Условие задачи см. в образце 2, и. б. ~С~/1 — х, х и[0,11; х н(0,11. 7. Каким должно быть среднее квадратическое отклонение ах, чтобы параметр Х детали отклоняяся от номинала тх — — 1О по модулю не более чем иа 1 % гл т с вероятностью 0.9? Предполагается, что случайная величина Х распределена нормально. 8.
Р~ ~ — — 0.92, Рьз = 0.02, Ры = 0.01, Р~з = 0.05. Условие задачи см. в образце 2, и. 8. (Се ('+х) при х>0, у>0; '~„(;у)= ' Условие задачи см. в образ- 0 — в остальных случаях. пе 2, и. 9. 38 Вариант 29 1. Кюкдый из девяти клвевтов независимо и случайно выбарает одну из трех линий обсяужаваиня. Найти вероятносп того, что ови распределены между линиями обслуживание поровну, 2. Дана схема включения элементов. Условие 4 задачи см. а образце 1, и, 2. 3.
По статистическим данным в хамном регионе арестованный, подозреваемый в тяжком преступлении, виновен с вероятностью р. Виновный осухщается с вероятностью р~. Невиновный ошибочно осужлаегся с вероятностью рг. 3.1. Найти вероятность Р(А) того, что арестованный подозреваемый не будетосужден 3.2.Вычислить Р(А) прн р=09, р1 — — 0.8, рг =0.05.
По формуле Байеса найти вероятность того, что арестованный по подозрению в преступлении, но не осужденный, в действительностн виновен, т. е. не осужден ошибочно. 4. За пернац в 131 год с 1865 по 1995 г. в Санкт-Петербурге 10-го января в период твк называемых рожвественских морозов погода со среднесуточной температурой не ниже минус 2е (событие А) наблюдалось 36 раз„а ниже минус 20 (событие В) — 8 раз. Исходя нз этих стагяспзческнх данных, примем Р(А)=361131=0275, Р(В)=8/131=006. 4.1. Найти вероятность того, что в предстоящие ближайшие 5 лет событие А будет наблюдаться не менее двух раз. 4.2.
С помощью приближенной формулы Пуассона найти вероятность появления события В не более одного раза в предстоящие последовательные 20 лет, 5. В систему массового обслуживания независимо обращшотса клиенты, каждый вз ви. обслузпшается с вероятностью р = 0.8. Количество клиентов, обратнвпшхся з обслуживанием за время Т, — случайная величина Х с мат»- магическим ожиданием и» =2, распределенная по закону Пуассона.
Найти вероягносзь того, что за время Т поступит не более двух клиепгов н асе посгупившие на обслуживание клиеьпы будут обслужевы. О, х<1; б. 7'(х) = ~ 1' ' Усшене задачи см. в образце 1. п. 6. -1С =.х~1 7. Деталь„изгонеленная автоматом считается бракованной, если отклонение Х ее контролируемого парамегра от номинала превыпшет по модулю 2 елиннцы измерения. Прелполагштся, что случвйнаа величала Х распрелвлена нормально с параметрами юг —— О„п т - -0.7. Сколько цроценнзв бракованных деталей выдает автомат? 8. Р1з — — 0.4, Ргг — — 01, Ргь — — 02, у~г — — 03.
Условие задачи см. в обРазце 1, н. 8. 9. ку — крнвалвнейный треугольник, огравичеикый линиями у = хз, х = О, у = 1. Усжжне задачи см. в обрззце 1, п. 9. Вариант ЗО 1. 10 различных сообщений независимо посылаются по двум различным каналам связи. Для каждого сообщения равновозможен выбор любого канала. Найти вероятность того, что сообщения распределятся по обоим каналам поровну.
1 4 2. Дана схема включения элемс~пов. Условие зада- чи см. в образце 2, п. 2. 2 5 3. По статистическим данным в конкретном регионе подозреваемый в тяжком преступлении виновен с вероятностью,о. Виновный осуждается с вероятностью П1.
Невиновный ошибочно осуждается с вероятностью рэ. 3.1. Найти вероятность Р(А) того, что арестованный подозреваемый будет осужден. 3.2. Вычислить Р(А) прн р=0.95, р~--09, рз =0.02. 3.3.С помощью формулы Байеса найти вероятность того, что осужденный действительно виновен. 4. За период в 131 год с 1865 по 1995 г. в Санкт-Петербурге 1О-го января (рождественские морозы) мягкая зимняя погода со среднесуточной температурой от минус 5ь до 0' (событие А) наблюдалась 35 раз, а не ниже +2' (событие В) — всего 5 раз. Исходя из этих статистических данных примем Р(А) = 35/1 31 = 0.27, Р(В) = 5/131 = 0.04. 4.1. Найти вероятность того, что в предстояпше ближайшие 4 года событие А будет наблюдаться не менее двух раз. 4.2.
С помощью приближенной формулы Пуассона найти вероятность появления события В хотя бы один раз в предстоящие 20 последовательных лет. 5. Выборка из партии изделий для контроля производится случайным образом до обнаружения первого бракованного изделия, ио выбирается не более 5 штук иэделий. Вероятность брака партии равна р = 0.1. Пусть Х вЂ” число выбранных изделий. 5.1. Составить таблицу распределения случайной величины Х.
Вычислить: 5.2. тх. 5.3. Р(Х> тд). (С(2-х), х е(0,11; 6. Лх)= 1 ' ' ' Условие задачи см. в образце 2,п. 6. х а(0,1). 7. Деталь, изпповлениая автоматом, считается годной, если опсюнсние Х ее контролируемого размера от номинала не превышает ио модулю 5 мм. Предполагается, что случайная величина Х распределена нормально с параметрами шд = 0 и пд — — Змм. Сколько процентов годных деталей изгпшвливает автомат? '8. рц = ОЖ, р~з = 0.02, рз = 0.01, рзз = 0.05.
Условие задачи см. в образце 2,п. 8. ~Сху(х+у) при 0<хь1, 0<у<1; 9. Уят(х,у)= ' ' Условие щлачи см. в 10 в остальных случаях. образце 2, п. 9. 40 Решения звлач образца 1 контрольного задании 1. Парт!и автомашин содержит 1О автомашин марки М и 1О автомашин марки !!!. Из этой партии случайным образом отбираются 4 автомашины для испытаний. Найти вероятность того, что для испьпаинй будут отобраны автомашины обеих марок поровну. > Применяем классическое определение вероятности.
Числа, способов выбора двух автомашин марки М нз 1О равно С2О, так квк порядок выбора автома- 2 шин роли ис ш рвет, а один случай выбора отличается от другого хотя бы одной автомашююй Имеем дело с сочетаниями. Таким же числом способов можно выбрать две автомашн!гы марки й.
По правилу «умножения» зтн числа перемножаются, поэтому число благоприятствугощнх случаев выбора равно »2 =(< го) . Общее число случаев выбора четырех автомашин любых марок нз 2 2 20 равно п = С2«е. Тогда искомая вероятность равна т (Г,о) !'!О 93 Ф(зз.!9.!в !7! 05 » Г.' ~,! 2) /1 1 ° 2-3 ° 4 ! 323 2. Вероятность безотказной работы каж- 4 лого элемента в течение времени Т равна р 2 Элементы работают независимо и вкпочеиы ! 5 в цепь по привеленной схеме. Пусть событие 3 А, азначаст безотказную работу за время Т элемента с номером ! (!'= 1,2,3, ... ), а событие  — безотказную работу цепи. Требуется: 2.1. Написать формулу, выражающую событие В через все собьпия А,. 2 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
